Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 2

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

BESPIEGELINGEN OVER GETALLEN

Negatieve getallen [1]

 

  1. Als eerste voorbeeld een scène uit hoofdstuk 9 van Wonderland: The Mock Turtle’s Story, waarbij de draak gestoken wordt met negatieve getallen.

Bij deze openingsscène moet je allereerst op twee dingen letten: er is nauwelijks verschil in de Engelse uitspraak te horen tussen de woorden lesson en lessen, hetgeen in dit geval impliceert dat lesson leidt naar lessen. De tweede opmerking is als Mock Turtle wordt afgekort naar M. T., dan staat er em(p)ty. De M.T.-story is dus een empty story. De Mock Turtle is een nonentity (een schertsfiguur), een categorie zonder inhoud. Hij is wat logici noemen een null-class, hetgeen verklaart waarom zijn lesrooster vakken bevat die dag na dag lessen tot niets overblijft. Alles wordt herleid tot nul of niets.
In de vervolgscène wordt duidelijk naar negatieve getallen toe gewerkt met de verborgen boodschap dat negatieve getallen inhoudsloos zijn. Het bleek voor veel wiskundigen nog steeds in de 19e eeuw een probleem te zijn om de vervolgstap te zetten naar een, voor Euclidische wiskundigen, absurde en betekenisloze getallensystematiek.[2]

2. Ook in hoofdstuk 7 van Wonderland wordt verwezen naar negatieve getallen: je kunt niet links van nul gaan zitten op de getallenlijn, deze getallen hebben geen betekenis in tegenstelling tot positieve getallen.

3. In hoofdstuk 9 van Spiegelland komt ook een rekensom voor, waarbij weer wordt vastgesteld dat Alice een opgave als 8 – 9 niet kan oplossen. Wellicht heeft dat met haar leeftijd van 7½ jaar (in Spiegelland) te maken, maar toch…

Commutatieve eigenschap van getallen

Uit hoofdstuk 1 van Wonderland komt het volgende fragment:

Heel duidelijk een voorbeeld naar aanleiding van een van de rekenregels voor getallen, de commutatieve eigenschap:
a + b = b + a voor alle getallen a en b met betrekking tot de bewerking optellen, bij de bewerking delen geldt deze eigenschap bijvoorbeeld niet:
a ÷ b ≠ b ÷ a voor alle getallen a en b.
Hier wordt de bewerking “eten” toegepast op de verzameling dieren. Deze commutatieve eigenschap zal in de Alice-boeken vaker ter sprake komen. Misschien karakteriseert dit fragment Carroll ook wel een beetje.  Hij pakte veel dingen op, ging ermee aan de slag, maar al snel verlegde hij (net als in het fragment Alice) zijn belangstelling naar een volgend onderwerp. Bij de gekke theevisite wordt deze commutatieve eigenschap nog verder uitgewerkt: Als de Maartse Haas haar zegt: “to say what she means”, she replies that she does, “at least I mean what I say – that’s the same thing”. “Not the same thing a bit!” says the Hatter. “Why, you might just as well say that ‘I see what I eat’ is the same thing as ‘I eat what I see’!” Carroll geeft hierbij impliciet aan dat hij de nieuwe rekenregels binnen die nieuwe abstracte algebra waarbij de commutatieve eigenschap ten aanzien van bijvoorbeeld vermenigvuldigen (a x b ≠ b x a) in sommige gevallen niet meer geldt, maar absurd vindt.[3]

Getalstelsels

Uit hoofdstuk 2 van Wonderland stamt de al eerdergenoemde vermenigvuldigingstabel. Het bijbehorende fragment is:

De grote vraag hierbij is natuurlijk: is dat zo en waarom lukt dat dan niet? En hier komt het meest besproken getal uit Carrolls werk opnieuw ter sprake. Niet voor het eerst trouwens in het eerste Alice-boek. De titelpagina van Alice in Wonderland vermeldt: met 42 illustraties door John Tenniel. Het boek begint dus met 42 en sommige lezers beweren zelfs dat het boek er ook mee eindigt als aan het eind van de abnormale rechtszaak het kaartspel op Alice af komt.[4] Weliswaar zitten er 52 kaarten in een kaartspel, maar de 10 schoppenkaarten werden als tuinlieden natuurlijk niet toegelaten bij deze rechtszaak, misschien ook omdat in hoofdstuk 8 de schoppenkaarten ook geen deel uitmaakten van de processie.

Elders is al genoeg geschreven over dit “Lewis Carroll-getal”, zeker ook omdat Douglas Adams in zijn boek The Hitchhiker’s Guide tot he Galaxy een computer, genaamd Deep Thought, liet construeren om deze te vragen het antwoord op de ultieme vraag over het Leven, het  Universum, en Alles te berekenen. Deze computer berekent gedurende een verloop van 7,5 miljoen jaar het antwoord: 42. Hierdoor ontstond weer een hele nieuwe boost over de hele wereld met betrekking tot het getal 42.  Ik zal me beperken tot een paar 42-achtige dingen in beide Alice-boeken, zonder enige pretentie daarbij “alles” mee te nemen.[5]

Terug naar de vermenigvuldigingstabel. Maar om die te doorgronden moet eerst de wisseling van de basis van ons getallenstelsel aan de orde komen. In ons basis-tientallig stelsel zijn 10 cijfers bekend, 0 t/m 9 en is de plaats van deze 10 cijfers in een getal bepalend voor de grootte van het getal. Verder is een getal opgebouwd uit machten van 10. Het grondtal is dus 10.
Bijvoorbeeld: 54321 = 5 x 104 + 4 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 1 x 100 (denk aan a0 =1 voor a ≠ 0).
In het zestien-tallig stelsel zijn 16 cijfers bekend, 0 t/m 9 en A t/m F, is wederom de plaats van de cijfers bepalend voor de grootte van het getal en is het getal opgebouwd uit machten van 16. Het grondtal is 16.
Bijvoorbeeld: D431 = D x 163 + 4 x 162 + 3 x 161 + 1 x 160 (met D het 13e cijfer in het 16-tallig stelsel).
Er geldt 5432110 = D43116.
Alice’s vermenigvuldigingstabel van de tafel van 4 gaat met de verschillende grondtallen binnen een getallenstelsel dus als volgt:
4 x   5 = 1218, namelijk 2010 = 1 x 18 + 2 in het 18-tallig stelsel
4 x   6 = 1321, namelijk 2410 = 1 x 21 + 3 in het 21-tallig stelsel
4 x   7 = 1424, namelijk 2810 = 1 x 24 + 4 in het 24-tallig stelsel t/m
4 x 12 = 1939, namelijk 4810 = 1 x 39 + 9 in het 39-tallig stelsel

Ontdek hierin de formule
Getal: 4 x n = eerste cijfer van getal x (3n + 3)1 + tweede cijfer van getal x (3n + 3)0. Als voorbeeld:
1424: 4 x 7 = 1 x (21 + 3)1 + 4 x (21 + 3)0

Dit uitwerken levert de onderstaande tabel op:

4 x

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

10-tallig

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

18-tallig

12

21-tallig

13

24-tallig

14

27-tallig

15

30-tallig

16

33-tallig

17

36-tallig

18

39-tallig

19

Maar nu moet ze, gedwongen door haar opgezette vermenigvuldigingstafel van vier, naar het 42-tallig stelsel via 52 = 4 x 13 = 2042(?), namelijk 2 x 421 + 0 x 420.
Dat lukt haar natuurlijk niet, omdat al 2 x 421 = 84, terwijl ze bij 52 moet uitkomen. Geen wonder dat Alice, voor zover ze in staat was dit bliksemsnel uit te rekenen, nooit bij 4 x ? = 20 zou kunnen uitkomen. Grondtal 42 is fataal en het hele systeem klapt in elkaar!

Echter, misschien had ze de andere kant op moeten gaan in haar vermenigvuldigingstafel van vier, dan moet gelden (met de formule van de vorige bladzijde in ons hoofd), voor welke n in de tafel van 4 is een basis-grondtalstelsel te vinden, zodat:

4 x n = 2 x (3n +3)1 + 0 x (3n + 3)0 

Dit uitwerken levert op:
4n = 6n + 6, oftewel n = -3 en het bijbehorende grondtal van dit stelsel is -6.

Laten we eens kijken of dit wat kan worden. We maken een nieuwe tabel, maar gaan nu de andere kant op, terug van het 18-tallig stelsel naar het 15-tallig stelsel en zo verder:

4 x

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

10-tallig

20

16

12

8

4

0

-4

-8

-12

18-tallig

12

15-tallig

11

12-tallig

10

  9-tallig

8

  6-tallig

4

  3-tallig

0

  0-tallig

?

 -3-tallig

1201

 -6-tallig

20

En inderdaad als Alice de andere kant op was gegaan met het opzeggen van de tafel van 4 was ze wel bij 20 uitgekomen. Immers 2 x (-6)1 + 0 x (-6)0 = 20-6.[6]
Grondtallen als 0 en negatieve getallen zijn natuurlijk ook in de huidige mathematische wereld betekenisloos. Het voorgaande is gewoon wat spielerei. Leuk toch!

Dat het met die 20 niet goed zit blijkt ook uit de opmerking van de Hartenkoning aan het eind van de rechtszaak als hij voor de twintigste keer aan de jury vraagt het vonnis te overwegen. Dat kan Wonderland niet aan, het systeem dat Wonderland bij elkaar houdt, stort bij het horen van iets dat te maken heeft met 20 in elkaar en verdween voor altijd. Was Alice nu toch maar bij het opzeggen van de tafel van 4 de andere kant opgegaan. Dan had de wereld veel langer kunnen genieten van de avonturen van Alice in Wonderland!

Afkeer getallen

Tijdens het eerste gedeelte van zijn tijd in Christ Church in Oxford moet Dodgson wiskunde-colleges geven aan vaak niet-gemotiveerde studenten. Veel studenten zagen een verblijf in Christ Church, het meest vervaarde college in Oxford, als opmaat voor een politieke loopbaan. De verplichte wiskunde zagen ze meer als een noodzakelijk kwaad om hun aspiraties waar te maken. De naar overlevering vaak saaie wiskundelessen van Dodgson werden daarbij als een extra handicap beschouwd. Deze onwillige studenten waren voor Dodgson een voortdurende ergernis. Hij was dan ook blij zijn taak als docent in 1881 te kunnen beëindigen. In bovenstaand fragment wordt dat ook duidelijk als de (lelijke) Hertogin haar afkeer van cijfers uitspreekt. Merk op dat bij verwisseling van de cijfers in 24 het getal 42 weer tevoorschijn komt.

[1] Gedurende het hele Victoriaanse tijdperk werden negatieve getallen als controversieel beschouwd. Hoewel negatieve getallen al door de Chinezen 200 jaar voor Christus, door de Indiërs 600 jaar na Christus, in het Midden-Oosten 800 jaar na Christus werden gebruikt, verschenen deze getallen pas ongeveer 1400 jaar na Christus in de Westerse wereld. De oude Grieken hielden zich voornamelijk met meetkunde bezig en gebruikten alleen maar positieve getallen als maten voor lengten, oppervlakten en inhouden. Ook in het beroemde boek van Leonardo van Pisa uit 1202, de Liber Abaci, de start van de algebra in de westerse wereld, bevatte geen negatieve getallen. In 1796 verscheen het boek: The principes of algebra door William Fred en Francis Misères met daarin: You may make a mark before one, which it will obey: it submits to be taken away from another number greater than itself, but to attempt to take it away from a number greater than itself is ridiculous. Yet this is attempted by algebraists, who talk of a number less than nothing, of multiplying a negative number into a negative number and thus producing a positive number of a number being imaginary. Het is duidelijk dat deze tegenstanders vasthielden aan de koppeling van een getal aan een hoeveelheid o.i.d., terwijl een getal op zich zonder koppeling aan iets, natuurlijk ook iets imaginairs is. Wat dat betreft is er geen verschil tussen een positief getal, een negatief getal of wat voor getal dan ook.
[2] De beroemde Engelse wiskundige G.H. Hardy (1877 – 1947) schreef aan het einde van zijn carrière in het prachtige boekje A Mathematician Apology (1940) het volgende citaat: Ik heb nooit iets “nuttigs” gedaan. Geen ontdekking van mij heeft ooit, direct of indirect, ten goede of ten kwade, het minste verschil gemaakt, of zal dat maken, voor het welzijn van de wereld. Zo beschreef hij de “nutteloosheid” van zijn vakgebied, de getaltheorie, niet vermoedende dat 50 jaar later zijn “nutteloze” getaltheorie overal ter wereld dagelijks wordt gebruikt in onder meer het versleutelen van data.
[3] Carroll geeft hierbij een verwijzing naar quaternionen, deze getallen vormen een uitbreiding van de complexe getallen, in 1843 geïntroduceerd door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton voor toepassingen binnen de mechanica en tegenwoordig onder meer gebruikt in robotarmen en koppelingen bij ruimtevaartuigen. Voor dit soort getallen geldt niet de commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen of optellen, dus a*b ≠ b*a. Dat heeft onder meer te maken met het feit dat rotaties in een 3-dimensionale wereld niet commutatief zijn.
[4] “Axioms cannot tolerate contradictions,” schreef Carroll in zijn boek Symbolic Logic. Dat geldt natuurlijk ook voor de Hartenkoningin met haar uitspraken. Contradicties in elk logisch of wiskundig systeem leiden tot chaos en instorting van het gehele systeem. Wiskundigen geven de voorkeur aan consistente en robuuste systemen.
[5] Ik kan het toch niet nalaten een van de laatste wiskundige feiten met betrekking tot het getal 42 te vermelden: Sinds de jaren vijftig van de vorige eeuw piekerden wiskundigen over de vraag of je bepaalde gehele getallen kunt schrijven als som van drie derdemachten van gehele getallen. Met andere woorden: als k een geheel getal is, zijn er dan ook gehele getallen te vinden voor x, y en z zodat geldt k = x3 + y3 + z3? Het getal 42 was tot voor kort het enige getal onder de 100, waar nog geen oplossing voor gevonden was, terwijl bekend was dat zo’n oplossing er wel moest zijn. Van sommige getallen onder de 100 (4, 5 en 13) weten we dat er geen oplossingen zijn! Maar met brute computerrekenkracht (400.000 samenwerkende computers) is nu bekend dat:
42 =  (-80.538.738.812.075.974)3 + 80.435.758.145.817.5153 + 12.602.123.297.335.6313
[6] Voor de liefhebber: 1201 = 1 x (-3)3 + 2 x (-3)2 + 0 x (-3)1 + 1 x (-3)0. Verder zijn natuurlijk negatieve getallen en het getal 0 als basis voor een getallenstelsel niet zo’n gelukkige keuze.