Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 4

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Schaken

Schaken en wiskunde hebben enkele duidelijke overeenkomsten. Beide doen een beroep op analytische vaardigheden omdat grote problemen in kleinere moeten worden opgesplitst; bovendien hebben beide disciplines creatieve en kunstzinnige aspecten gemeen.

De relatie tussen schaken en wiskunde kun je op verschillende manieren zien:

  • Schaken bevordert denkvaardigheden van hogere orde
  • Analyse van posities heeft veel gemeen met wiskundige problemen
  • Correlatie: beslissen welk stuk het beste is om op een bepaald punt op te offeren
  • Introductie van een coördinatensysteem
  • Introductie van geometrische concepten (bestanden, rijen, diagonalen)
  • Vereist constante (her)berekening
  • Ontwikkeling van een visueel geheugen
  • Ontwikkeling van (ruimtelijke) redeneervaardigheden
  • Ontwikkeling van vermogen om gevolgen te voorspellen en daarop te anticiperen

Dodgson was waarschijnlijk een verdienstig schaker. Hij nam nooit deel aan toernooien, ook zijn er geen partijen van hem bekend. Er zijn wel verscheidene aantekeningen in zijn dagboeken dat hij een spelletje geschaakt heeft. En hij was in het bezit van een miniatuur schaakspel, dat vaak op reis of vakantie van pas kwam. Bovendien heeft hij de meisjes Liddell de regels van het schaken geleerd. Kortom iemand die in ieder geval op de hoogte was van de regels van het schaakspel. De veilingcatalogus van Dodgson na zijn overlijden in 1898 bevatte 3 schaakboeken, alle 3 geschreven tenminste 15 jaar voordat Carroll Spiegelland schreef. Omdat er enige verwarring[1] was over de opzet van het schaakspel zoals dat werd voorgeschoteld in Spiegelland, schreef Carroll in 1896 een nieuw voorwoord bij een herdruk van het boek waarin hij schreef dat:

“Anyone who takes the trouble to set the pieces and play the moves as directed, will find it strictly in accordance with the laws of the game.”

Bij schaken staan de twee partijen altijd bekend als Zwart en Wit, ongeacht de kleur van de fysieke stukken, maar Lewis Carroll verwijst in zijn boek “Through the Looking-Glass and what Alice found there” naar Rood en Wit. Ondanks de bezorgdheid van Lewis Carroll voor de kwaliteit van zijn boeken, zijn het schaakdiagram en de zetten in de eerste edities van zijn boek niet goed afgedrukt en zijn de stukken die op zwarte vierkanten staan bijzonder moeilijk te onderscheiden. Zie de afbeelding uit de originele eerste druk van “Through the Looking-Glass” links. In latere drukken was dat probleem nog steeds niet afdoende opgelost.

Van de 32 originele schaakstukken gebruikt Carroll er slechts 8. De witte pion Alice, een rode en een witte koning en koningin, een wit en rood paard en de witte toren. Waarschijnlijk zijn de rest van de stukken weggelaten om het spel voor een 7½-jarig meisje te simplificeren. De witte koning kon in hoofdstuk 7 niet al zijn 4209 paarden sturen, omdat er 2 nodig waren in het schaakspel. (Stond het rode paard dan ook onder zijn bevel?) Het schaakspel speelt een meer dominante rol in Spiegelland dan het kaartspel in Wonderland. Dat karakteriseert meteen een grote tegenstelling tussen Wonderland en Spiegelland. In Wonderland heeft Alice een eigen “vrije” wil, zij kan doen en laten wat zij wil. Dit in tegenstelling tot Spiegelland waarin zij onderhevig is aan de “nukken en grillen” van een onbekende en ongeziene schaakgrootmeester.

Constant Orbaan (1918-1990) was beroepsschaker, later wedstrijdleider en journalist. In de jaren 60/70 van de vorige eeuw verscheen van zijn hand een krantenartikel waarin hij het gecomponeerde schaakspel binnen Spiegelland minutieus heeft beschreven. Alice is in het begin van Spiegelland een pion (het minste schaakstuk) dat uiteindelijk wil promoveren tot koningin (het machtigste schaakstuk). Dat doet zij in 11 zetten (de tegenstander krijgt 10 zetten) die Orbaan één voor één van commentaar voorziet. In Spiegelland zijn de regels van het schaakspel niet zo dwingend voorgeschreven als bij de FIDE, de internationale schaakfederatie. Alice begint als witte pion en de witte schaakstukken zijn haar (natuurlijk) vriendelijk gezind, de rode schaakstukken daarentegen vijandelijk.[2] Het witte paard is van alle schaakfiguren het enige stuk dat Alice met respect tegemoet treedt. Op geen enkel moment wisselt Alice woorden uit met een stuk dat zich op dat moment niet bevindt op een veld naast het hare. Koninginnen rennen zich rot en koningen staan gefixeerd en werkeloos. Rijen worden gescheiden door beken en kolommen door heggen. Deze beken en heggen vormen de lijnen op het schaakbord. Elke lijn die Alice passeert wordt in de tekst met 3 sterretjes (* * *) aangegeven. Omdat het paard op het schaakbord hoekige bewegingen maakt, valt de koning af en toe van zijn paard.

Goed beschouwd zit een paradox binnen dit fragment opgesloten. De witte koning zit alleen op zijn paard als deze stil staat, laat staan als hij er zijdelings vanaf valt. De regels kloppen hier niet. De koning zit alleen in het zadel als zijn paard stil staat, ergo hij komt met deze regels niet vooruit.

Eerst de oplossing van Lewis Carroll zelf:

Een wat meer uitgebreide Nederlandse versie van Orbaan:

Duidelijk staat hier een verwijzing naar een zadeloppervlak. Dit woord is afgeleid van de eigenaardige vorm van het zadel voor paarden, dat zowel omhoog als omlaag kromt.  De ene kant op doorkruis je een vallei, kom je van een andere kant, dan beklim je een heuvel.

Pringles aardappelchips vormen een alledaags voorbeeld van een zadeloppervlak.

Dit is de enige situatie waarin Alice het hele schaakbord kan overzien. Een favoriete puzzel van Carroll was het toekennen van kleuren op landkaarten. Carroll zag het als een spel voor 2 spelers:

Speler A moet een fictieve landkaart, onderverdeeld in verschillende landen, tekenen.
Speler B moet nu de landen inkleuren met zo min mogelijk kleuren zodanig dat twee aangrenzende landen verschillende kleuren hebben.
Het doel van A is om B te forceren zoveel mogelijk kleuren te gebruiken. Wat is nu dat minimale aantal kleuren dat B nodig heeft?

Het vierkleurenprobleem werd voor het eerst door Francis Guthrie[3] in 1852 geformuleerd met de vraag of het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen (dus zonder exclaves), met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. Pas in 1976 werd dit probleem met behulp van een computer door Kenneth Appel en Wolfgang Haken “wiskundig” bewezen[4].

Snelheid

In Spiegelland stappen we natuurlijk van de gebruikelijke formule

af en gaat deze formule over in

Maar in Spiegelland impliceert deze formule dat bij een hoge snelheid veel tijd en/of een kleine afstand hoort. Hoe sneller Alice gaat, hoe meer ze nauwelijks van haar plek komt, maar om op dezelfde plek te blijven (met een afstand heel, heel dicht bij 0), moet ze wel een oneindige snelheid hebben.  Dit is echter in tegenspraak met de opmerking van de koningin even later dat als ze ergens anders wil komen, ze minstens 2 keer zo hard moet rennen!

Literatuur

Day, David, 2015, Alice’s Adventures in Wonderland Decoded, Canada: Penguin Random House.
Dodgson, Charles L., 1879, Euclid and his Modern Rivals, London: MacMillan.
Gardner, Martin, 2015, The Annotated Alice, expanded and updated by Mark Burstein, New York: Norton & Company.
Wilson, Robin, 2008, Lewis Carroll in Numberland, London: Penguin Group
Wilson, Robin, 2019, The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll), Oxford: Oxford University Press.

 Voetnoten

[1] Zie het boek “The Magic of Lewis Carroll”, edited (1973) by John Fischer, page 85-91.
[2] Het bijbehorende schaakbord rechts met de goede kleuren rood en wit is te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/chessgame.html 
Een animatie van het spel, zoals dat gespeeld wordt in Spiegelland, is op dezelfde website te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/images/diag.gif
[3] Francis Guthrie (1831-1899) was een Zuid-Afrikaanse wiskundige en plantkundige. In 1852 was Guthrie een student van Augustus De Morgan aan het University College te Londen.
[4] De computer had daarbij 1200 uur rekentijd nodig om 1482 mogelijke landkaartconfiguraties met talloze individuele gevallen door te rekenen om na te gaan of er een toegestane kleuring bestond. Volgens sommige wiskundigen een ietwat omstreden manier van het leveren van een streng wiskundig bewijs. In 2004 werd door Georges Gonthier een herziene versie van het bewijs zo nauwkeurig uitgeschreven dat de juistheid van elke stap gecontroleerd kon worden.