Logische diagrammen vóór Lewis Carroll

De eerste  serieuze studie van de analyse van logische uitspraken met behulp van diagrammen vinden we bij Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De populariteit van diagrammen in de 18^e en 19^e eeuw is echter te danken aan het werk van de Zwitser Leonhard Euler uit 1768.
Ten tijde van Euler namen syllogismen een centrale plaats in de logica in. Syllogismen bestaan uit categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen. In het voorbeeld in de inleiding zijn dat drie verzamelingen: de verzameling mensen, de verzameling Nederlanders en de verzameling van alles wat sterfelijk is. Euler bedacht een systeem om uitspraken over verzamelingen voor te stellen met behulp van cirkels.
In figuur 1 zien we zijn voorstelling van de verzameling x, d.w.z. de verzameling van alle dingen met eigenschap x.
Door het gebruik van twee cirkels kan hij de relaties tussen twee verzamelingen weergeven. Omdat deze cirkels  elkaar omvatten, doorsnijden of uitsluiten, corresponderen ze met logische uitspraken:

• Alle x zijn y:                              figuur 2
• Geen x is y:                              figuur 3
• Sommige x zijn y:                    figuur 4
• Sommige x zijn niet y:            figuur 5

Dit is een relatief eenvoudig systeem, maar die eenvoud brengt ook complicaties en dubbelzinnigheden met zich mee. De afbeelding in figuur 2 van ‘Alle x zijn y’ sluit bijvoorbeeld de mogelijkheid uit dat de verzamelingen x en y identiek zijn, terwijl dat wel degelijk een optie is wanneer alle x ook y zijn. In dat geval zouden de beide cirkels samenvallen. Je hebt dus eigenlijk meer dan één afbeelding nodig voor de weergave van deze uitspraak. Ook voor de uitspraak ‘Sommige x zijn niet y’ zijn meerdere diagrammen noodzakelijk. Maar een dergelijke oplossing, d.w.z. meerdere diagrammen bij één uitspraak, gaat wel ten koste van de charme van de intuïtieve eenvoud.

In 1880 introduceerde John Venn een nieuw systeem, vooral omdat hij ontevreden was over Eulers diagrammen. Hij gebruikte ook cirkels, maar op een geheel andere manier.
Euler tekende de cirkels om direct in zijn diagram de feitelijke relatie tussen de verzamelingen weer te geven. Venn gebruikte ook cirkels voor verzamelingen maar hij tekende een basis-diagram dat alle mogelijkheden weergeeft.
In figuur 6 zien we bijvoorbeeld het basisdiagram voor twee verzamelingen x en y. Hierin vind je alle mogelijke deelverzamelingen die staan voor de mogelijke relaties tussen de verzamelingen x en y. In Venns notatie:

x y                      zowel x als y               de ruimte die de cirkels x en y gemeen hebben

x niet-y              wel x maar niet y        het deel van cirkel x dat geen deel uitmaakt van y

niet-x  y             niet x maar wel y        het deel van cirkel y dat geen deel uitmaakt van x

niet-x niet-y      niet x en niet y            de ruimte buiten de beide cirkels

Het diagram laat alle mogelijkheden zien, maar zegt daarmee nog niets over de feitelijke relatie tussen x en y. Om die feitelijke relatie weer te geven gebruikte Venn extra hulpmiddelen en met name arcering. Zo kon hij de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weergeven door het compartiment x niet-y te arceren om aan te geven dat dit compartiment leeg is en dat er dus geen x is die niet y is (zie figuur 7).

Deze figuren en voorbeelden betreffen diagrammen met twee termen. Maar de standaardvorm van logische problemen voor Euler en Venn was het syllogisme en dat bevat drie termen.
Om te checken of een gegeven syllogistische vorm (twee premissen en een conclusie) geldig is, moet men de informatie die de twee premissen bevatten, in een diagram weergeven en vervolgens controleren of de informatie uit de conclusie ook verschijnt in het diagram. Overigens kan het diagram meer informatie bevatten dan de conclusie in kwestie.

Het volgende voorbeeld laat zien hoe dat in zijn werk ging bij Euler.

• Alle x zijn m
• Alle m zijn y
• Dus: Alle x zijn y.

Dit syllogisme kunnen we in Eulers diagrammen als volgt weergeven (zie figuur 8): de cirkel van verzameling x wordt geheel omsloten door de cirkel van verzameling m die op zijn beurt weer wordt omsloten door de cirkel van verzameling y. Dan wordt de cirkel van verzameling x geheel omsloten door de cirkel van verzameling y en is de conclusie juist.
Dit ziet er eenvoudig en intuïtief uit. Maar het is in feite een simplificatie en inperking van de werkelijkheid. Want de mogelijkheid dat x en y geheel samenvallen blijft buiten beschouwing, evenals de mogelijkheid dat m en y geheel samenvallen of x, m en y alle drie.
Het wordt nog ingewikkelder wanneer sprake is van particuliere uitspraken, zoals ‘Sommige x zijn y’. Daarbij neemt het aantal mogelijke situaties verder toe en dus neemt de bruikbaarheid van Eulers diagrammen af.

De diagrammen van Venn zijn handiger bij het controleren van syllogismen. Voor hetzelfde voorbeeld tekenen we hier een basisdiagram voor drie verzamelingen: x, m en y: zie figuur 9. We arceren in cirkel x alles wat buiten cirkel m ligt (‘Alle x zijn m’), en in cirkel m alles wat buiten cirkel y ligt (‘Alle m zijn y’). Het resterende, niet gearceerde compartiment van x ligt dan inderdaad zowel in de cirkel m als de cirkel y en alle x is dan inderdaad y.
Hier staat wel tegenover dat Venns diagrammen minder eenvoudig zijn dan die van Euler: ze  vragen wat meer oefening. En nu hebben we alleen nog maar de juistheid van syllogismen gecheckt. Via deze diagrammen moet het ook mogelijk zijn om zelf de conclusie uit de premissen te ontdekken, maar dat vraagt uiteraard nog meer ervaring in het werken met de diagrammen.

Venn beoogde met zijn diagrammen een verbetering ten opzichte van Euler om er ook complexe logische problemen mee te kunnen oplossen. We moeten echter constateren dat zich ook bij het gebruik van Venns diagrammen een aantal problemen voordoet.

Het eerste probleem betreft diagrammen voor sorites, d.w.z. redeneringen waarin meer dan twee premissen voorkomen en dus meer dan drie termen. Venn was een navolger van Boole en had veel aandacht voor het eliminatie-probleem, niet alleen bij traditionele syllogismen maar ook bij sorites. Hij wilde zijn diagrammen hiervoor dus ook gebruiken.
Bij vier termen (drie premissen) stuiten we op het probleem dat het niet mogelijk is om met cirkels alle vereiste doorsnijdingen te krijgen. Venn verving de cirkels daarom door ellipsen, zoals weergegeven in figuur 10.
Maar bij vijf termen (vier premissen) werkt dat al niet meer. Daarvoor introduceerde Venn een ‘annulus’ in combinatie met de ellipsen, een meetkundige ring, een soort kraag, zie figuur 11.
Venn was van mening dat diagrammen geen waarde hadden voor logische problemen met meer dan vijf termen. Niettemin was het volgens hem in principe wel mogelijk om ook deze problemen met diagrammen op te lossen. Hij gaf enkele algemene aanwijzingen hoe zijn systeem daartoe zou kunnen worden uitgebreid, doch heeft dat zelf niet uitgewerkt.[6]

Een tweede probleem is de vraag hoe om te gaan met particuliere uitspraken: ‘Sommige x zijn y’ en ‘Sommige x zijn niet-y’. Venn had hier, evenals Euler, problemen mee en hij heeft daar zelf geen bevredigende oplossing voor gevonden.
Wanneer we te maken hebben met universele uitspraken (zoals ‘Alle x zijn y’), geven we deze in een diagram weer door het compartiment dat leeg is (namelijk dat van alle dingen met eigenschap x die niet y zijn) te arceren. Maar bij particuliere uitspraken werkt dat arceren niet: dan moet je aangeven welk compartiment gevuld is met tenminste één ding met de betreffende eigenschap. Maar dat zal meestal niet beperkt zijn tot één compartiment, en het is dan of het ene óf het andere compartiment. Dat vraagt in Venns systeem om meerdere diagrammen. Ook hiervoor zijn overigens later door anderen oplossingen bedacht[7].

Een derde probleem betreft negatieve termen, zoals niet-x. In feite zijn deze bij Venn onbepaald: in zijn diagrammen is het de ruimte buiten de cirkel x en die ruimte is oneindig. Het is daardoor niet mogelijk om de uitspraak ‘Alle niet-x zijn y’ grafisch weer te geven. Want de verzameling ‘alle niet-x’ beslaat de gehele ruimte buiten de cirkel x (oneindig dus) en die kan slechts worden omvat door een andere cirkel y als die ook oneindig is.
Om dit probleem op te lossen is het begrip ‘Universe of Discourse’ geïntroduceerd, hier vertaald als ‘beschouwingsgebied’: de totale verzameling van alle dingen waar we het over hebben. Dat kunnen alle denkbare dingen zijn, maar ook bijvoorbeeld alle mensen, of  alle boeken. Het idee erachter is afkomstig van De Morgan (1846): hij verwierp het onbepaalde karakter van negatieve termen en definieerde de omvang van niet-x als het complement van x: x en niet-x vullen samen het universum. Dus wanneer bijvoorbeeld het universum alle boeken betreft, vullen de Nederlandse en niet-Nederlandse boeken samen het universum of beschouwingsgebied.
De term ‘Universe of Discourse’ komt van Boole (1854) en de meeste navolgers van De Morgan en Boole maakten gebruik van dit begrip[8]. Venn deed dit echter niet: hij gaf het beschouwingsgebied niet weer in zijn diagrammen. Dat kan overigens relatief eenvoudig worden toegevoegd in de vorm van een cirkel of vierkant, waarbinnen het diagram, zoals het tot nu toe gebruikt was, geplaatst wordt.

Carrolls diagrammen

Logische diagrammen vormen een belangrijk element in het logische werk van Lewis Carroll. Hij bedacht een eigen systeem dat hij voor het eerst beschreef in The Game of Logic in 1886 en verder uitwerkte in Symbolic Logic (1896).
In The Game of Logic presenteerde Carroll zijn diagram als een spel, niet omdat logica een spel is maar omdat hij hoopte door de eenvoud van de presentatie een zo groot mogelijk publiek te bereiken. Bij het boek werden een bord en fiches geleverd. Een eenvoudige inleiding in het Nederlands tot het bordspel van The Game of Logic is te vinden in het tijdschrift Wauwelwok van het Lewis Carroll Genootschap in de jaren ‘70[9].

Evenals Venn onderscheidt Carroll in zijn diagrammen twee stappen: eerst presenteert hij een grafische afbeelding van verzamelingen om vervolgens in die afbeelding met extra hulpmiddelen logische uitspraken weer te geven.
Maar er zijn duidelijke verschillen met het systeem van Venn. In feite lost Carroll met zijn diagrammen de bij Euler en Venn gesignaleerde problemen op. Het is overigens niet duidelijk of hij zijn diagrammen daadwerkelijk heeft bedoeld als verbeteringen van Venns diagrammen, dan wel dat hij ze zelf onafhankelijk heeft bedacht. Er is geen aanwijzing dat Carroll bekend was met het werk van Venn toen hij zijn diagrammen ontwikkelde. In The Game of Logic wordt Venn niet genoemd. De eerste vermelding van Venn in Carrolls werken is te vinden in een appendix bij Symbolic Logic, waarin hij zijn eigen (toen reeds ontwikkelde) diagrammen vergeleek met die van Venn[10].

Carrolls diagrammen zijn vierkant: het universum of beschouwingsgebied wordt dus als  vierkant voorgesteld. Dat heeft een duidelijk voordeel ten opzichte van cirkels: bij een gebruik van meerdere termen is het eenvoudig om een symmetrische verdeling van het universum te maken. Dat geldt voor de verdeling tussen verschillende termen als x en y, maar ook voor de verdeling tussen x en niet-x.

Voor twee termen verdeelde Carroll het vierkant in vier compartimenten, ‘kwartieren’, zoals in  figuur 12 voor de termen x en y. Carroll noemde dat een ‘biliteral’, tweeletterig diagram.

In de figuren maak ik nu gebruik van Carrolls notatie:

• x’ staat voor niet-x;                   y’ staat voor niet-y;
• xy staat voor x en y;                 xy’ staat voor x en niet-y;
• x’y staat voor niet-x en y;        x’y’ staat voor niet-x en niet-y.

Wanneer we dit uitwerken voor de termen ‘groen’ en ‘eetbaar’ dan kunnen we een door ons beschouwd universum (bijvoorbeeld: vruchten) indelen als weergegeven in figuur 13. Dankzij het vierkante universum is hier dus sprake van volledige symmetrie voor x en y, maar ook voor x en niet-x.

Voor drie termen, x, y en m, voegde Carroll in zijn diagram in het midden een kleiner vierkant toe om zo acht compartimenten (‘cellen’) te krijgen: zie figuur 14.

Hiermee heeft hij dus verzamelingen afgebeeld. Om uitspraken weer te geven, had hij extra hulpmiddelen nodig. In The Game of Logic gebruikte Carroll hiervoor grijze en rode fiches, in Symbolic Logic verving hij deze door ‘0’ en ‘I’. Een grijze fiche of ‘0’ betekent dat een compartiment leeg is, een rode fiche of  ‘I’ dat het bezet is.
Om de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weer te geven moet men een ‘0’ plaatsen in het compartiment x niet-y (dat dus leeg is) en een ‘I’ in het compartiment xy (dat bezet is): dit heb ik weergegeven in figuur 15.

Maar wat te doen met ‘Sommige x zijn m’? We hebben gezien dat dit soort uitspraken bij Euler en Venn niet eenvoudig waren weer te geven. ‘Sommige x zijn m’ betekent dat in figuur 14 xym bezet is, of xy’m bezet is, of beide. Om hier zorgvuldig mee om te gaan bedacht Carroll de volgende oplossing: hij plaatste het symbool ‘I’ op de grens tussen beide compartimenten, xym en xy’m: zie figuur 16.

Om de conclusie van de twee premissen van een syllogisme te checken of te vinden, volgde Carroll een procedure die vergelijkbaar is met Venn.

Neem bijvoorbeeld de premissen:

• Alle x zijn m
• Alle m zijn y

We geven de informatie uit de premissen weer in een drieletterig (triliteral) diagram (zoals figuur 14) en dat levert de hieronder weergegeven figuur 17a.
Immers:
De eerste premisse (‘Alle x zijn m’) impliceert;

• xym (d.w.z. x en y en m) is bezet OF
• xy’m (d.w.z. x en niet-y en m) is bezet.

Daarnaast zijn de beide compartimenten met zowel x als niet-m leeg, dus zowel xym’ (d.w.z. x, y, niet-m) als xy’m’ (d.w.z. x, niet-y, niet-m).
Voor de tweede premisse geldt hetzelfde maar dan voor m en y.

Gegeven het feit dat xy’m leeg is en dat ofwel xym of xy’m bezet is kan het diagram worden vereenvoudigd, zoals weergegeven in figuur 17b.
Dit diagram kunnen we nu nog verder vereenvoudigen. Bij Venn moest de conclusie direct uit het drieletterige diagram worden getrokken, Carroll vertaalde het eerst in een tweeletterig diagram waarbij hij de middelterm (m) elimineerde en alleen de twee termen overhield die in de conclusie verschijnen.

Hierbij gebruiken we de regels die Carroll heeft geformuleerd in Symbolic Logic[11] en we geven het resultaat weer in figuur 17c.

Regel A. Als een kwartier van het drieletterig diagram een ‘I’ bevat in een van de cellen, dan is dat kwartier hoe dan ook bezet, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘I’ om aan te geven dat het bezet is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier links-boven in het tweeletterig diagram bevat een ‘I’.

Regel B. Als het kwartier van het drieletterig diagram twee ‘0’-s bevat, één in elke cel, dan is het zeker leeg, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘0’ om aan te geven dat het leeg is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier rechtsboven in het tweeletterig diagram bevat een ‘0’.

Over de andere twee kwartieren kunnen we niets weten.
Op deze wijze krijgen we figuur 17c, het tweeletterig diagram voor de termen x en y met als conclusie: xy, ofwel: Alle x zijn y.