Lewis Carrolls logische diagrammen

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit artikel is het derde in een reeks over de logica van Lewis Carroll[1].
De eerste twee gingen over Lewis Carrolls belangstelling voor logica en over de stand van de logica in de tweede helft van de 19e eeuw[2].
Logica is de studie van methodes en principes om onderscheid te maken tussen geldige en niet geldige redeneringen. Bij redeneringen gaat het om het trekken van conclusies uit premissen, veronderstellingen.
In het vorige artikel hebben we gezien dat tot ver in de 19e eeuw de opvatting overheerste dat correcte redeneringen de vorm van een syllogisme moesten hebben met  twee premissen en een conclusie. Een voorbeeld:

  • Alle mensen zijn sterfelijk.
  • Alle Nederlanders zijn mensen.
  • Dus: alle Nederlanders zijn sterfelijk.

Elke van deze drie uitspraken heeft twee termen. Samen bevatten de drie uitspraken drie termen, waarvan er één niet voorkomt in de conclusie: de zgn. middenterm (‘mensen’ in ons voorbeeld). Deze wordt a.h.w. geëlimineerd en het elimineren van de middenterm is een essentiële stap bij onttrekken van informatie aan de premissen met als doel een conclusie te formuleren.
Ook toen in de symbolische logica een groter aantal premissen en een groter aantal termen werd gebruikt, bleef men het eliminatie-probleem zien als het centrale probleem in de logica, als essentieel onderdeel van het onttrekken van de juiste informatie aan de premissen.
Logici probeerden dit proces zoveel mogelijk te mechaniseren door het invoeren van eenvoudige bewerkingen die door herhaling tot het gewenste resultaat leiden. Ze deden dit vooral met behulp van symbolische, formele systemen. Daarbij hanteerden ze als uitgangspunt dat alle geldige redeneringen kunnen worden weergegeven als een opeenvolging van uitspraken in een of andere taal. Maar in dagelijkse leven beperken we ons bij redeneren niet tot uitspraken in een geschreven of gesproken taal: we hanteren ook andere hulpmiddelen, bijvoorbeeld  kaarten, plaatjes, grafieken en diagrammen.

Lewis Carroll heeft in zijn logische werken een systeem van logische diagrammen ontwikkeld om correcte redeneringen te mechaniseren. Deze diagrammen zijn het onderwerp van dit artikel[3].

Wat zijn logische diagrammen?

Er zijn veel soorten diagrammen. We komen ze tegen als ondersteuning bij analyses, als hulpmiddel bij brainstormen of als uitleg bij redeneringen. Met ‘logische diagrammen’ bedoelen we echter iets anders dan in deze voorbeelden. Bij logische diagrammen gaat niet om een hulpmiddel bij uitleg: de diagrammen vormen zelfstandig een logische redenering en fungeren daarmee als een eigen soort logische taal. Ze vormen een wezenlijk en legitiem onderdeel van een bewijs van de juistheid van een redenering.
In de symbolische logica, zoals we die tegenkwamen in het vorige artikel, zagen we in feite steeds de kenmerken van de geschreven natuurlijke taal terugkomen. Bij logische diagrammen is dat niet het geval; daar wordt een redenering ruimtelijk afgebeeld en de interpretatie van die afbeelding is afhankelijk van de ruimtelijke eigenschappen[4].

In de 18e en 19e eeuw was er veel waardering voor logische diagrammen. Dat hing samen met de ontwikkeling van de symbolische logica en het streven om logische analyses zoveel mogelijk te mechaniseren. In de 20e eeuw nam die belangstelling fors af. Dat laat zich verklaren uit de ontwikkeling van de mathematische logica, die ik kort heb beschreven in mijn vorig artikel. In de logica hecht men groot belang aan accuratesse en efficiëntie. De ontwikkeling van logica als grondslag van de wiskunde bracht rond de eeuwwisseling naar de 20e eeuw veel verrassingen met zich mee en die kwamen niet altijd van pas. Inconsistenties en contradicties staken de kop en daardoor kreeg nauwkeurigheid de hoogste prioriteit, anders gezegd: alles was gericht op het voorkómen van fouten. In deze context werden diagrammen met hun reputatie van misleiding niet serieus genomen.
Inmiddels is het imago van logische diagrammen verbeterd, met name door het gebruik van computers: naast nauwkeurigheid staat nu de efficiëntie van logische systemen hoog in het vaandel en dat heeft geleid tot hernieuwde aandacht voor logische diagrammen, niet alleen voor analyse maar ook voor formele bewijzen. De opvatting dat logische diagrammen misleidend zouden zijn, berust overigens op een misverstand: een degelijk formeel systeem op basis van diagrammen laat geen ruimte voor verkeerde interpretaties[5]. Overigens worden diagrammatische en symbolische methoden regelmatig gecombineerd en daardoor is het niet altijd mogelijk ze volledig te scheiden.

Figuur 1

Figuur 2

Figuur 3

Figuur 4

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

Figuur 9

Figuur 10

Figuur 11

Figuur 12

Figuur 13

Figuur 14

Figuur 15

Figuur 16

Figuur 18

Figuur 19

Figuur 20

Logische diagrammen vóór Lewis Carroll

De eerste  serieuze studie van de analyse van logische uitspraken met behulp van diagrammen vinden we bij Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De populariteit van diagrammen in de 18e en 19e eeuw is echter te danken aan het werk van de Zwitser Leonhard Euler uit 1768.
Ten tijde van Euler namen syllogismen een centrale plaats in de logica in. Syllogismen bestaan uit categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen. In het voorbeeld in de inleiding zijn dat drie verzamelingen: de verzameling mensen, de verzameling Nederlanders en de verzameling van alles wat sterfelijk is. Euler bedacht een systeem om uitspraken over verzamelingen voor te stellen met behulp van cirkels.
In figuur 1 zien we zijn voorstelling van de verzameling x, d.w.z. de verzameling van alle dingen met eigenschap x.
Door het gebruik van twee cirkels kan hij de relaties tussen twee verzamelingen weergeven. Omdat deze cirkels  elkaar omvatten, doorsnijden of uitsluiten, corresponderen ze met logische uitspraken:

  • Alle x zijn y:                              figuur 2
  • Geen x is y:                              figuur 3
  • Sommige x zijn y:                    figuur 4
  • Sommige x zijn niet y:            figuur 5

Dit is een relatief eenvoudig systeem, maar die eenvoud brengt ook complicaties en dubbelzinnigheden met zich mee. De afbeelding in figuur 2 van ‘Alle x zijn y’ sluit bijvoorbeeld de mogelijkheid uit dat de verzamelingen x en y identiek zijn, terwijl dat wel degelijk een optie is wanneer alle x ook y zijn. In dat geval zouden de beide cirkels samenvallen. Je hebt dus eigenlijk meer dan één afbeelding nodig voor de weergave van deze uitspraak. Ook voor de uitspraak ‘Sommige x zijn niet y’ zijn meerdere diagrammen noodzakelijk. Maar een dergelijke oplossing, d.w.z. meerdere diagrammen bij één uitspraak, gaat wel ten koste van de charme van de intuïtieve eenvoud.

In 1880 introduceerde John Venn een nieuw systeem, vooral omdat hij ontevreden was over Eulers diagrammen. Hij gebruikte ook cirkels, maar op een geheel andere manier.
Euler tekende de cirkels om direct in zijn diagram de feitelijke relatie tussen de verzamelingen weer te geven. Venn gebruikte ook cirkels voor verzamelingen maar hij tekende een basis-diagram dat alle mogelijkheden weergeeft.
In figuur 6 zien we bijvoorbeeld het basisdiagram voor twee verzamelingen x en y. Hierin vind je alle mogelijke deelverzamelingen die staan voor de mogelijke relaties tussen de verzamelingen x en y. In Venns notatie:

x y                      zowel x als y               de ruimte die de cirkels x en y gemeen hebben

x niet-y              wel x maar niet y        het deel van cirkel x dat geen deel uitmaakt van y

niet-x  y             niet x maar wel y        het deel van cirkel y dat geen deel uitmaakt van x

niet-x niet-y      niet x en niet y            de ruimte buiten de beide cirkels

Het diagram laat alle mogelijkheden zien, maar zegt daarmee nog niets over de feitelijke relatie tussen x en y. Om die feitelijke relatie weer te geven gebruikte Venn extra hulpmiddelen en met name arcering. Zo kon hij de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weergeven door het compartiment x niet-y te arceren om aan te geven dat dit compartiment leeg is en dat er dus geen x is die niet y is (zie figuur 7).

Deze figuren en voorbeelden betreffen diagrammen met twee termen. Maar de standaardvorm van logische problemen voor Euler en Venn was het syllogisme en dat bevat drie termen.
Om te checken of een gegeven syllogistische vorm (twee premissen en een conclusie) geldig is, moet men de informatie die de twee premissen bevatten, in een diagram weergeven en vervolgens controleren of de informatie uit de conclusie ook verschijnt in het diagram. Overigens kan het diagram meer informatie bevatten dan de conclusie in kwestie.

Het volgende voorbeeld laat zien hoe dat in zijn werk ging bij Euler.

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y
  • Dus: Alle x zijn y.

Dit syllogisme kunnen we in Eulers diagrammen als volgt weergeven (zie figuur 8): de cirkel van verzameling x wordt geheel omsloten door de cirkel van verzameling m die op zijn beurt weer wordt omsloten door de cirkel van verzameling y. Dan wordt de cirkel van verzameling x geheel omsloten door de cirkel van verzameling y en is de conclusie juist.
Dit ziet er eenvoudig en intuïtief uit. Maar het is in feite een simplificatie en inperking van de werkelijkheid. Want de mogelijkheid dat x en y geheel samenvallen blijft buiten beschouwing, evenals de mogelijkheid dat m en y geheel samenvallen of x, m en y alle drie.
Het wordt nog ingewikkelder wanneer sprake is van particuliere uitspraken, zoals ‘Sommige x zijn y’. Daarbij neemt het aantal mogelijke situaties verder toe en dus neemt de bruikbaarheid van Eulers diagrammen af.

De diagrammen van Venn zijn handiger bij het controleren van syllogismen. Voor hetzelfde voorbeeld tekenen we hier een basisdiagram voor drie verzamelingen: x, m en y: zie figuur 9. We arceren in cirkel x alles wat buiten cirkel m ligt (‘Alle x zijn m’), en in cirkel m alles wat buiten cirkel y ligt (‘Alle m zijn y’). Het resterende, niet gearceerde compartiment van x ligt dan inderdaad zowel in de cirkel m als de cirkel y en alle x is dan inderdaad y.
Hier staat wel tegenover dat Venns diagrammen minder eenvoudig zijn dan die van Euler: ze  vragen wat meer oefening. En nu hebben we alleen nog maar de juistheid van syllogismen gecheckt. Via deze diagrammen moet het ook mogelijk zijn om zelf de conclusie uit de premissen te ontdekken, maar dat vraagt uiteraard nog meer ervaring in het werken met de diagrammen.

Venn beoogde met zijn diagrammen een verbetering ten opzichte van Euler om er ook complexe logische problemen mee te kunnen oplossen. We moeten echter constateren dat zich ook bij het gebruik van Venns diagrammen een aantal problemen voordoet.

Het eerste probleem betreft diagrammen voor sorites, d.w.z. redeneringen waarin meer dan twee premissen voorkomen en dus meer dan drie termen. Venn was een navolger van Boole en had veel aandacht voor het eliminatie-probleem, niet alleen bij traditionele syllogismen maar ook bij sorites. Hij wilde zijn diagrammen hiervoor dus ook gebruiken.
Bij vier termen (drie premissen) stuiten we op het probleem dat het niet mogelijk is om met cirkels alle vereiste doorsnijdingen te krijgen. Venn verving de cirkels daarom door ellipsen, zoals weergegeven in figuur 10.
Maar bij vijf termen (vier premissen) werkt dat al niet meer. Daarvoor introduceerde Venn een ‘annulus’ in combinatie met de ellipsen, een meetkundige ring, een soort kraag, zie figuur 11.
Venn was van mening dat diagrammen geen waarde hadden voor logische problemen met meer dan vijf termen. Niettemin was het volgens hem in principe wel mogelijk om ook deze problemen met diagrammen op te lossen. Hij gaf enkele algemene aanwijzingen hoe zijn systeem daartoe zou kunnen worden uitgebreid, doch heeft dat zelf niet uitgewerkt.[6]

Een tweede probleem is de vraag hoe om te gaan met particuliere uitspraken: ‘Sommige x zijn y’ en ‘Sommige x zijn niet-y’. Venn had hier, evenals Euler, problemen mee en hij heeft daar zelf geen bevredigende oplossing voor gevonden.
Wanneer we te maken hebben met universele uitspraken (zoals ‘Alle x zijn y’), geven we deze in een diagram weer door het compartiment dat leeg is (namelijk dat van alle dingen met eigenschap x die niet y zijn) te arceren. Maar bij particuliere uitspraken werkt dat arceren niet: dan moet je aangeven welk compartiment gevuld is met tenminste één ding met de betreffende eigenschap. Maar dat zal meestal niet beperkt zijn tot één compartiment, en het is dan of het ene óf het andere compartiment. Dat vraagt in Venns systeem om meerdere diagrammen. Ook hiervoor zijn overigens later door anderen oplossingen bedacht[7].

Een derde probleem betreft negatieve termen, zoals niet-x. In feite zijn deze bij Venn onbepaald: in zijn diagrammen is het de ruimte buiten de cirkel x en die ruimte is oneindig. Het is daardoor niet mogelijk om de uitspraak ‘Alle niet-x zijn y’ grafisch weer te geven. Want de verzameling ‘alle niet-x’ beslaat de gehele ruimte buiten de cirkel x (oneindig dus) en die kan slechts worden omvat door een andere cirkel y als die ook oneindig is.
Om dit probleem op te lossen is het begrip ‘Universe of Discourse’ geïntroduceerd, hier vertaald als ‘beschouwingsgebied’: de totale verzameling van alle dingen waar we het over hebben. Dat kunnen alle denkbare dingen zijn, maar ook bijvoorbeeld alle mensen, of  alle boeken. Het idee erachter is afkomstig van De Morgan (1846): hij verwierp het onbepaalde karakter van negatieve termen en definieerde de omvang van niet-x als het complement van x: x en niet-x vullen samen het universum. Dus wanneer bijvoorbeeld het universum alle boeken betreft, vullen de Nederlandse en niet-Nederlandse boeken samen het universum of beschouwingsgebied.
De term ‘Universe of Discourse’ komt van Boole (1854) en de meeste navolgers van De Morgan en Boole maakten gebruik van dit begrip[8]. Venn deed dit echter niet: hij gaf het beschouwingsgebied niet weer in zijn diagrammen. Dat kan overigens relatief eenvoudig worden toegevoegd in de vorm van een cirkel of vierkant, waarbinnen het diagram, zoals het tot nu toe gebruikt was, geplaatst wordt.

Carrolls diagrammen

Logische diagrammen vormen een belangrijk element in het logische werk van Lewis Carroll. Hij bedacht een eigen systeem dat hij voor het eerst beschreef in The Game of Logic in 1886 en verder uitwerkte in Symbolic Logic (1896).
In The Game of Logic presenteerde Carroll zijn diagram als een spel, niet omdat logica een spel is maar omdat hij hoopte door de eenvoud van de presentatie een zo groot mogelijk publiek te bereiken. Bij het boek werden een bord en fiches geleverd. Een eenvoudige inleiding in het Nederlands tot het bordspel van The Game of Logic is te vinden in het tijdschrift Wauwelwok van het Lewis Carroll Genootschap in de jaren ‘70[9].

Evenals Venn onderscheidt Carroll in zijn diagrammen twee stappen: eerst presenteert hij een grafische afbeelding van verzamelingen om vervolgens in die afbeelding met extra hulpmiddelen logische uitspraken weer te geven.
Maar er zijn duidelijke verschillen met het systeem van Venn. In feite lost Carroll met zijn diagrammen de bij Euler en Venn gesignaleerde problemen op. Het is overigens niet duidelijk of hij zijn diagrammen daadwerkelijk heeft bedoeld als verbeteringen van Venns diagrammen, dan wel dat hij ze zelf onafhankelijk heeft bedacht. Er is geen aanwijzing dat Carroll bekend was met het werk van Venn toen hij zijn diagrammen ontwikkelde. In The Game of Logic wordt Venn niet genoemd. De eerste vermelding van Venn in Carrolls werken is te vinden in een appendix bij Symbolic Logic, waarin hij zijn eigen (toen reeds ontwikkelde) diagrammen vergeleek met die van Venn[10].

Carrolls diagrammen zijn vierkant: het universum of beschouwingsgebied wordt dus als  vierkant voorgesteld. Dat heeft een duidelijk voordeel ten opzichte van cirkels: bij een gebruik van meerdere termen is het eenvoudig om een symmetrische verdeling van het universum te maken. Dat geldt voor de verdeling tussen verschillende termen als x en y, maar ook voor de verdeling tussen x en niet-x.

Voor twee termen verdeelde Carroll het vierkant in vier compartimenten, ‘kwartieren’, zoals in  figuur 12 voor de termen x en y. Carroll noemde dat een ‘biliteral’, tweeletterig diagram.

In de figuren maak ik nu gebruik van Carrolls notatie:

  • x’ staat voor niet-x;                   y’ staat voor niet-y;
  • xy staat voor x en y;                 xy’ staat voor x en niet-y;
  • x’y staat voor niet-x en y;        x’y’ staat voor niet-x en niet-y.

Wanneer we dit uitwerken voor de termen ‘groen’ en ‘eetbaar’ dan kunnen we een door ons beschouwd universum (bijvoorbeeld: vruchten) indelen als weergegeven in figuur 13. Dankzij het vierkante universum is hier dus sprake van volledige symmetrie voor x en y, maar ook voor x en niet-x.

Voor drie termen, x, y en m, voegde Carroll in zijn diagram in het midden een kleiner vierkant toe om zo acht compartimenten (‘cellen’) te krijgen: zie figuur 14.

Hiermee heeft hij dus verzamelingen afgebeeld. Om uitspraken weer te geven, had hij extra hulpmiddelen nodig. In The Game of Logic gebruikte Carroll hiervoor grijze en rode fiches, in Symbolic Logic verving hij deze door ‘0’ en ‘I’. Een grijze fiche of ‘0’ betekent dat een compartiment leeg is, een rode fiche of  ‘I’ dat het bezet is.
Om de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weer te geven moet men een ‘0’ plaatsen in het compartiment x niet-y (dat dus leeg is) en een ‘I’ in het compartiment xy (dat bezet is): dit heb ik weergegeven in figuur 15.

Maar wat te doen met ‘Sommige x zijn m’? We hebben gezien dat dit soort uitspraken bij Euler en Venn niet eenvoudig waren weer te geven. ‘Sommige x zijn m’ betekent dat in figuur 14 xym bezet is, of xy’m bezet is, of beide. Om hier zorgvuldig mee om te gaan bedacht Carroll de volgende oplossing: hij plaatste het symbool ‘I’ op de grens tussen beide compartimenten, xym en xy’m: zie figuur 16.

Om de conclusie van de twee premissen van een syllogisme te checken of te vinden, volgde Carroll een procedure die vergelijkbaar is met Venn.

Neem bijvoorbeeld de premissen:

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y

We geven de informatie uit de premissen weer in een drieletterig (triliteral) diagram (zoals figuur 14) en dat levert de hieronder weergegeven figuur 17a.
Immers:
De eerste premisse (‘Alle x zijn m’) impliceert;

  • xym (d.w.z. x en y en m) is bezet OF
  • xy’m (d.w.z. x en niet-y en m) is bezet.

Daarnaast zijn de beide compartimenten met zowel x als niet-m leeg, dus zowel xym’ (d.w.z. x, y, niet-m) als xy’m’ (d.w.z. x, niet-y, niet-m).
Voor de tweede premisse geldt hetzelfde maar dan voor m en y.

Gegeven het feit dat xy’m leeg is en dat ofwel xym of xy’m bezet is kan het diagram worden vereenvoudigd, zoals weergegeven in figuur 17b.
Dit diagram kunnen we nu nog verder vereenvoudigen. Bij Venn moest de conclusie direct uit het drieletterige diagram worden getrokken, Carroll vertaalde het eerst in een tweeletterig diagram waarbij hij de middelterm (m) elimineerde en alleen de twee termen overhield die in de conclusie verschijnen.

Hierbij gebruiken we de regels die Carroll heeft geformuleerd in Symbolic Logic[11] en we geven het resultaat weer in figuur 17c.

Regel A. Als een kwartier van het drieletterig diagram een ‘I’ bevat in een van de cellen, dan is dat kwartier hoe dan ook bezet, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘I’ om aan te geven dat het bezet is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier links-boven in het tweeletterig diagram bevat een ‘I’.

Regel B. Als het kwartier van het drieletterig diagram twee ‘0’-s bevat, één in elke cel, dan is het zeker leeg, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘0’ om aan te geven dat het leeg is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier rechtsboven in het tweeletterig diagram bevat een ‘0’.

Over de andere twee kwartieren kunnen we niets weten.
Op deze wijze krijgen we figuur 17c, het tweeletterig diagram voor de termen x en y met als conclusie: xy, ofwel: Alle x zijn y.

Figuur 17a

Figuur 17b

Figuur 17c

Kijkend naar de drie problemen van de Venn-diagrammen, hebben we nu gezien hoe Carroll omgaat met particuliere uitspraken (‘Sommige x zijn y’) en hoe hij negatieve termen (‘niet-x’) behandelt.
Van de drie bij Venn gesignaleerde complicaties resteert er nog één: hoe om te gaan met de grafische voorstelling voor redeneringen met vier of meer termen (sorites)?
In Symbolic Logic geeft Carroll vele voorbeelden van sorites met drie of meer premissen. Hij ontwierp ook diagrammen voor vier termen en in zijn systeem blijven deze zonder meer overzichtelijk, zie figuur 18. Met vijf termen had hij meer problemen; daarvoor gebruikte hij diagonale lijnen in zijn vierletterig diagram, zoals weergegeven in figuur 19. Maar hij ging nog verder, zoals we bijvoorbeeld kunnen zien in figuur 20, dat zijn diagram voor zes termen bevat.
Dankzij de wijze waarop hij het universum weergeeft en de symmetrie van zijn afbeeldingen zijn Carrolls diagrammen eenvoudig en regelmatig en daardoor bij een toenemend aantal termen beter hanteerbaar dan die van Venn. De eerlijkheid gebiedt wel hier te vermelden dat Carroll nergens in zijn logische werken zijn diagrammen gebruikte om een probleem met meer dan drie termen op te lossen. In zijn teruggevonden aantekeningen zijn hier wel enkele voorbeelden van te vinden[12].

Maar Carrolls diagrammen hebben ook een eigen complicatie. Dat hangt samen met het probleem van ‘existential import’: dat is de vraag of een algemeen bevestigende uitspraak (ook wel ‘A-uitspraak’ genoemd, zoals ‘Alle x zijn y’) impliceert dat er ook daadwerkelijk een x is die y is, d.w.z. de particuliere uitspraak, of ‘I-uitspraak’ ‘Sommige x zijn y’ impliceert.
Een voorbeeld: als de uitspraak ‘Alle eenhoorns zijn groen’ waar is, betekent dit dat er dan ook echt een groene eenhoorn is? Of is het voldoende dat er geen eenhoorn wordt gevonden die niet groen is? In de laatste optie is het dus niet relevant of er eenhoorns bestaan.
We hebben gezien dat voor Carroll de uitspraak ‘Alle x zijn y’ gelijkwaardig is aan de combinatie van ‘Sommige x zijn y’ en ‘Geen x is niet-y’. Dat betekent dat Carroll van mening is dat niet alleen I-uitspraken (‘ Sommige x zijn y’) maar ook A-uitspraken (‘Alle x zijn y’) impliceren dat er daadwerkelijk een x bestaat die y is, m.a.w. dat ze het bestaan van het subject bevestigen. In ons voorbeeld impliceert ‘Alle eenhoorns zijn groen’ dus dat er daadwerkelijk een eenhoorn bestaat die groen is. Dit is in lijn met de opvatting van Aristoteles, maar in het midden van de 19e eeuw werd het onder invloed van Boole en Venn steeds gebruikelijker om te ontkennen dat A-uitspraken het bestaan van het subject impliceren. Ook in de hedendaagse logica is dat de gangbare opvatting.
Carroll verdedigde zijn standpunt door het te beschouwen als een kwestie van “convenience”. In zijn ogen kan iedere schrijver zijn eigen regels bepalen, mits deze intern consistent zijn met zichzelf en consistent met de geaccepteerde logische feiten[13].
Het valt niet uit te sluiten dat Carroll later van standpunt veranderde m.b.t. de existential import van A-uitspraken, zoals moge blijken uit enkele privé geschriften (dagboek, brief)[14].

De impact van Carrolls logische diagrammen

We hebben gezien dat Carrolls diagrammen enkele duidelijke voordelen hebben boven die van Venn. Dit betreft vooral de wijze waarop Carroll het universum of het beschouwingsgebied weergeeft en het relatieve gemak waarmee men met zijn systematiek diagrammen voor meer dan vier termen kan construeren. Ook is zijn gebruik van bord en fiches aantrekkelijk: men hoeft niet telkens een nieuw diagram te tekenen en de fiches kunnen er direct op geplaatst worden; dit heeft duidelijk pedagogische voordelen. Centraal in Carrolls logische werk staat zijn streven naar popularisering, de promotie van de logica, en zijn diagrammen zijn hier een duidelijk voorbeeld van.

Carrolls diagrammen zijn bekend bij zowel logici als historici van de logica en ze worden ook genoemd in overzichtswerken over diagrammen zoals dat van Gardner[15]. Maar alhoewel Carrolls diagrammen niet alleen door hemzelf maar ook door diverse andere auteurs superieur worden genoemd t.o.v. die van Venn, worden ze, in tegenstelling tot de Venn-diagrammen, zelden gebruikt. Slechts incidenteel vormen ze een wezenlijk onderdeel van een logica-leerboek. De volgende voorbeelden zijn mij bekend.
C.I. Lewis [1960] gebruikt bij zijn uitleg van logische relaties tussen verzamelingen diagrammen van zowel Venn als Carroll en noemt die van Carroll “the most convenient[16]
Wanneer P.T. Geach [1976] uitleg geeft over het gebruik van diagrammen om de geldigheid van redeneervormen te checken, gebruikt hij zowel Venns als Carrolls diagrammen maar geeft aan dat de laatste veel handiger zijn bij gebruik van meer dan drie termen[17].
Richard Purtill [1971] gebruikt bij de behandeling van het syllogisme en de verzamelingenleer Carrolls diagrammen, omdat hij ze duidelijker en praktischer vindt dan andere diagrammen[18].
Humphrey Palmer heeft in een interne publicatie van University College Cardiff een cursushandleiding Argumentatie ontwikkeld. Hij zegt zich hierbij te baseren op een systeem dat ontwikkeld is door Lewis Carroll (“alias Nathaniel Dodgson”)[19]. Hij gebruikt de vierkante diagram-indeling uit The Game of Logic, maar ziet zonder verklaring af van de omtrek van het vierkant dat de Universe of Discourse aangeeft. Bij de behandeling van argumenten met drie termen tekent hij niet, zoals Carroll, een kleiner vierkant binnen zijn diagram maar gebruikt hiervoor een cirkel.

In logica-leerboeken komt men wel vaak aan Carroll ontleende amusante voorbeelden tegen van syllogismen en sorites, meestal met bronvermelding. Zo ook in het veel gebruikte leerboek van Irving Copi (dat ik ken uit mijn eigen studententijd)[20] en dat van Howard Kahane.
Het feit dat zijn voorbeelden populairder zijn dan de systematiek van zijn diagrammen is wellicht een indicatie voor een bredere verklaring voor het beperkte gebruik van zijn diagrammen. Zoals ik beschreef in mijn eerste artikel[21], zit Carrolls bekendheid als auteur van de Alice-boeken zijn status als logicus enigszins in de weg: zijn diepgang als logicus zou beperkt zijn, hij zou logica slechts als spel zien en/of hij zou zijn logica slechts bedoeld hebben voor kinderen. Zijn amusante voorbeelden liggen echter in het verlengde van zijn literaire werk en trekken daarom de aandacht. Daarbij komt dat de systematiek van logische diagrammen überhaupt leed onder afnemende belangstelling, vanwege de opkomst van de mathematische logica in het begin van de 20e eeuw.
Wellicht brengt de recent weer toenemende interesse voor diagrammen ook een bredere erkenning voor dat aspect van Carrolls logica met zich mee.

 

 Voetnoten

[1] Belangrijke bronnen voor zit artikel zijn Moktefi 2002 en  Moktefi & Shin 2012, 2013b. De afbeeldingen 10 en 11 zijn overgenomen uit Edwards 2004, de afbeeldingen 15 t/m 20 uit Moktefi & Shin 2012.
[2] Zie Savenije 2019a en 2019b.
[3] Zoals de meeste logici uit zijn tijd, besteedde Carroll veel aandacht aan het eliminatie-probleem. Hij had vier methoden voor de oplossing van het eliminatieprobleem. In Symbolic Logic Part I is dat behalve de diagrammen zijn method of underscoring, in Symbolic Logic Part II de method of trees en de method of barred premises, een uitbreiding van de method of underscoring.
De method of trees is onderwerp van mijn volgend artikel. De method of underscoring laat ik verder buiten beschouwing. Hij hangt nauw samen met de specifieke notatie die Lewis Carroll in zijn logica gebruikte en die verder geen navolging heeft gevonden.
[4] Greaves 2002, Moktefi & Shin 2012.
[5] Zie Shin 1995.
[6] Anderen hebben daar wel uitwerkingen voor gegeven in de vorm van enige aanpassingen van Venn’s oorspronkelijke systeem, zie bijvoorbeeld Edwards 2004.
[7] Zie Moktefi & Pietarinen 2015 waarin met name de verbeteringen worden besproken die de Amerikaan C.S. Peirce in 1903 heeft aangebracht in de Venn-diagrammen.
[8] De eerste diagrammatische representatie van the universe of discourse wordt vaak aan Carroll toegeschreven, maar we zien deze al eerder bij Alexander Macfarlane [1879, p.23].
[9] Klieb & van de Kamer 1977.
[10] Carroll 1896, p.176.
[11] Carroll 1896, p.53.
[12] Moktefi 2008, p.479-480.
[13] Carroll 1896, p.166.
[14] Bartley 1986, pp.34-35 en Abeles 2005 p.45.
[15] Zie Gardner 1958.
[16] Zie Lewis 1960, p.180.
[17] Geach 1976, p.59.
[18] Purtill 1971, p.138.
[19] Palmer 1979, p.2.
[20] Ter illustratie een voorbeeld (Copi 1968, p.198):
“Translate (…) the following sorites into standard form, and test its validity:

  1. Babies are illogical.
  2. Nobody is despised who can manage a crocodile.
  3. Illogical persons are despised.
    Therefore babies cannot manage crocodiles.”

[21] Savenije 2019a.

Literatuur

Abeles, Francine, 2005, ‘Lewis Carroll’s Formal Logic’, History and Philosophy of Logic, Vol. 26, No. 1, pp.33-46.

Bartley,  William Warren III, 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: Clarkson N. Potter.

Carroll, Lewis, 1886, The Game of Logic, London: Macmillan.

Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, London: Macmillan.

Copi, Irving, 1968, Introduction to Logic, London: The Macmillan Company.

Edwards, A.W.F., 2004, Cogwheels of the Mind. The Story of Venn Diagrams, Baltimore/Londen: Johns Hopkins University Press.

Euler, Leonhard, 1768, Lettres à une Princesse d’Allemagne, St. Petersburg. Vertaald door H. Hunter, Letters to a German Princess, London, 1795.

Gabbay, Dov & John Woods (eds.), 2008,  The Handbook of the History of Logic, Volume 4: British Logic in the Nineteenth Century,  Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gabbay, Dov, Francis Jeffry Pelletier & John Woods (eds.), 2012, Handbook of the History of Logic, Volume 11: Logic: A History of its Central Concepts, Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gardner, Martin, 1958, Logic Machines and Diagrams, The University of Chicago Press.

Geach, Peter, 1976, Reason and Argument, Oxford: Basil Blackwell.

Greaves, Mark, 2002, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford, California: CSLI Publications.

Kahane, Howard, 2012, Logic and Philosophy. A Modern Introduction, 12th edition. Boston: Wadsworth.

Klieb, Leslie & Rolf van de Kamer, 1977, ‘De mondharp in het logische orkest. Een inleiding tot Lewis Carroll’s logica’, Wauwelwok, Vol. 1, pp.16-20, zie ook https://lewiscarrollgenootschap.nl/wp-content/uploads/2016/07/Wauwelwok-1.pdf.

Lewis, C.I., 1960, A Survey of Symbolic Logic, New York: Dover Publications.

Macfarlane, Alexander, 1879, Principles of the Algebra of Logic,  Edinburgh: David Douglas.

Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-505.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2012, ‘The History of Logic Diagrams’, in Gabbay , Pelletier & Woods 2012, pp.611-682.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin (eds.), 2013a, Visual Reasoning with Diagrams, Basel: Birkhäuser.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2013b, ‘Preface’ in Moktefi & Shin (eds.) 2013a, pp.v-xiv.

Moktefi, Amirouche & Ahti-Veikko Pietarinen, 2015, ‘On the Diagrammatic Representation of Existential Statements with Venn Diagrams’, Journal of Logic, Language and Information, Vol. 24, No. 4, pp.361-374.

Palmer, Humphrey, 1979, Arguing for Beginners. A Fresh Approach to Reasoning by Lewis Carroll’s Diagrams, Park Place Papers No. 5, University College Cardiff, Department of Extra-Mural Studies.

Purtill, Richard L., 1971, Logic for Philosophers, New York: Harper & Row.

Savenije, Bas, 2019a, ‘Lewis Carrolls belangstelling voor logica’, Phlizz, september 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/09/27/lewis-carrolls-belangstelling-voor-logica/.

Savenije, Bas, 2019b, ‘De logicus Lewis Carroll in de context van zijn tijd: de ontwikkeling van de symbolische logica’, Phlizz, december 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/12/31/de-logicus-lewis-carroll-in-de-context-van-zijn-tijd-de-ontwikkeling-van-de-symbolische-logica/.

Shin, Sun-Joo, 1995, The Logical Status of Diagrams, Cambridge University Press.

Venn, John, 1880, ‘On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings’, Philosophical Magazine, Vol. 10, pp.1-18.