Categorie: It’s my own invention

Alice in het rijk der verboden boeken

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

I         INLEIDING

Er doen regelmatig geruchten de ronde dat het boek Alice in Wonderland in sommige landen in de ban is gedaan en op een lijst zou staan met “verboden boeken”. Er waren daar verschillende redenen voor, zo zou het boek in de jaren zestig van de vorige eeuw in de Verenigde Staten het gebruik van drugs aanmoedigen.[1] Ook zijn er overleveringen dat Alice in Wonderland op sommige scholen in de Verenigde Staten verboden is geweest vanwege een aantal dialogen en (seksuele) fantasieën binnen het boek. Ook uit de communistische landen USSR en China uit de eerste helft van de vorige eeuw  komen “verzinsels”,  dat het boek op een “verboden lijst” zou zijn gezet op grond van het feit dat pratende dieren op hetzelfde niveau als de mens werden geplaatst en daardoor ook de mens konden kleineren.[2] Het zijn echter allemaal voor een groot deel broodjes-aap verhalen en hoewel er ooit misschien wel eens een school of een krant of een magazine het boek in de ban heeft gedaan, is het boek Alice in Wonderland nog nooit op een lijst met verboden boeken gekomen. Tot echter onlangs via een artikel van  Markus Lång in het tijdschrift “The Knight Letter”[3] uitvoerig uit de doeken kwam dat een speciale uitgave van het boek Alice in Wonderland in Finland verboden is. Dat ging gepaard met diverse rechtszaken. En dat daar nauwelijks ruchtbaarheid aan gegeven is, is niet verwonderlijk. Een westers land dat een kinderboek (althans in die uitgave) verbiedt, is heel bijzonder. Het wrange aan deze situatie is, dat een Nederlandse vertaler/bewerker daartoe de aanzet heeft geleverd.

De feitelijke gelegenheid om de distributie van deze bijzondere editie van Alice in Wonderland te verbieden vond plaats in 1962 in Finland en de reden daarvoor was van geheel andere aard dan al die redenen in al die broodjes-aap verhalen. Met toestemming van Markus Lång (een Finse Carrolliaan) en de redactie van de Knight Letter volgt hier in deel II een bijna complete Nederlandse vertaling van zijn artikel:[4]

II        DE   VERBODEN   ALICE

Proloog
Ergens in 1961 begon een Fins bedrijf genaamd Kynäbaari Oy met de publicatie van een serie boeken met het label “Luxus” (luxe), een serie boeken bedoeld voor jonge lezers. Deze boekenreeks omvatte acht klassieke romans, gedrukt in Nederland en geïllustreerd met kleurillustraties[5]: Alice in Wonderland (Liisa Ihmemaassa) door L. Caroll, Little Women door Louise Alcott, Tom Sawyer door Mark Twain, Robinson Crusoë door Daniel Defoe, enzovoort. Deze waren allemaal vertaald uit een identieke serie in het Nederlands, hoewel de romans oorspronkelijk in het Engels of in het Duits waren geschreven. Die serie van acht “bewerkingen”, oorspronkelijk omstreeks 1960  uitgegeven door Holkema & Warendorf te  Amsterdam (in het Nederlands als Junior Star Pocket en in het Frans als Serie Mulder Junior) en gedrukt in Nederland door Mulder & Zoon, werd op grote schaal verspreid in Frankrijk, Nederland, België en Canada, zoals advocaat Aleksander Kaspi later bij de rechtbank aantoonde.

Finse Alice

Franse Alice

Nederlandse Alice

Helaas was de kwaliteit van het Fins dat in deze boeken werd gebruikt, onhandig en afschuwelijk om het beleefd te zeggen. De vertalingen waren erg slecht, onnauwkeurig en ondeskundig, bovendien was de inhoud van de boeken verkort en gewijzigd. Niet alleen ontbrak de naam van de vertaler in de boeken, maar werd ook niet vermeld dat de boeken sterk waren ingekort en aangepast. De kopers van deze boeken konden zich bedrogen voelen, omdat de boeken volledige en nauwkeurige weergaven leken te zijn van de originele klassiekers. Vanuit juridisch oogpunt zou dit kunnen worden geïnterpreteerd als een kwestie van consumentenbescherming. Volgens Finse wetten is dit echter in de eerste plaats een auteursrechtkwestie, met name in gevallen waarin de auteur is overleden, zelfs als het auteursrecht al is opgehouden en de romans in kwestie het publieke domein zijn binnengedrongen. De Finse auteursrechtwet heeft een sectie die de Classics Protection Paragraaf (§ 53) kan worden genoemd. Deze wet was op 1 september 1961 in werking getreden.

In de Noordse landen was het gebruikelijk om samen belangrijke wetgeving op te stellen en dat gold ook voor de auteursrechtwetgeving van deze landen in de jaren vijftig en zestig van de vorige eeuw. Er is dus ook een soortgelijke paragraaf, bijvoorbeeld in de Auteurswet van Zweden (§ 51), met de Academie van Zweden als de bevoegde autoriteit. Volgens de paragraaf in kwestie heeft het Finse ministerie van Onderwijs de bevoegdheid om de import en distributie van literatuur- en kunstwerken te verbieden wanneer het uit te geven werk publiekelijk “educatieve belangen” schendt (of in strijd is met “de belangen van het cultiveren van de menselijke geest”, op voorwaarde dat de auteur dood is, dat wil zeggen dat hij zijn of haar rechten niet kan verdedigen.[6]

De slechte literaire kwaliteit van de “Luxus” -boeken werd duidelijk in Finland toen Timo Tiusanen, een literatuurwetenschapper, de boekenreeks in de krant Helsingin Sanomat op 18 maart 1962 recenseerde. Hij concentreerde zich op de slechte kwaliteit van Tom Sawyer: “Nee , deze uitgave is een moordaanslag op het boek.” Hij nam ook nota van het niet-authentieke sprookje dat aan het begin van Alice in Wonderland werd toegevoegd. Tiusanen riep mogelijke kopers op deze “frauduleuze” boeken niet te bestellen en niet te kopen. In 1962–1963, werd deze juridische zaak op de voet gevolgd door Helsingin Sanomat, waar Tiusanen als journalist werkte. In andere kranten en tijdschriften wordt echter deze zaak zelden genoemd. In het tijdschrift Suomen Kuvalehti van14 juli 1962 keurde Helle Kannila, een gerenommeerd bibliothecaris, het verbod af met het argument dat boeken van mindere kwaliteit helaas vrij algemeen zijn en dat het ministerie dus tegen windmolens vecht. Hierop publiceerde Tiusanen op 18 juli in Helsingin Sanomat een lang en kritisch dupliek.

Het Ministerie van Onderwijs ondernam actie met betrekking tot de “Luxus” -boeken en vroeg om een ​​uitspraak van de Literaire Staats Raad en verbood de invoer en distributie van deze serie boeken op 11 mei 1962.[7]

Eerste beroep
Het bedrijf Kynäbaari, dat de serie boeken publiceerde, accepteerde dit echter niet en eiste bij de Rechtbank van Helsinki het verbod op te heffen. Dit lukte. De gemeentelijke rechtbank was het ermee eens dat de romans waren aangepast en het zou gepast zijn geweest om in de boeken te vermelden dat de publicaties waren ingekort en gewijzigd, maar door dit na te laten was er geen belediging voor educatieve belangen in de zin en omvang waarnaar in de Auteurswet werd verwezen. Daarom werd op 29 januari 1963 het verbod afgeschaft en moest de staat Finland de juridische kosten van Kynäbaari betalen, 500 mark (ongeveer 778 dollar in de huidige tijd).

Aangezien beide partijen de zaak aanhangig maakten bij het Hof van Beroep van Helsinki, kreeg het vonnis geen rechtsgeldigheid. Bij het Hof van Beroep zijn de boeken uitvoerig onderzocht, waarbij werd opgemerkt dat de vertaalde versies aanzienlijk verschilden van de originele romans; Tom Sawyer bevatte bijvoorbeeld slechts circa 85 pagina’s van de oorspronkelijke 255, The Last of the Mohicans bevatte slechts 75 pagina’s van de 560 en Alice in Wonderland bevatte ongeveer 5/6 van het oorspronkelijke aantal pagina’s en geen gedichten. Verder waren tien pagina’s met tekst toegevoegd aan het begin en twee pagina’s aan het einde van het verhaal, die niet aanwezig zijn in het originele werk – het zijn niet-authentieke uitbreidingen die zelfs heel dom overkomen. Ook de inhoud en de stijl van verschillende romans werden zo wezenlijk veranderd dat ze niet meer als vertalingen konden worden beschouwd, maar eerder als gewijzigde en verkorte samenvattingen – in feite vervalsingen -, die enigszins leken op de originele romans. Dit is natuurlijk niet zo verbazingwekkend als je een Engels boek in het Nederlands bewerkt, dit in het Frans vertaalt en dit Franse boek vervolgens in het Fins omzet. De onnauwkeurigheden stapelen zich op die manier op.

Verdere beroepen
Omdat de boeken in kwestie niet vermeldden dat het om verkortingen of aanpassingen ging en omdat de literaire waarde van de publicaties aanzienlijk lager was dan die van de originele werken, heeft het Hof van Beroep het besluit van de stadsrechtbank vernietigd en op 14 oktober 1964 beslist, dat de invoer en distributie van de boeken in kwestie verboden moest worden, zoals oorspronkelijk bevolen was door het Ministerie van Onderwijs. De staat was niet aansprakelijk voor de juridische kosten van Kynäbaari. De enige vrijstelling van het verbod was het boek Robin Hood, geschreven door een zekere “Tsylla Täti” (“Tante Tsylla”, een pseudoniem), omdat niet kon worden aangetoond dat deze anonieme auteur dood was.
Hierna ging het bedrijf Kynäbaari in beroep bij het Hooggerechtshof van Finland en deze zaak werd vervolgens op de rol gezet. Het vonnis van het Hof van Beroep werd bekrachtigd en openbaar gemaakt op 6 februari 1967. Hoewel er verschillende romans bij betrokken waren, staat dit precedent, KKO 1967-II-10, algemeen bekend als “de Alice in Wonderland zaak” in Finse cursusboeken over intellectueel eigendomsrecht.

Er moet helaas aan toegevoegd worden dat dit het enige geval is geweest – niet alleen in Finland, maar in de Scandinavische landen in het algemeen – waarin deze  Classics Protection Paragraaf ooit in werking is getreden en … deze zaak ligt nu alweer bijna zestig jaar achter ons. De paragraaf blijft technisch nog steeds van kracht, maar momenteel is het Finse Ministerie van Onderwijs niet bereid om het af te dwingen, omdat dat ondernemers ook zou kunnen afschrikken om dingen te publiceren (een zogenaamd “chilling effect”) en daarmee hun vrijheid van meningsuiting en bescherming van hun intellectuele eigendom zou beperken. Het bedrijf Kynäbaari bestaat nog steeds, tegenwoordig samengevoegd met andere bedrijven onder de naam Wulff Liikelaskenta Oy.

Vanwege dit verbod zijn kopieën van de verboden Finse editie bijna onmogelijk te vinden. Er zijn er drie bekend: één in de Nationale Bibliotheek van Finland, één aan de Universiteit van Turku Bibliotheek en één is onlangs toegevoegd aan The Burstein Collection[8]. Daarentegen zijn de Franse en Nederlandse edities goedkoop en relatief gemakkelijk verkrijgbaar. Tot zover het artikel van Markus Lång in de Knight Letter.

III      DE BEWERKTE NEDERLANDSE AARDWEG-ALICE’S

Proloog
Vanuit het oogpunt van een Carroll-verzamelaar is het natuurlijk aan te bevelen een exemplaar van dit verboden boek in het Nederlands of in het Frans te bemachtigen. Wie zou er natuurlijk niet een Alice in zijn boekenkast hebben willen staan, waarvan een afgeleide vertaling verboden is! Het is duidelijk dat de Franse en Finse boeken van deze serie vertaald zijn vanuit de Nederlandse serie “Junior Star Pocket” serie. Bij de meeste Nederlandse boeken in deze serie is de bewerker Henri van Hoorn, maar ook andere pseudoniemen komen voor. In de Alice in Wonderland-uitgave in deze serie is bijvoorbeeld de bewerker Ankie van den Aardweg. Maar wie schuilt er achter deze pseudoniemen?

De bewerker
In ca. 1937 (datering Koninklijke Bibliotheek) verscheen een ietwat vreemde Nederlandse boekuitgave van Alice in Wonderland. Gezien de spelling moet deze uitgave zeker uit de jaren voor de Tweede Wereldoorlog dateren. De titelpagina vermeldt L. Carroll: opnieuw naverteld door Henri van Hoorn. Het betreft een uitgave uit de serie A van “Goede Lectuur” (Amsterdam), bevat geen illustraties en telt 113 pagina’s. Op de voorplaat kun je in kleur een meisje, een dwergelfje en een kasteel op de achtergrond zien, waarschijnlijk getekend door de Spaanse striptekenaar Juan Pérez del Muro (1895-1949). Zie illustratie 1.

De bewerker van deze boekuitgave is in feite Henricus Petrus van den Aardweg. Hij was een Nederlandse journalist, dichter en prozaschrijver (Hoorn 1899 – Amsterdam 1971) en werkte aanvankelijk in de handel, later was hij journalist en correspondent van verschillende kranten in Parijs en Rome en daarnaast tevens adviseur van een uitgeverij.

Van den Aardweg als broodschrijver schreef veel (bewerkte) jeugdliteratuur, onder meer gebaseerd op historische figuren en gebeurtenissen.[9] Hij gebruikte daarbij veel pseudoniemen, zoals Annie Aalbers, Henri van Hoorn, Johanna van Munching (de meisjesnaam van zijn vrouw was von Münching). Zie bijlage 2 voor zijn gebruikte pseudoniemen. In bijlage 3 zijn 2 recensies van zijn roman: Menschen. Roman uit het leven van een klein land uit 1941 opgenomen, waarin hij de levenswaardigheden van een zekere “Henri van Hoorn” beschrijft.

De Bewerkingen
Maar weer terug naar zijn bewerkte Alice. Het vreemde aan dit waardeloos uitgegeven boek (slecht gebonden/gezet (een muizenstaart van 2½ pagina’s!), gebrekkig gedrukt, beroerd vertaald/bewerkt, geen illustraties (schandalig, een Alice-boek onwaardig!) en daardoor redelijk zeldzaam), is dat Henri van Hoorn in het begin van het verhaal er een sprookje, getiteld “Een vreemde prinses” van 9 pagina’s bij verzint[10], waarin een dwerg voorkomt en aan het eind van het boek als Alice weer wakker wordt, haar zus in slaap valt en ook over Wonderland gaat dromen. In deze droom van 4½ pagina’s vertellen een aantal figuren uit Wonderland haar over Alice. Later wisselen Alice en haar zus hun ervaringen over Wonderland uit. Dit boek telt 113 pagina’s, waarvan er 9½ (ruim 8%), uit de fantasie van Henri van Hoorn zijn ontsproten.

1

2

3

Zo’n 15 jaar later start het hele Alice-boekencircus rondom Van den Aardweg in volle glorie. In 1952 verschijnt onder het pseudoniem Henriëtte van Hoorn, Alice in Wonderland voor de Nederlandse jeugd opnieuw bewerkt, een nieuwe uitgave van “Goede Lectuur”, waarin het sprookje is weggelaten, maar een hoofdstuk 14 van 22 pagina’s is toegevoegd met als titel “Naschrift”, waarin Alice later haar avonturen in Wonderland probeert op te schrijven[11]. De bewerker probeert in dit hoofdstuk Lewis Carroll in dezelfde schrijftrant vergeefs na te bootsen… Zie illustratie 2 voor een afbeelding van dit boek.

In ca. 1954 wordt in België, onder het pseudoniem Johanna van Munching, Alice in Wonderland opnieuw verteld gepubliceerd, waarin zowel het sprookje als de avonturen van Alice’s zus terugkomen, maar ook aan het einde van het boek in een nieuw hoofdstuk een “Man van de Schrijverij” aan Alice’s zus verzoekt of zij de avonturen van haar zus wil opschrijven. Dit zelfde boek verscheen in Nederland als uitgave van “Goede Kinderlectuur”, maar nu opnieuw bewerkt door Annie van Munching. Er zijn dus 2 edities van deze uitgave. Zie illustratie 3.

In 1955 doemt een Alice in Wonderland op, alleen uitgegeven in België, waarin het sprookje en de droom van Alice’s zus weer worden opgevoerd en in de 2 laatste hoofdstukken een kabouter Weetal en weer de “Man van de schrijverij” worden opgevoerd. Dit boek voor meisjes van 8 – 14 jaar van 64 bladzijden zonder naam van de bewerker met nieuwe fantasieën is waarschijnlijk weer van Johanna van Munching. Zie illustratie 4.

4

5

6

Eind jaren 50 van de vorige eeuw komen bij uitgeverij Jeugdland te Heemstede 2 uitgaven van Alice in Wonderland uit. Het eerste boek, zie illustratie 5, bevat alleen de eerste 6 hoofdstukken van de originele Alice in Wonderland. Op de voorkant van het boek staat L. Caroll, op het titelblad L. Carroll. Er wordt geen bewerker/vertaler genoemd, maar vanwege de titel van het sprookje “Een vreemde prinses” kan dat niemand anders zijn dan Henriëtte van Hoorn alias Henricus Petrus van den Aardweg. Het tweede boek met op de voorkant Henriëtte van Hoorn en op het titelblad: Voor de Nederlandse jeugd opnieuw bewerk(!) door Henriëtte van Hoorn bevat ook de naam Lewis Carroll. In dit boek wordt het sprookje in het begin van het verhaal alleen terloops benoemd. Verder geen bijzondere afwijkingen van het originele verhaal. Zie illustratie 6.

In de jaren 60 van de twintigste eeuw wordt Van den Aardweg nog actiever. De meeste uitgaven zijn niet gedateerd, waardoor een zeer verwarrende potpourri met kleine tekstveranderingen is ontstaan. Allereerst verschijnt omstreeks 1960 bij uitgever Van Holkema & Warendorf N.V. te Amsterdam een Alice in Wonderland door Louise Alcott (!) voor Nederland bewerkt door Ankie van den Aardweg met 8 gekleurde illustraties van B.J. Brienen[12] in de softcover-serie Junior STAR Pocket. Drukker is Mulder & Zoon met op de achterplat het nummer 6408 en de 8 verschenen titels van boeken die in deze serie zijn verschenen. Dit is de uitgave, die als basis dient voor de “verboden” Finse uitgave in het eerste gedeelte van dit artikel. Zie illustratie 7a, 7b en 7c. Later zouden nog 2 edities hierop volgen met op de achterplat respectievelijk de 16 en 24 titels van verschenen boeken in deze serie. Zie illustraties 7d en 7e.  Bij deze 2 laatste uitgaven wordt een kleurenillustratie dubbel afgedrukt. Het gaat bij deze laatste 2 edities dus om 7 verschillende illustraties.  Bij al deze edities wordt het sprookje “De vreemde prinses” aan het begin opgevoerd en aan het eind komen weer een aantal figuren uit Wonderland in de droom van Alice’s zus terug, die wat over Alice vertellen. Echter nu komt ook een zekere meneer Walls ter sprake, uitgever van beroep die aan Alice vraagt haar avonturen in Wonderland op te schrijven, zodat hij dat boek dan kan uitgeven.

7a

7b

7c

7d

7e

Dezelfde bewerking van Ankie van den Aardweg als de vorige in de serie Junior STAR Pocket serie wordt een paar jaar later ook uitgegeven door dezelfde uitgever Mulder & Zoon te Amsterdam. We kunnen deze uitgave dus dateren rond 1965. Er zijn 3 versies van bekend, twee hardcover (waarvan 1 met stofomslag, illustratie 8a boek met stofomslag, illustratie 8b boek zonder deze stofomslag en illustratie 8c de tweede hardcover) en 1 softcover (illustratie 8d). De laatste dateert volgens de Koninklijke Bibliotheek uit 1973, maar waarschijnlijk is deze uitgave een paar jaar ouder.  Deze 3 edities hebben dus dezelfde tekstuele inhoud als de Junior STAR Pocket serie, beide hardcovers met weer de 8 kleurenillustraties en de softcover met slechts 1 zwart-witte illustratie. Het sprookje “De vreemde prinses” staat er weer in, als mede de droom over Wonderland van Alice’s zus en als toegift het bezoek van een zekere meneer Walls aan Alice op latere leeftijd, die haar verzoekt haar avonturen op te schrijven.

8a

8b

8c

8d

Dan doemt de Wonder-serie op. Deze Wonder-serie wordt ook gedateerd op omstreeks 1965. De eerste(?) serie bestaat uit 2 hardcovers met verschillende achterkant en met het sprookje en de heer Walls. Zie illustraties 9a, 9b en 9c. Geen uitgever wordt vermeld en de bewerker is Ankie Aalbers. De titel van het sprookje wordt in deze edities niet genoemd! Alle uitgaven zijn ongeïllustreerd.

9a

9b

9c

De tweede(?) serie bestaat uit een hardcover en een softcover. De voorkant van het boek is hetzelfde. Hardcover illustratie 10a en 10b. Softcover illustratie 10c. Tekstueel zijn alle boeken uit de Wonder-serie hetzelfde en ongeïllustreerd.

10a

10b

10c

Een volgende uitgave met het sprookje en meneer Walls wordt ook gedateerd omstreeks 1965. Alle 16 zwart/wit illustraties binnenin en op de voorkant zijn waarschijnlijk van Brienen. Het is wederom een zeer kwetsbare hardcover, waarbij de naam van de bewerker ontbreekt. In de samenvatting van het boek staat de naam Lewis Carell, op het titelblad Lewis Caroll. Er zijn 2 edities van bekend, een met “Lewis Caroll” op de voorkant (op de achterkant nummer 14312985) en een met “naar Lewis Caroll” op de voorkant (op de achterkant 14.31.2971). Zie illustraties 11a, 11b en 11c.

11a

11b

11c

Ook omstreeks 1965 komt een bewerking van de bewerking van Ankie van den Aardweg op de markt. Een  kleine pocket van maar 96 bladzijden, uitgegeven door Halenbeek te ’s Hertogenbosch, zetwerk afkomstig uit Paramaribo, geproduceerd in Israël en op het titelblad opnieuw bewerkt door Patricia Sommelsdijk.  Met het sprookje en de heer Walls. Zie illustratie 12a en 12b. Voorplat en achterplat zijn hetzelfde, behalve dat de titel Alice in Wonderland op het voorplat wordt vermeld. Ook komt de naam Lewis Carroll voor op het titelblad.

12a

12b

12c

12d

In ca. 1966 komt alweer een “nieuwe” uitgave in de boekwinkel te liggen. Tekstueel is dit boek hetzelfde als het boek behorend bij illustratie 6. Dit boek, uitgegeven door uitgeverij Jongland te Heemstede is dus bewerkt door Henriëtte van Hoorn. Zie illustratie 12c. Het boek bevat 3 zwart/wit illustraties zonder de naam van de illustrator. Op de voorkant staat abusievelijk Lewis Caroll. Het sprookje wordt alleen benoemd en niet verteld, maar aan het einde wordt weer een hoofdstuk 14 toegevoegd waarin Betty, de zus van Alice, een zekere meneer Moore, uitgever van beroep, benadert om de droom van Alice als boek uit te geven. Ook vinden er wat financiële onderhandelingen plaats. Betty schrijft het boek en voor de eerste druk wordt 3000 gulden betaald.

Uiteindelijk verschijnt in 1980 (volgens de Koninklijke Bibliotheek catalogus) – gelukkig  ̶  de laatste vertaling/bewerking in deze vorm in de Fazant-reeks, uitgegeven door Casterman te Dronten. De bewerker is nu K. van Gelderen, de titel van het sprookje ontbreekt en ook de heer Walls draaft weer op. Nu zijn 4 z/w illustraties van John Tenniel toegevoegd. Zie illustratie 12d.

De bewerkingen van Henricus Petrus van den Aardweg zijn in de loop der jaren ook uitgegeven in diverse meisjes-omnibussen (jaartallen zijn bij benadering):

1952

1963

1963

1975

1979

Het zou zomaar kunnen dat er nog Alice-boeken, bewerkt door Van den Aardweg, ontbreken in bovenstaande opsomming. Maar het is duidelijk dat deze heer, Henricus Petrus van den Aardweg, de aanstichter van de in het Fins vertaalde en later verboden boekuitgave is van deze erbarmelijke reeks Nederlandse  Alice’s in Wonderland.

BIJLAGE 1

De eerste Chinese vertaling van Alice in Wonderland dateert uit 1922. In maart 1931 verscheen een artikel in een krant uit Shanghai met de titel: “Een verzoek om onderwijshervormingen van schoolboeken”. Hierin beschuldigde gouverneur-generaal Ho Chien van de Chinese provincie Hunan, toentertijd onder de regering van Chiang Kai-shek, dat alle uitgaven van schoolboeken met pratende dieren niet zouden voldoen aan Chinese standaarden.  Zo staat in dat artikel:

Afbeeldingen van antropomorfe dieren die op hetzelfde niveau van complexiteit kunnen handelen als mensen zijn absurd. Hij (Ho Chien) geloofde dat het afbeelden van dieren en mensen op hetzelfde niveau “rampzalig” was voor  kinderen en buitengewoon beledigend was voor mensen in het algemeen. Schoolboeken die inadequaat moeilijk of waarvan de theorieën simplistisch maar onpraktisch zijn, moeten verbrand worden.

Merk hierbij drie dingen op: allereerst betreft het een verzoek, op de tweede plaats wordt het boek Alice in Wonderland in dit artikel niet genoemd en op de derde plaats kun je Alice in Wonderland nauwelijks een schoolboek noemen.
In 1931 was alleen de vijfde druk van de vertaling van Y.R. Chao in China verkrijgbaar.
Nauwelijks 2 maanden later, in mei 1931, schreef een anonieme schrijver een column in de New York Times dat Alice in Wonderland in de Chinese provincie Hunan verboden was en zo kwam dit valse gerucht in de wereld terecht. Zie voor een uitgebreid artikel hierover: Knight Letter 94:10. De Knight Letter is het tijdschrift van het Amerikaanse Lewis Carroll Genootschap.

Maar de Chinese Carrolliaan Howard Chang heeft hierover een afwijkende mening en stelt dat het Chinese verbod inderdaad bestond. Maar een duidelijk bewijs hierover ontbreekt. Zie Knight Letter 98:18.

BIJLAGE  2

Gebruikte pseudoniemen van Henricus Petrus van den Aardweg, namen voorzien van een * worden in een Alice in Wonderland gebruikt:

Annie Aalbers *
Annie van Aalst
Ankie van den Aardweg *
Toon van Alphen
J. van Arkel Zegwaard
Paulien ten Berghe
Lea van den Brink
K. van Gelderen *
Dr. K. van Heukelom
Henri van Hoorn *
Henriëtte van Hoorn *
Johanna van Hoorn
Tine Keuning
Gerda Magnin
Johanna van Munching *
Annie van Munching *
Allan Penning
Henri van Putten 

BIJLAGE   3

Dagblad voor West-Friesland   02-12-1941  

Het Vaderland     19-04-1942

BIJLAGE   4

Een vreemde prinses

Er was eens een ouderwetse koning met een heel lange baard en een gouden kroon in een ver land, die zeer geliefd was bij zijn volk. Hij zou heel gelukkig moeten zijn, maar was dat echter niet. Hij had een dochter en had grote zorgen om haar, want ze had één gebrek: ze lachte altijd, ongeacht de persoon, iedereen uit. Dus behalve haar vader en moeder hield niemand van haar. De koning had verder geen opvolger en het beste zou zijn als zijn dochter een leuke man vond, zodat hij kon terugtreden en het land zou kunnen achterlaten met een nieuwe koning. Helaas lachte zijn dochter ook elke toekomstige opvolger uit. Er was op iedereen wel wat aan te merken, waardoor de prinses weer alle gelegenheid had in lachen uit te barsten. En zo verliepen de jaren. Op zekere dag kwam een dwerg zijn opwachting maken om te vragen of hij de koning misschien kon helpen om het genezingsproces van haar uitlach-ziekte een nieuwe kans te geven. Onder de voorwaarde dat de koning hem tijdens het genezingsproces niet zou verwijderen van het hof én van zijn dochter, verzekerde de dwerg dat hij de prinses zou kunnen genezen.

Uiteraard begon de prinses luidkeels te lachen om deze onooglijke dwerg, toen ze deze in de gaten kreeg, maar tot haar ontzetting begon de dwerg juist om haar te schateren en hield daar niet mee op, wat zij ook zei. ’s Nachts droomde zij van wel duizend dwergen die om haar heen dansten en badend in het zweet werd zij dan wakker. De volgende dag ging het op dezelfde manier door tot de prinses in tranen uitbarstte en uitriep dat het heel naar is om uitgelachen te worden. Na een moralistisch praatje van de dwerg was ze plotsklaps genezen van haar kwaal. Samen gingen ze naar de koning om de beloning voor de dwerg op te halen. Maar staand voor de koning veranderde de dwerg ineens in een knappe, jonge prins, die meteen bij de koning om de hand van de prinses vroeg. En ze leefden nog lang en gelukkig.

Referenties

[1] Een bekend voorbeeld hiervan uit de popmuziek is het beroemde nummer White Rabbit van Jefferson Airplane uit 1967 of het boek Alice in Acidland van Thomas Fensch uit 1970.
[2] Zie bijlage 1 voor enige duiding voor dit Chinese gerucht, met dank aan het Amerikaanse Lewis Carroll Genootschap.
[3] The Knight Letter (KL) is het tijdschrift van het Amerikaanse Lewis Carroll Genootschap.
[4] Dit artikel verscheen voor het eerst in de Knight Letter, The Magazine of the Lewis Carroll Society of North America, Vol. III, Issue 4, No. 104 (Spring 2020).
[5] Deze illustraties worden toegeschreven aan B.J. Brienen (1903-1972).
[6] Er is een onofficiële Engelse vertaling van de Finse wet, gepubliceerd door het Finse ministerie van Justitie. Daarin heet de sectie “Bescherming van klassiekers” en de overtreder “schendt culturele belangen”. In de meeste gevallen met betrekking tot de Finse wetgeving zijn de Zweedse teksten vertalingen van de Finse, maar in dit specifieke geval is de onhandige Finse bewoording (menetellään julkisesti sivistyksellisiä etuja loukkaavalla tavalla) uit het Zweeds vertaald.
[7] Een ander actueel en veel besproken geval van een verboden boek in die tijd was het boek Kreeftskeerkring van Henry Miller. Het was verboden – maar alleen in de Finse vertaling, niet in de Zweedse vertaling – op basis van obsceniteit en op grond daarvan werd dit boek in beslag genomen. (Het verbod werd ook afgekeurd door Tiusanen). Finland is een tweetalig land – zowel Fins als Zweeds zijn officiële nationale talen – dus  dit verbod en de inbeslagname zorgde voor een tweespalt tussen Fins-sprekende Finnen en Zweedstalige Finnen vanwege deze onfatsoenlijke en ongelijke bejegening.
[8] Mark Burstein is een gerenommeerde Amerikaanse Carroll-verzamelaar.
[9] Zie: https://www.dbnl.org/tekst/bork001schr01_01/bork001schr01_01_0003.php
[10] Zie bijlage 4 voor een korte samenvatting van het sprookje.
[11] Zie ook de bibliografie bij dit boek in: https://lewiscarrollgenootschap.nl/wp-content/uploads/2020/02/A1.pdf
[12] B.J. Brienen Jr. (1903-1972), in zijn tijd illustrator van veel kinderboeken

Lees verder

Wat de schildpad zei tegen Achilles: Lewis Carrolls gevolgtrekkingsparadox.

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit is het zesde artikel in een reeks over de logica van Lewis Carroll[1]. Na de eerste twee inleidende artikelen, beschreven de derde en de vierde een tweetal methoden die Carroll had ontwikkeld om de conclusies van syllogismen en sorites te bepalen; beide methoden zijn onderdeel van zijn symbolische logica en hebben een sterk visueel karakter. Het onderwerp van het vijfde en zesde artikel is een tweetal paradoxen[2] die Carroll in respectievelijk 1894 en 1895 publiceerde in het tijdschrift Mind:

– A Logical Paradox (1894),
What the Tortoise Said to Achilles (1895).

Velen beschouwen deze paradoxen als Carrolls meest waardevolle bijdragen aan de logica en ze zijn veelvuldig besproken en bediscussieerd door logici en filosofen. Carroll gebruikte zijn pseudoniem bij deze publicaties en vanwege hun stijl zijn ze ook als literair werk te zien. Maar beide waren wel degelijk bedoeld als een serieuze bijdrage aan de logica.
Het thema van de paradoxen betreft hypotheticals, hypothetische of voorwaardelijke uitspraken in de vorm ‘als …. dan ….’. Uit zijn dagboekaantekening wordt duidelijk dat Carroll in de jaren ’90 werkte aan een theorie over voorwaardelijke uitspraken, die vermoedelijk bedoeld was voor een van de latere, niet door hem voltooide delen van Symbolic Logic. In zijn teruggevonden manuscripten is daar echter niets van aangetroffen.

Mijn vorige artikel ging over A Logical Paradox, beter bekend als de Barbershop Paradox.
Het onderwerp van dit artikel is wat wel Carrolls Paradox of Inference (‘gevolgtrekkingsparadox’) wordt genoemd[3]. Deze is algemeen bekend onder de titel What the Tortoise Said to Achilles, die veelal, ook in het vervolg van dit artikel, wordt afgekort tot WTSA. In tegenstelling tot de Barbershop Paradox is er weinig bekend over de totstandkoming van WTSA. Alhoewel het de Barbershop Paradox was die Carroll bekendheid gaf bij zijn tijdgenoten, wordt hij tegenwoordig vooral door WTSA herinnerd als logicus.

De publicatie van WTSA riep geen onmiddellijke reacties op, hetgeen verrassend is in het licht van de publiciteit rond zijn eerdere paradox. Pas in het begin van de 20e eeuw kwamen de reacties van logici en in feite gaat het debat nog steeds door: WTSA wordt beschouwd als een klassieke tekst in de filosofie van de logica[4]. Maar ondanks het grote aantal artikelen en boeken waarin aandacht wordt besteed aan deze paradox, is er geen algemeen geaccepteerde oplossing[5]. Ook Carroll zelf gaf geen oplossing.


Achilles en de schildpad

De titel van Carrolls paradox is een verwijzing naar een van de paradoxen van Zeno en omdat de relatie tussen beide paradoxen relevant is, ga ik nu eerst in op Zeno’s paradox.
Zeno was een leerling van Parmenides; beiden leefden in de 5e eeuw v. Chr. en behoorden tot de Griekse filosofische school van Elea.
Volgens Parmenides bereiken we het ware weten door zuiver redelijke kennis. Die kennis leert dat er alleen Zijn bestaat en dat er geen niet-zijnde kan bestaan. Alleen het Zijnde is, het niet-zijnde is niet en kan ook niet worden gedacht. Onder Zijnde wordt datgene verstaan dat de ruimte vult; de mogelijkheid van een lege ruimte wordt dus ontkend.
Volgens Parmenides kan er geen beweging en geen ‘worden’ bestaan, maar alleen een Zijn dat onveranderlijk blijft. Beweging veronderstelt immers altijd een niet-zijnde, want als een lichaam zich naar een bepaalde plaats wil bewegen, dan moet daar tevoren lege ruimte en dus niets geweest zijn. Hetzelfde geldt voor ontwikkeling, want wat nog moet worden, ‘is’ tevoren niet. De zintuigen die ons een wereld van voortdurend worden en vergaan voorspiegelen, bedriegen ons; ze zijn de bron van alle dwaling.
De algemene opvatting in de geschiedenis van de filosofie is, dat Zeno Parmenides’ opvattingen verdedigde en vooral de stelling dat er geen beweging bestaat. Hij deed dat in de vorm van wat wij nu paradoxen noemen. Met zijn paradoxen leidt hij in feite uit het bestaan van beweging een absurditeit af.
Barnes daarentegen beweert dat Zeno geen systematisch denker was, noch een verdediger van Parmenides[6]. Parmenides werd in zijn tijd wel eens bespot om zijn theorie; dat is een lot dat wel meer metafysische denkers ten deel valt. Zeno maakte de spotters weer belachelijk, maar was daarbij niet serieus bezig om Parmenides’ opvattingen te verdedigen. Wel wilde hij, aldus Barnes, provoceren door de ongerijmdheid van de tegenovergestelde positie aan te tonen.

Hoe dan ook: Zeno’s paradox van Achilles en de schildpad heeft als strekking dat het bestaan van beweging tot een absurditeit leidt. Hij gaat als volgt[7].
Er vindt een hardloopwedstrijd plaats tussen Achilles, die bekend staat om zijn snelheid, en een spreekwoordelijk trage schildpad. Om begrijpelijke redenen vraagt de schildpad om een voorsprong bij de start en die wordt hem gegund. Beiden gaan van start. Als Achilles even later het startpunt van de schildpad bereikt heeft, is deze natuurlijk al vertrokken en een stukje verder. Wanneer Achilles dat punt bereikt, is de schildpad alweer een eindje verder. Enzovoort. De conclusie is dat Achilles de schildpad nooit zal inhalen.

Uiteraard kende Lewis Carroll Zeno’s paradox en hij gaf er zelf ook een beschrijving van[8]. Hij zocht een wiskundige oplossing die zou aantonen dat Achilles de schildpad wel degelijk zou inhalen. Zijn conclusie was dat er sprake is van een wiskundige drogreden gebaseerd op de onjuiste aanname dat een oneindig aantal optellingen moet leiden tot een oneindige som[9].


What the Tortoise Said to Achilles.

In lijn met Carrolls analyse van Zeno’s paradox begint WTSA als volgt: “Achilles had de schildpad ingehaald en had zich comfortabel genesteld op zijn rug”.
Carrolls paradox gaat als volgt verder.

De schildpad legt Achilles een redenering voor uit de Euclidische meetkunde:

…..(A) Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde, zijn aan elkaar gelijk.
…..(B) De twee zijden van deze driehoek zijn dingen die gelijk zijn aan hetzelfde.
…..(Z) De twee zijden van deze driehoek zijn aan elkaar gelijk.

De schildpad vraagt Achilles of hij het er mee eens is dat Z logisch volgt uit A en B, dus dat iedereen die A en B als waar accepteert, Z als waar moet accepteren.
Achilles stemt hier volmondig mee in.
Maar, suggereert de schildpad, er zouden mensen zouden kunnen zijn die weigeren de conclusie Z te aanvaarden. Dat kan om twee redenen:

– men kan ontkennen dat de premissen waar zijn, of
– men kan de waarheid van de premissen aanvaarden, maar de geldigheid ontkennen van de gevolgtrekking die tot de conclusie leidt.

De schildpad vraagt Achilles zich nu voor te stellen dat bij de schildpad het tweede het geval is en daagt Achilles uit hem te dwingen om Z op logische gronden te accepteren. We moeten ons de schildpad dus voorstellen als iemand die A en B als waar aanvaardt, maar de volgende voorwaardelijke uitspraak ontkent:

…..(C) Als A en B waar zijn, moet Z waar zijn.

Achilles laat zich door de schildpad verleiden tot de volgende oplossing: hij kan C gewoon als premisse opnemen in de redenering. Men krijgt dan:

…..(A) Dingen die gelijk zijn aan hetzelfde, zijn aan elkaar gelijk.
…..(B) De twee zijden van deze driehoek zijn dingen die gelijk zijn aan hetzelfde.
…..(C) Als A en B waar zijn, moet Z waar zijn.
…..(Z) De twee zijden van deze driehoek zijn aan elkaar gelijk.

De schildpad reactie is echter dat Achilles hiermee weer een nieuwe stelling heeft geïntroduceerd, namelijk:

…..(D) Als A en B en C waar zijn, dan is Z waar.

Zelfs als de schildpad ertoe gebracht kan worden C als waar te accepteren en als een premisse mee te nemen in een nieuwe redenering met A, B én C als premissen en Z als conclusie, dan kan de twijfelende schildpad nog steeds weigeren om Z te accepteren.
Want hij zou dan kunnen weigeren de nieuwe stelling D te accepteren.
Natuurlijk kan Achilles nu D ook opnemen in de premissen, in de hoop de schildpad te dwingen Z te accepteren. Maar dan zou hij wederom een nieuwe stelling introduceren, namelijk:

…..(E) Als A en B, C en D waar zijn, dan moet  Z waar zijn.

Enzovoorts, enzovoorts: de schildpad kan tot in het oneindige de noodzaak claimen van nieuwe voorwaardelijke uitspraken.
Carroll voegt zelf geen moraal aan zijn verhaal toe maar het is duidelijk dat Achilles’ handelswijze niet kan deugen omdat hij leidt tot een oneindige regressie.

Ter verduidelijking een ander voorbeeld, ontleend aan de correspondentie tussen Carroll en de uitgever van Mind, G.F.  Stout, over de kern van Carrolls artikel[10].
Als ik de volgende uitspraak onderschrijf:

…..(1) Alle mensen zijn sterfelijk, en Socrates is een mens
maar niet de geldigheid van de gevolgtrekking:
…..(2) Als alle mensen sterfelijk zijn en als Socrates een mens is, dan is Socrates sterfelijk,
dan onderschrijf ik niet
…..(3) Socrates is sterfelijk.

Daarom geldt: om (3) te onderschrijven, moet ik (1) én (2) onderschrijven.
Dit kunnen we als volgt weergeven:

…..(4) Als (1) en (2) waar zijn, dan is (3) waar.

Maar stel nu dat ik de geldigheid van (4) ontken? Stel dat ik zeg: “Ik onderschrijf (1) en (2), maar niet dat dit mij verplicht ook (3) te accepteren”?
Mijn acceptatie van (3) moet dan wachten tot ik overtuigd ben van de geldigheid van deze gevolgtrekking, d.w.z. om (3) te accepteren, moet ik (1), (2) en (4) accepteren.
Maar hiermee is weer een nieuwe stelling geïntroduceerd, en zo ontstaat een oneindige regressie[11].

Ik kom nog even terug op de relatie tussen de paradoxen van Zeno en Carroll. In Zeno’s paradox komt Achilles steeds dichterbij totdat hij (in ieder geval volgens Carroll) de schildpad inhaalt. Je zou kunnen zeggen dat de schildpad het onderspit delft. In Carrolls paradox daarentegen heeft Achilles een passieve rol, hij volgt de uitdagingen van de  schildpad. De schildpad duwt Achilles met elke stap verder weg van de conclusie. Je zou het kunnen zien als een revanche van de schildpad. De titel geeft in feite al aan dat de schildpad leidend is[12].
Ivor Grattan-Guinness constateert dat we in Zeno’s paradox een oneindig aantal stappen hebben die (zo wordt beweerd) in een eindige hoeveelheid tijd kunnen worden afgelegd.
In WTSA is sprake van het omgekeerde van Zeno’s paradox: drie stappen die (zo lijkt het) een oneindige hoeveelheid tijd vragen[13].

Alhoewel Carroll in zijn artikel in Mind geen oplossing van de paradox geeft, beschrijft hij in zijn correspondentie met G. F. Stout, de uitgever van Mind, wel welke bedoeling hij met de paradox had. Het ging hem expliciet om de implicatie-relatie tussen de antecedens (de passage ‘als ….’) en de consequens (de passage ‘dan ….’) van een voorwaardelijke uitspraak: hij ziet deze als een inhoudelijke relatie en niet als een relatie op basis van waarheidswaarde[14]. Gegeven de uitspraak ‘Als A dan B’, beweert Carroll dat de geldigheid van de gevolgtrekking niet afhangt van de waarheidswaarde van A of B maar van de betekenis van A en B zelf. Deze invalshoek voor WTSA is in lijn met het werk van sommige van zijn tijdgenoten (W.E. Johnson, E.C.C. Jones and Hugh MacColl)[15].

Het is overigens nog de vraag of Carroll de eerste was die de paradox waar WTSA om draait, aan de orde stelde[16].
Bij de ontstaansgeschiedenis van de Barbershop Paradox kwamen we John Cook Wilson  al tegen. Hij was hoogleraar logica in Oxford in de periode1889-1915 en had een stevige discussie met Carroll over de Barbershop Paradox. In Cook Wilsons aantekeningen, die postuum zijn gepubliceerd in 1926, vinden we een passage die veel overeenkomst vertoont met de paradox van WTSA, in de zin dat deze een vergelijkbare oneindige regressie van argumenten bevat. Het is onmogelijk gebleken om de datum vast te stellen van de betreffende tekst van Cook Wilson. Het is dus ook onduidelijk of een van de twee (Carroll of Cook Wilson) de paradox van de ander heeft overgenomen. Uit de correspondentie tussen Carroll en Cook Wilson wordt wel duidelijk dat Carroll uiterlijk in 1896 was geattendeerd op Cook Wilsons tekst, zij het niet in relatie tot WTSA; het is niet uit te sluiten dat hij deze al vóór 1896 kende.

Ook Bernhard Bolzano beschreef in 1837 een vergelijkbaar argument met oneindige regressie. Er is echter geen reden aan te nemen dat Carroll of Cook Wilson op de hoogte was van Bolzano’s werk. Volgens Mathieu Marion zouden we daarom eigenlijk moeten spreken over de ‘Bolzano-Carroll-Wilson paradox’.
Zowel Cook Wilson als Bolzano geven een verklaring voor de paradox: een gevolgtrekking die gebaseerd is op een gegeven regel, kan deze regel niet als een van de premissen bevatten. Marion noemt dit het “Bolzano-Wilson Point[17].


Reacties

Het genoemde Bolzano-Wilson Point wordt in het algemeen door logici geaccepteerd als “the point of the story[18]. Veel filosofen en logici hebben een nadere analyse of reactie gegeven, zij het niet tijdens Carrolls leven[19].
De belangrijkste reacties geef ik hieronder weer.

Bertrand Russell geeft een analyse die is gebaseerd op een onderscheid tussen een implicatie (implication) en een gevolgtrekking (inference). Om dit uit te leggen gebruikt Russell de term ‘bewering’ (assertion).
A impliceert B’ is de bewering van een implicatie, maar niet een bewering van A of van B.
P daarom Q’ is een gevolgtrekking en het woord ‘daarom’ geeft een relatie weer tussen twee beweerde uitspraken. Bij het gebruik van de term ‘daarom’ kan de premisse ook achterwege blijven en de conclusie zelf als bewering worden gedaan.
Volgens Russell is dit de eerste stap van de oplossing van Carrolls puzzel.

In  moderne logische notatie krijg je dan de volgende regel, waarbij ‘’ staat voor een implicatie, ‘|—’ voor een gevolgtrekking en de komma tussen A en A B voor ‘en’:

…..A, A  B |— B

Ofwel: als we beweren dat A het geval is én dat A B impliceert, dan beweren we dat daarom B het geval is.

We kunnen dit nu toepassen op de dialoog tussen de schildpad en Achilles: de manoeuvre van Achilles om een extra premisse toe te voegen komt er dan op neer dat de bovenstaande gevolgtrekking als implicatie wordt toegevoegd bij de premissen:

…..A, B, ( A & ( B) B) |— B.

De weigering van de schildpad om nu B te accepteren komt er op neer dat hij de gevolgtrekking (|— B ) aanziet voor een implicatie, een verwarring van ‘|—’  en ‘’, m.a.w. ‘|— ‘ wordt aangezien voor ‘[20].

Het door Russell gehanteerde onderscheid tussen een implicatie en een gevolgtrekking hangt samen met het onderscheid tussen taal en metataal: een metataal wordt gebruikt voor het beschrijven van een (object)taal. Dit onderscheid werd in de logica ten tijde van Carroll niet gemaakt.

Gilbert Ryle sluit hierbij aan met de volgende analyse. Een gevolgtrekking is een actie en zoals elke actie kan deze in overeenstemming zijn met een regel of een regel schenden. Als kennis hierbij een rol speelt, betreft dat ‘weten hoe’ en niet ‘weten dat’; het gaat niet om kennis van de inhoud van uitspraken.
Het maken van gevolgtrekkingen kan in overeenstemming zijn met regels zonder dat die regels expliciet worden gemaakt of als logische waarheid worden erkend; men hoeft de regel die men volgt bij de gevolgtrekking, niet expliciet in gedachte te hebben. De regel kan worden gezien als een ‘gevolgtrekkingslicentie’ (inference license) en het is dankzij dit soort licenties dat wetenschappelijke gevolgtrekkingen überhaupt kunnen plaatsvinden[21].

Overigens vindt niet iedereen dat de schildpad per se ongelijk had met zijn weigering de conclusie Z te aanvaarden.

Met de suggestie de logische regel op te nemen als premisse, kregen we in feite een redenering die we als volgt uiteen kunnen rafelen:

  • Het is algemeen aanvaard dat A.
  • Het is algemeen aanvaard dat B.
  • Het is algemeen aanvaard dat als A en B, dan noodzakelijkerwijs Z.
  • Het is algemeen aanvaard dat een aanvaarde conclusie van een aanvaarde voorwaardelijke uitspraak met aanvaarde premissen, moet worden aanvaard.
  • Daarom het is algemeen aanvaard dat Z moet worden aanvaard.

Stel nu dat je, wanneer je deze conclusie onder ogen krijgt, je plotseling realiseert dat hij onverenigbaar is met een van je andere overtuigingen, Y. Je hebt dan meerdere opties. Je kunt natuurlijk Z aanvaarden en Y verwerpen. Maar je kunt ook vasthouden aan Y,  daarbij Z verwerpen en niet langer vinden dat we te maken hebben met een degelijke redenering. Je kunt ook vasthouden aan de redenering en vasthouden aan Y maar één of meer premissen opgeven. Dit is de visie van Gilbert Harman: zelfs keiharde argumenten kunnen niet op logische gronden de aanvaarding van een conclusie afdwingen[22].

Bij deze en ook bij veel andere analyses heeft de genoemde invalshoek van Carroll zelf maar weinig aandacht gekregen. Dat kan te maken hebben met het feit dat Carrolls tekst weinig aanknopingspunten biedt voor zijn eigen invalshoek, maar wellicht vond men wat er bekend is over die invalshoek, maar weinig ambitieus.
Dit is de achtergrond van Bartleys reactie op de bovengenoemde analyses. Bartley gelooft niet dat er één heldere interpretatie van Carrolls artikel is. Hij wijst er op dat  Carroll aandacht wilde geven aan problemen die hij tegenkwam maar die hij niet bevredigend kon verklaren. Dat hij daar niet in slaagde, lag voor een groot deel aan de beperkingen van de logische theorie die hem ter beschikking stond, waarbij het door Alfred Tarski in 1933 geïntroduceerde onderscheid tussen taal en metataal ontbrak. In lijn hiermee ontkent Bartley ook dat Carrolls artikel relevant zou zijn voor problemen bij wetenschappelijke verklaringen[23].
De algemene les die volgens Bartley uit WTSA getrokken zou kunnen worden sluit aan bij het Bolzano-Wilson Point: een gevolgtrekking die gebaseerd is op een gegeven regel, kan deze regel niet als een van de premissen bevatten.
Zoals hierboven al opgemerkt: de overeenstemming onder filosofen en logici over de moraal van WTSA beperkt zich tot dit punt.


Impact

Bij de analyses van WTSA komen twee aspecten van de paradox aan de orde die soms ook door elkaar lopen:

– wat bedoelde Carroll zelf met WTSA?
– welke les kunnen we – los van Carrolls bedoeling – trekken uit de paradox?

In de literatuur over WTSA vinden we relatief weinig over de problemen die voor Carroll zelf aanleiding waren om zijn artikel te schrijven, noch over zijn aanzetten tot een theorie over voorwaardelijke uitspraken. Ook wordt maar beperkt rekening gehouden met het feit dat Carroll een “Victoriaanse logicus” was en dus de vraag welke conclusies getrokken kunnen worden uit een gegeven set premissen zeker zo belangrijk vond als de vraag naar de geldigheid van de gevolgtrekking[24].

Toch is het vooral door WTSA dat Carroll als logicus wordt herinnerd. De reden daarvoor is niet zozeer de belangstelling voor Carrolls bedoelingen met zijn paradox, maar de bredere logische vraagstelling en filosofische relevantie van het probleem dat Carroll ermee opwerpt. Veel filosofen worden erdoor getriggerd omdat ons begrip van gevolgtrekking, maar ook breder ons begrip van wat een (formeel dan wel informeel) argument is, ingrijpt op onze kennistheorie en, bijvoorbeeld ook, onze ethiek[25].

We kunnen daarmee constateren dat Carrolls essay veel subtieler en veelzijdiger is dan het op het eerste oog lijkt. De invalshoek van Carroll zelf was in vergelijking daarmee inderdaad relatief beperkt, maar dat hangt in belangrijke mate samen met de stand van de logica in zijn tijd.
Richard Braithwaite heeft Lewis Carroll ten onrechte gekarakteriseerd als een “onbewuste logicus”. Maar er zit wel degelijk een kern van waarheid in zijn opmerking dat “in both papers in Mind Lewis Carroll was ploughing deeper than he knew”[26].

Voetnoten

[1] Alle vijf eerdere artikelen zijn verschenen in Phlizz, het online magazine van het Lewis Carroll Genootschap: https://lewiscarrollgenootschap.nl/phlizz.

[2] Een korte introductie m.b.t. het begrip ‘paradox’ is te vinden in het vorige artikel, ‘De Barbershop Paradox van Lewis Carroll’.

[3] In 2016 heeft The Carrollian, The Lewis Carroll Journal een themanummer (No. 28) uitgebracht over ‘What the Tortoise Said to Achilles’. De inhoud van dit nummer vormt de basis van mijn artikel.

[4] WTSA is ook opgenomen in het populaire boek Gödel, Escher, Bach. An Eternal Golden Braid van Douglas Hofstadter (New York Vintage Books, 1979).

[5] Abeles & Moktefi 2016a.

[6] Zie Barnes 2000, pp.235-236.

[7] Zie bijvoorbeeld Rescher 2001.

[8] Zie Bartley 1977, p.426.

[9] Zie Bartley 1977, p.438-439.

[10] Zie Abeles & Moktefi (eds.) 2016b.

[11] Zoals Carroll zelf zegt: “I think you will find that it goes on like ‘the house that Jack built’”, een Engels kinderliedje met een cumulatief verhaal [Bartley 1977, p.472].

[12] Coumet 1966, p.281.

[13] Grattan-Guinness 2009, pp.167-168; Abeles 2012, p. 529.

[14] “It turns on the fact that, in a Hypothetical, the truth of the Protasis, the truth of the Apodosis, and the validity of the sequence are 3 distinct Propositions.” [Bartley 1977, p.472]

[15] Moktefi 2008.

[16] Zie hiervoor Marion 2016, pp.51-55.

[17] Marion 2016, p.54.

[18] Moktefi 2008, p.494.

[19] Moktefi [2008, p.494] geeft een (niet volledige) opsomming van reacties naast degenen die in deze paragraaf worden genoemd: W.J. Rees (1951), G. Brown (1954), J.F. Thompson (1960), W.W. Bartley III (1962), John Woods (1965), William A. Wisdom (1974), Barry Stroud (1979), Simon Blackburn (1995), Pascal Engel (1998).

[20] Russell 1903, Marion 2016.

[21] Ryle 1971, pp.212-225, 234-249.

[22] Harman 1970, p.43.

[23] Bartley 1977, pp. 466 e.v.

[24] Zie Englebretsen 2016.

[25] Engel 2016, p.105.

[26] Braithwaite 1932, p.176.


Literatuur

Abeles, Francine, 2012, ‘Toward a Visual Proof System: Lewis Carroll’s Method of Trees’, Logica Universalis, Vol. 6, pp.521-534.
Abeles, Francine & Amirouche Moktefi, 2016a, ‘What the Tortoise Said to Achilles: Introduction’, The Carrollian, The Lewis Carroll Journal, No. 28, pp.2-5.
Abeles, Francine & Amirouche Moktefi (eds.), 2016b, ‘Correspondence with G.F. Stout, the Editor of Mind’, The Carrollian, The Lewis Carroll Journal, No. 28, pp.9-13.
Jonathan Barnes , 2000, The Presocratic Philosophers, London and New York: Routledge.
Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.
Braithwaite, Richard B., 1932, ‘Lewis Carroll as Logician’, The Mathematical Gazette, Vol. 16, No. 219, pp.174-178.
Carroll, Lewis, 1894, ‘A Logical Paradox’, Mind, Vol. 3, No. 11, pp.436-438.
Carroll, Lewis, 1896, ‘What the Tortoise said to Achilles’, Mind, Vol. 4, No. 14, pp.278-280.
Coumet, E., 1966, ‘Lewis Carroll Logicien’, in Lewis Carroll, Logique sans Peine, Paris: Hermann, pp.255-288.
Engel, Pascal, 2016, ‘The Philosophical Significance of Carroll’s Regress’, The Carrollian, The Lewis Carroll Journal, No. 28, pp.84-111.
Englebretsen, George, 2016, ‘What Did Lewis Carroll Think the Tortoise Said to Achilles?’, The Carrollian, The Lewis Carroll Journal, No. 28, pp.76-83.
Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2008, Handbook of the History of Logic, Volume 4, British Logic in the Nineteenth Century, Amsterdam: North-Holland.
Grattan-Guinness, Ivor, 2009, Routes of Learning. Highways, Pathways, and Byways in the History of Mathematics, Baltimore: Johns Hopkins University Press.
Harman, Gilbert 1979, ‘Induction: a Discussion of the Relevance of the Theory of Knowledge to the Theory of Induction’, in Swain (ed.) 1970, pp.83-99.
Marion, Mathieu, 2016, ‘Lessons from Lewis Carroll’s Paradox of Inference’, The Carrollian, The Lewis Carroll Journal, No. 28, pp.48-75.
Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-506.
Rescher, Nicolas, 2001, Paradoxes. Their Roots, Range, and Resolution, Chicago and LaSalle, Illinois: Open Court.
Russell, Bertrand, 1903, The Principles of Mathematics, London: Allen & Unwin.
Ryle, Gilbert, 1971, Collected Papers, London, Hutchinson.
Swain, M. (ed.), 1970, Induction, Acceptance, and Rational Belief, Dordrecht: Reidel.

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 4

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Schaken

Schaken en wiskunde hebben enkele duidelijke overeenkomsten. Beide doen een beroep op analytische vaardigheden omdat grote problemen in kleinere moeten worden opgesplitst; bovendien hebben beide disciplines creatieve en kunstzinnige aspecten gemeen.

De relatie tussen schaken en wiskunde kun je op verschillende manieren zien:

  • Schaken bevordert denkvaardigheden van hogere orde
  • Analyse van posities heeft veel gemeen met wiskundige problemen
  • Correlatie: beslissen welk stuk het beste is om op een bepaald punt op te offeren
  • Introductie van een coördinatensysteem
  • Introductie van geometrische concepten (bestanden, rijen, diagonalen)
  • Vereist constante (her)berekening
  • Ontwikkeling van een visueel geheugen
  • Ontwikkeling van (ruimtelijke) redeneervaardigheden
  • Ontwikkeling van vermogen om gevolgen te voorspellen en daarop te anticiperen

Dodgson was waarschijnlijk een verdienstig schaker. Hij nam nooit deel aan toernooien, ook zijn er geen partijen van hem bekend. Er zijn wel verscheidene aantekeningen in zijn dagboeken dat hij een spelletje geschaakt heeft. En hij was in het bezit van een miniatuur schaakspel, dat vaak op reis of vakantie van pas kwam. Bovendien heeft hij de meisjes Liddell de regels van het schaken geleerd. Kortom iemand die in ieder geval op de hoogte was van de regels van het schaakspel. De veilingcatalogus van Dodgson na zijn overlijden in 1898 bevatte 3 schaakboeken, alle 3 geschreven tenminste 15 jaar voordat Carroll Spiegelland schreef. Omdat er enige verwarring[1] was over de opzet van het schaakspel zoals dat werd voorgeschoteld in Spiegelland, schreef Carroll in 1896 een nieuw voorwoord bij een herdruk van het boek waarin hij schreef dat:

“Anyone who takes the trouble to set the pieces and play the moves as directed, will find it strictly in accordance with the laws of the game.”

Bij schaken staan de twee partijen altijd bekend als Zwart en Wit, ongeacht de kleur van de fysieke stukken, maar Lewis Carroll verwijst in zijn boek “Through the Looking-Glass and what Alice found there” naar Rood en Wit. Ondanks de bezorgdheid van Lewis Carroll voor de kwaliteit van zijn boeken, zijn het schaakdiagram en de zetten in de eerste edities van zijn boek niet goed afgedrukt en zijn de stukken die op zwarte vierkanten staan bijzonder moeilijk te onderscheiden. Zie de afbeelding uit de originele eerste druk van “Through the Looking-Glass” links. In latere drukken was dat probleem nog steeds niet afdoende opgelost.

Van de 32 originele schaakstukken gebruikt Carroll er slechts 8. De witte pion Alice, een rode en een witte koning en koningin, een wit en rood paard en de witte toren. Waarschijnlijk zijn de rest van de stukken weggelaten om het spel voor een 7½-jarig meisje te simplificeren. De witte koning kon in hoofdstuk 7 niet al zijn 4209 paarden sturen, omdat er 2 nodig waren in het schaakspel. (Stond het rode paard dan ook onder zijn bevel?) Het schaakspel speelt een meer dominante rol in Spiegelland dan het kaartspel in Wonderland. Dat karakteriseert meteen een grote tegenstelling tussen Wonderland en Spiegelland. In Wonderland heeft Alice een eigen “vrije” wil, zij kan doen en laten wat zij wil. Dit in tegenstelling tot Spiegelland waarin zij onderhevig is aan de “nukken en grillen” van een onbekende en ongeziene schaakgrootmeester.

Constant Orbaan (1918-1990) was beroepsschaker, later wedstrijdleider en journalist. In de jaren 60/70 van de vorige eeuw verscheen van zijn hand een krantenartikel waarin hij het gecomponeerde schaakspel binnen Spiegelland minutieus heeft beschreven. Alice is in het begin van Spiegelland een pion (het minste schaakstuk) dat uiteindelijk wil promoveren tot koningin (het machtigste schaakstuk). Dat doet zij in 11 zetten (de tegenstander krijgt 10 zetten) die Orbaan één voor één van commentaar voorziet. In Spiegelland zijn de regels van het schaakspel niet zo dwingend voorgeschreven als bij de FIDE, de internationale schaakfederatie. Alice begint als witte pion en de witte schaakstukken zijn haar (natuurlijk) vriendelijk gezind, de rode schaakstukken daarentegen vijandelijk.[2] Het witte paard is van alle schaakfiguren het enige stuk dat Alice met respect tegemoet treedt. Op geen enkel moment wisselt Alice woorden uit met een stuk dat zich op dat moment niet bevindt op een veld naast het hare. Koninginnen rennen zich rot en koningen staan gefixeerd en werkeloos. Rijen worden gescheiden door beken en kolommen door heggen. Deze beken en heggen vormen de lijnen op het schaakbord. Elke lijn die Alice passeert wordt in de tekst met 3 sterretjes (* * *) aangegeven. Omdat het paard op het schaakbord hoekige bewegingen maakt, valt de koning af en toe van zijn paard.

Goed beschouwd zit een paradox binnen dit fragment opgesloten. De witte koning zit alleen op zijn paard als deze stil staat, laat staan als hij er zijdelings vanaf valt. De regels kloppen hier niet. De koning zit alleen in het zadel als zijn paard stil staat, ergo hij komt met deze regels niet vooruit.

Eerst de oplossing van Lewis Carroll zelf:

Een wat meer uitgebreide Nederlandse versie van Orbaan:

Duidelijk staat hier een verwijzing naar een zadeloppervlak. Dit woord is afgeleid van de eigenaardige vorm van het zadel voor paarden, dat zowel omhoog als omlaag kromt.  De ene kant op doorkruis je een vallei, kom je van een andere kant, dan beklim je een heuvel.

Pringles aardappelchips vormen een alledaags voorbeeld van een zadeloppervlak.

Dit is de enige situatie waarin Alice het hele schaakbord kan overzien. Een favoriete puzzel van Carroll was het toekennen van kleuren op landkaarten. Carroll zag het als een spel voor 2 spelers:

Speler A moet een fictieve landkaart, onderverdeeld in verschillende landen, tekenen.
Speler B moet nu de landen inkleuren met zo min mogelijk kleuren zodanig dat twee aangrenzende landen verschillende kleuren hebben.
Het doel van A is om B te forceren zoveel mogelijk kleuren te gebruiken. Wat is nu dat minimale aantal kleuren dat B nodig heeft?

Het vierkleurenprobleem werd voor het eerst door Francis Guthrie[3] in 1852 geformuleerd met de vraag of het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen (dus zonder exclaves), met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. Pas in 1976 werd dit probleem met behulp van een computer door Kenneth Appel en Wolfgang Haken “wiskundig” bewezen[4].

Snelheid

In Spiegelland stappen we natuurlijk van de gebruikelijke formule

af en gaat deze formule over in

Maar in Spiegelland impliceert deze formule dat bij een hoge snelheid veel tijd en/of een kleine afstand hoort. Hoe sneller Alice gaat, hoe meer ze nauwelijks van haar plek komt, maar om op dezelfde plek te blijven (met een afstand heel, heel dicht bij 0), moet ze wel een oneindige snelheid hebben.  Dit is echter in tegenspraak met de opmerking van de koningin even later dat als ze ergens anders wil komen, ze minstens 2 keer zo hard moet rennen!

Literatuur

Day, David, 2015, Alice’s Adventures in Wonderland Decoded, Canada: Penguin Random House.
Dodgson, Charles L., 1879, Euclid and his Modern Rivals, London: MacMillan.
Gardner, Martin, 2015, The Annotated Alice, expanded and updated by Mark Burstein, New York: Norton & Company.
Wilson, Robin, 2008, Lewis Carroll in Numberland, London: Penguin Group
Wilson, Robin, 2019, The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll), Oxford: Oxford University Press.

 Voetnoten

[1] Zie het boek “The Magic of Lewis Carroll”, edited (1973) by John Fischer, page 85-91.
[2] Het bijbehorende schaakbord rechts met de goede kleuren rood en wit is te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/chessgame.html 
Een animatie van het spel, zoals dat gespeeld wordt in Spiegelland, is op dezelfde website te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/images/diag.gif
[3] Francis Guthrie (1831-1899) was een Zuid-Afrikaanse wiskundige en plantkundige. In 1852 was Guthrie een student van Augustus De Morgan aan het University College te Londen.
[4] De computer had daarbij 1200 uur rekentijd nodig om 1482 mogelijke landkaartconfiguraties met talloze individuele gevallen door te rekenen om na te gaan of er een toegestane kleuring bestond. Volgens sommige wiskundigen een ietwat omstreden manier van het leveren van een streng wiskundig bewijs. In 2004 werd door Georges Gonthier een herziene versie van het bewijs zo nauwkeurig uitgeschreven dat de juistheid van elke stap gecontroleerd kon worden.

Lees verder

De Barbershop Paradox van Lewis Carroll

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit is het vijfde artikel in een reeks over de logica van Lewis Carroll. Na de eerste twee inleidende artikelen, beschreven de derde en de vierde een tweetal methoden die Carroll had ontwikkeld om de conclusies van syllogismen en sorites te bepalen; beide methodes zijn onderdeel van zijn symbolische logica en hebben een sterk visueel karakter[1]. Het onderwerp van dit en het volgende artikel is een tweetal paradoxen die Carroll in respectievelijk 1894 en 1895 publiceerde in het tijdschrift Mind.
Velen beschouwen deze paradoxen als Carrolls meest waardevolle bijdragen aan de logica[2]. Bertrand Russell noemde de beide paradoxen in een radio-interview in 1942 als illustratie van Carrolls bijzondere kwaliteit als bedenker van puzzels. Hij voegde daar aan toe dat het een hele klus was om er een oplossing voor te vinden en karakteriseerde ze expliciet als het beste werk dat hij had geleverd[3].
De betreffende artikelen in Mind zijn:
– A Logical Paradox (1894),
What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Carroll leverde zelf geen oplossing bij deze paradoxen. Ze zijn veelvuldig besproken en bediscussieerd door logici en filosofen doch die discussies leverden geen overeenstemming over wat de moraal van het verhaal is.
Carroll gebruikte zijn pseudoniem bij beide artikelen en vanwege hun stijl zijn ze ook als literair werk te zien. Wellicht daardoor zijn diverse commentatoren van oordeel dat Carroll er geen bijzondere interpretatie mee voor ogen had en zich zelfs niet volledig bewust was van hun belang. Maar beide artikelen waren wel degelijk bedoeld als serieuze bijdrage aan de logica.
Het thema van de paradoxen betreft hypotheticals, hypothetische of voorwaardelijke uitspraken in de vorm ‘als …. dan ….’. De zin die wordt voorafgegaan door ‘als’ wordt ook wel antecedens of protasis genoemd, de zin die wordt voorafgegaan door ‘dan’ het wel consequens of apodosis.
Uit zijn dagboekaantekening wordt duidelijk dat Carroll in de jaren ’90 werkte aan een theorie over hypothetische uitspraken, die vermoedelijk bedoeld was voor een van de latere delen van Symbolic Logic. Ten gevolge van zijn dood in 1898 bleef Symbolic Logic echter beperkt tot één deel. Carrolls theorie over hypothetische uitspraken kan slechts gedeeltelijk worden gereconstrueerd uit zijn geschriften en wordt niet beschreven in de door Bartley teruggevonden manuscripten voor Symbolic Logic Part II[4].

Hypothetische uitspraken waren ten tijde van Lewis Carroll stevig in discussie, zoals onder meer blijkt uit de noot die Carroll toevoegt aan A Logical Paradox in Mind.
Daarin noemt hij deze paradox een reëel probleem dat al enige tijd het onderwerp is van een debat tussen logici en aanleiding geeft tot duidelijke meningsverschillen. Hij bepleit dat de discussie wordt voortgezet teneinde overeenstemming te bereiken over de aard van hypothetische uitspraken en de wijze waarop we ermee moeten omgaan[5].

De Barbershop Paradox, zoals A Logical Paradox ook wel genoemd wordt, is het onderwerp van dit artikel; het gaat over het proces van redeneren van premisse naar conclusie. What the Tortoise Said to Achilles wordt besproken in het volgende artikel; dat gaat over de rechtvaardiging van de gevolgtrekking als geheel.
Ter verduidelijking geef ik hier nu eerst een korte uitleg van het begrip paradox.

Paradoxen

In het dagelijks spraakgebruik is een paradox een uitspraak die tegen de algemene opvatting of tegen gezond verstand in gaat. De term paradox gaat terug tot de Griekse oudheid en betekent letterlijk ‘ongelooflijk’. De bekendste klassieke paradoxen zijn afkomstig van Eubilides (4e eeuw v. Chr.) en Zeno van Elea (5e eeuw v. Chr). Eubilides kennen we vooral van de paradox van de leugenaar: Als een man zegt: “Ik vertel een leugen” en daarbij de waarheid spreekt, vertelt hij dus een leugen en daarom spreekt hij onwaarheid. Maar als hij onwaarheid spreekt, vertelt hij geen leugen en spreekt hij dus de waarheid.
Zeno’s paradoxen gaan vooral over de (on)mogelijkheid van beweging en verandering. Bekend zijn o.a. zijn paradox van de dichotomie en de daaraan verwante paradox van Achilles en de schildpad. De paradox van de dichotomie beargumenteert dat het onmogelijk is om een tevoren bepaalde afstand te overbruggen. Om deze afstand te overbruggen moet men namelijk eerste de helft van de afstand afleggen. Maar daartoe moet men eerst de helft van deze afstand (de eerste helft dus) overbruggen; ook daarvan moet weer eerst de helft worden afgelegd, enzovoorts. Omdat afstanden oneindig deelbaar zijn, is het dus onmogelijk een tevoren bepaalde afstand in zijn geheel te overbruggen.
In mijn volgende artikel zal ik aandacht aan besteden aan de paradox van Achilles en de schildpad.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen retorische en logische paradoxen[6].
Een retorische paradox is een stijlfiguur waarbij onverenigbare ideeën naast elkaar worden geplaatst om een onverwacht effect te bereiken. Een voorbeeld is het volgende citaat uit Animal Farm van George Orwell: “Alle dieren zijn gelijk maar sommige zijn meer gelijk dan andere”.

In de filosofie en de logica spreken we van een paradox als een verzameling van uitspraken die elk op zich plausibel zijn, gezamenlijk inconsistent is, dat wil zeggen echt inconsistent en niet schijnbaar inconsistent. Men kan een logische paradox ook zien als een argument met als conclusie dat de premissen onderling niet verenigbaar zijn.
Ik illustreer dit met een voorbeeld, ook afkomstig van Eubilides:

  1. Jij hebt geen horens.
  2. Als je iets niet verloren hebt, heb je het nog steeds.
  3. Je hebt geen horens verloren.
    – Deze uitspraken zijn allemaal waar. Maar ze zijn onderling inconsistent:
  4. Uit (2) en (3) volgt: Je hebt (nog steeds) horens.
  5. (4) is in tegenspraak met (1).

Het probleem is hier dat (2) alleen maar geldt in de omstandigheid dat je het ding waar sprake van is, daadwerkelijk in je bezit had. De redenering gaat dus uit van een onjuiste vooronderstelling.

Lewis Carroll was gefascineerd door paradoxen. Hij definieerde ze als uitspraken die tegen de verwachting ingaan met als belangrijkste eigenschap dat ze iets schijnen te bewijzen waarvan we weten dat het onwaar is[7].
Onder de vele puzzels die Lewis Carroll heeft bedacht zijn ook heel wat paradoxen. Zo presenteert hij ook eigen varianten van de paradox van de leugenaar, bijvoorbeeld de paradox die hij de titel Crocodilus heeft gegeven[8]. Het verhaal gaat als volgt.
Een krokodil heeft een baby weggepakt van de oevers van de Nijl. De moeder smeekt de krokodil om de baby terug te geven. De krokodil antwoordt: “ Als je goed voorspelt wat ik met de baby ga doen, zal ik de baby teruggeven, zo niet dan zal ik de baby verslinden.”
“Je gaat hem verslinden!” roept de moeder.
De krokodil reageert als volgt: “Ik kan de baby niet teruggeven. Want als ik dat doe betekent dit dat je onwaarheid hebt gesproken en ik heb je gewaarschuwd dat ik hem in dat geval zal verslinden.”
“Integendeel,” zegt de moeder nu. “Je kunt de baby niet verslinden, want als je dat doet, spreek ik de waarheid en je hebt beloofd hem terug te geven als ik de waarheid spreek.”
Carroll voegt hier nog aan toe dat hij er wel van uit gaat dat de krokodil zijn woord houdt en dat zijn eergevoel groter is dan zijn trek in baby’s[9].

De Barbershop Paradox

De Barbershop Paradox is volgens Hugo Brandt Corstius misschien wel Carrolls diepzinnigste bijdrage aan de logica[10]. Hij is ontstaan uit de correspondentie van Lewis Carroll, die als wiskundige was aangesteld bij de Universiteit van Oxford, met John Cook Wilson, die hoogleraar logica was in Oxford in de periode 1889-1915. Carroll vermeldt de correspondentie veelvuldig in zijn dagboeken en laat er geen misverstand over bestaan dat het een heftig dispuut was. Het is overigens dankzij de nalatenschap van Cook Wilson dat veel van Carrolls werk aan de Barbershop Paradox bewaard is gebleven. Dat mag gerust ironisch worden genoemd omdat Cook Wilson het verachtte[11].
Er zijn tenminste elf versies van de paradox en Carroll stuurde deze aan diverse Britse logici. Hij verzameld hun reacties,  vergeleek ze en antwoordde[12].
Naar aanleiding van de commentaren schreef hij uiteindelijk de versie die hij op 3 mei 1894 naar Mind stuurde. Na de publicatie werd het (ook nog na zijn dood) in Mind door Britse logici bediscussieerd[13].

De versie die in Mind verscheen onder de titel A Logical Paradox is geschreven als een dialoog tussen oom Jim en oom Joe. Carroll neemt zelf geen positie in.
Het draait om een kapperszaak met drie kappers, Allen, Brown en Carr.
Er gelden twee regels:

  1. De drie mannen mogen niet tegelijk de winkel verlaten.
    – Dat betekent dat als Carr buiten is, het volgende geldt: als Allen buiten is, dan moet Brown in de zaak zijn.
  2. Allen is ziek en kan de zaak niet verlaten zonder het gezelschap van Brown.
    – Dat betekent het volgende: Als Allen buiten is, moet Brown ook buiten zijn.

Laten we aannemen dat Carr buiten is. Uit (1) volgt dan: Als Allen buiten is, dan is Brown binnen, maar dat is onverenigbaar met (2). Dus de veronderstelling dat Carr  buiten is leidt tot een absurditeit en via reductio ad absurdum kunnen we concluderen dat Carr niet buiten kan zijn en dus binnen is.

Dit resultaat is paradoxaal want we kunnen eenvoudig aantonen dat Carr wel degelijk naar buiten kan zonder de regels (1) en (2) te schenden: Carr kan immers buiten zijn als Allen en Brown beiden in de zaak zijn.
Dit wordt duidelijk uit wat tegenwoordig een ‘waarheidstafel’ heet en dat is wat Carroll zelf presenteerde in zijn versie van het probleem van september 1894 (dus ná de publicatie in Mind)[14].
Hij duidde daarbij de uitspraken aan met de letters A, B en C:

A:          Allen is buiten
B:          Brown is buiten
C:          Carr is buiten.

Waarheid en onwaarheid geven we respectievelijk weer met de letters w en o (Carroll gebruikte hiervoor t – true, and f – false)
Carroll presenteerde de volgende tabel met 8 mogelijke combinaties voor de uitspraken A, B en C[15].

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A w w w w o o o o
B w w o o w w o o
C w o w o w o w o

Op basis van regel (1) is variant 1 uitgesloten: minstens één van de drie mannen moet immers binnen zijn.
Op basis van regel (2) zijn de 3e en de 4e variant uitgesloten want Brown moet met Allen mee als deze naar buiten gaat.
Van de overgebleven varianten maken de 5e en de 7e het mogelijk dat Carr naar buiten gaat.

De diverse reacties op Carrolls paradox ten tijde van zijn leven concentreerden zich vooral op de onverenigbaarheid van de twee proposities ‘Als Allen buiten is, dan moet Brown binnen zijn’ en ‘Als Allen buiten is, dan moet Brown buiten zijn’.
Bertrand Russell gaf in 1903 de oplossing die tegenwoordig algemeen geaccepteerd wordt: hij beschouwde het als de zgn. paradox van de materiële implicatie[16].
In 1950 presenteerden Burks en Copi nog een andere oplossing met behulp van de door hen gedefinieerde causale implicatie; deze implicatie is slechts waar als er een oorzakelijke relatie bestaat tussen antecedens en consequens[17].

Materiële implicatie

De discussie over de aard van de implicatie en in het bijzonder de materiële implicatie in de logica gaat terug tot de oudheid[18]. Waarschijnlijk was Philo van Megara (4e eeuw v. Chr.) de eerste verdediger van de materiële implicatie. We vinden het onderwerp ook bij de Stoicijnen (3e eeuw v Chr.); zij waren de eersten die zich bezig hielden met propositielogica en de materiële implicatie speelt een belangrijke rol in de propositielogica.
De propositielogica gaat  over de relatie tussen twee of meer proposities; proposities zijn uitspraken die waar of onwaar zijn. Zoals eerder gememoreerd nam de propositielogica een hoge vlucht op basis van Freges Begriffschrift (1879), dat overigens in het Verenigd Koninkrijk pas bekend werd door Bertrand Russell in het begin van de 20e eeuw.

Sinds het werk van Frege wordt de materiële implicatie geaccepteerd als een operator uit de propositielogica. De materiële implicatie wordt weergegeven als ‘P → Q’, ofwel ‘als P dan Q’.
De operatoren van de propositielogica kunnen worden gedefinieerd door waarheidstafels. Voor de materiële implicatie ziet dat er als volgt uit. Er wordt een overzicht gegeven van de mogelijke varianten ‘waar/onwaar’ voor antecendens en consequens en de gevolgen daarvan voor de materiële implicatie (waarbij w voor ‘waar’ staat en o voor ‘onwaar’):

P Q P → Q
w w w
w o o
o w w
o o w

Hierdoor wordt duidelijk dat P → Q alleen onwaar is als P waar is en Q onwaar. Opvallend daarbij is dat P ® Q waar is als P onwaar is. M.a.w. een onware uitspraak impliceert elke uitspraak, ongeacht of die uitspraak zelf waar of onwaar is.
Een voorbeeld: de uitspraak ‘Als de maan van hout is, is de aarde rond’ is waar, omdat de maan niet van hout is, en de antecedens dus onwaar is.

Een ander gevolg van deze definitie is ook dat een ware uitspraak volgt uit elke willekeurige uitspraak: de implicatie P ® Q is namelijk alleen onwaar  als P waar is en Q onwaar; dus de waarheid van Q is voldoende om de implicatie waar te maken.
In ons voorbeeld: de uitspraak ‘Als de maan niet van hout is, is de aarde rond’ is ook waar.

De wijze waarop ‘als … dan …’ wordt gebruikt in de materiële implicatie, kan natuurlijk verwarring veroorzaken. We kennen immers ook de strikte implicatie (waarbij het uitgesloten is dat de antecedens waar is en de consequens onwaar)[19] en een causale implicatie (waarbij er een oorzakelijk verband is tussen antecedens en consequens). Deze liggen dichter bij het gebruik van ‘als .. dan ..’ in de natuurlijke taal dan de materiële implicatie. Voor de materiële implicatie zijn inhoudelijke relaties of zelfs betekenis niet relevant. Het is een waarheidsfunctie, d.w.z. alleen waarheid en onwaarheid zijn relevant.

Er zit hier een spanning tussen de logica en de omgangstaal en we zijn geneigd de materiële implicatie als paradox te zien, omdat we er, zoals in ons voorbeeld, van uitgaan dat de materie van de maan en de vorm van de aarde niet relevant voor elkaar zijn.
Hoe is de materiële implicatie nu van toepassing op de Barbershop paradox?
In de kapperszaak gelden de volgende regels:

  1. De drie mannen mogen niet tegelijk de winkel verlaten.
    – Dat betekent dat als Carr buiten is, het volgende geldt: als Allen buiten is, dan moet Brown in de zaak zijn.
  2. Allen is ziek en kan de zaak niet verlaten zonder het gezelschap van Brown.
    – Dat betekent het volgende: Als Allen buiten is, moet Brown ook buiten zijn.

Hierbij zien we dat bij beide regels ‘Als Allen buiten is’ voorkomt als antecedens. Maar stel dat dit onwaar is (en Allen dus binnen blijft). Dan is de betreffende materiële implicatie waar ongeacht de vraag of de consequens waar of onwaar is: Brown kan binnen of buiten zijn en Carr idem. En de regels kloppen dan ook: als Allen (die niet alleen naar buiten mag volgens regel 2) binnen blijft, is vervolgens alles mogelijk omdat er dan immers altijd iemand binnen is (conform regel 1). Dit resultaat komt dus overeen met de eerder gepresenteerde tabel van Carroll waar Carr in de 5e en 7e variant naar buiten kon.

Lewis Carroll en de materiële implicatie

Uit de waarheidstafel die Carroll zelf in 1894 opstelde, blijkt dat hij vertrouwd was met het principe van de materiële implicatie. Alhoewel hij nergens expliciet heeft aangegeven dat hij deze accepteerde, is er reden om aan te nemen dat hij op zijn minst neigde naar acceptatie maar dat hij zich er ongemakkelijk bij voelde. Hij formuleerde ook een aantal problemen die ermee samenhingen[20]. Dat ongemak kan ermee te maken hebben dat Carroll bij zijn logica veel waarde hechtte aan gemak en consistentie, maar ook aan de aansluiting bij het dagelijkse leven: symbolische logica mocht niet te ver af staan van het gewone volk. En de materiële implicatie is, bezien met gezond verstand, immers enigszins contra-intuïtief.

In een analyse van de relatie tussen Carrolls logica en humor beweert Peter Alexander dat Carroll (al dan niet bewust) gebruikt maakte van de materiële implicatie om in de Alice-boeken een kader te creëren waarbinnen absurditeiten aanvaardbaar worden[21]. Volgens deze analyse beginnen beide Alice-boeken met een onwaarheid die ons, zodra we deze aanvaarden, ertoe brengt de absurditeiten van de beide verhalen als acceptabele logische consequentie te zien.
Deze ‘onwaarheden’ zijn de volgende:

  • Voor Alice’s Adventures in Wonderland: “Kleine meisjes kunnen afdalen in een konijnenhol en een wereld met vreemde wezens ontdekken.”
  • Voor Through the Looking-Glass: “Achter spiegels in huizen bevinden zich andere huizen waar alles omgekeerd is, en door de spiegels kunnen we daar naar binnen gaan.”

Opvallend is overigens dat dit patroon niet te herkennen is in Sylvie and Bruno; dit zou volgens Alexander de verklaring kunnen zijn dat dit werk aanmerkelijk minder sprankelend is dan de beide Alice-boeken.

Impact

Lewis Carroll was in de jaren ’90 bezig met een theorie over hypothetische uitspraken; indien en voor zover hij deze voltooid heeft, is daar niets meer van teruggevonden.
Zijn werk op dat gebied bracht hem wel meer bekendheid bij zij logici-tijdgenoten dan te voren, omdat hij Barbershop Paradox al vóór de publicatie in Mind had rondgestuurd en met andere logici erover had gecorrespondeerd. Ook na de publicatie bleef het tot 1905 een onderwerp van debat tussen de leidende Britse logici.
De neerslag van deze discussie in correspondentie en wetenschappelijke publicaties biedt een uitstekend beeld van de Britse logica in de laatste twee decennia van de 19e eeuw. De standpunten maken met name duidelijk hoeveel problemen de klassieke en symbolische logici hadden om elkaar te begrijpen.
Dit is een duidelijk voorbeeld van het nut van de studie van Carrolls logische werk: het is een waardevolle introductie voor een goed begrip van de Britse logica in de tweede helft van de 19e eeuw waarin een overgang plaats vond van de traditionele logica naar de symbolische logica[22].

Voetnoten

[1] Alle vier de eerdere artikelen zijn gepubliceerd in Phlizz, het online magazine van het Lewis Carroll Genootschap, https://lewiscarrollgenootschap.nl/phlizz/
[2] Zie Moktefi 2008.
[3] Zie Russell 1996: “I think he was very good at inventing puzzles in pure logic. When he was quite an old man, he invented two puzzles he published in a learned periodical, Mind, to which he didn’t provide answers. And the providing of answers was a job, at least so I found it.” [p.525]. En: “The best work he ever did in that line was the two puzzles that I spoke of “ [p.528].
[4] Bartley 1977.
[5] “ The paradox of which the foregoing paper is an ornamental presentment, is, I have reason to believe, a very real difficulty in the Theory of Hypotheticals. The disputed point has been for some time under discussion by severel practised logicians, to whom I have submitted it; and the various and conflicting opinions, to which my correspondence with them has elicited, convince me that the subject needs further consideration, in order that logical teachers and writers may come to some agreement as to what Hypotheticals are, and how they ought to be treated.” [Carroll 1894, p.438].
[6] Zie Rescher 2001.
[7] ”… according to etymology, ‘things contrary to expectation’, whose characteristic Attribute seems to be that they seem to prove what we know to be false.” [Bartley 1986, p.423].
[8] Zie Bartley 1977, p.425.
[9] “We assume, of course, that he was a Crocodile of his word; and that his sense of honour outweighed his love of Babies” [Bartley 1977, p.425].
[10] Onder het pseudoniem ‘Raoul Chapkis’: Chapkis 1965, p.9.
[11] Zie bijvoorbeeld Geach 1978. Het oordeel van Geach over Cook Wilson laat aan duidelijkheid niets te wensen over:” Naturally, Wilson was himself an execrably bad logician” [op.cit. p. 123].
[12] Het betreft Bartholomew Price, John Alexander Stewart, Herbert William Blunt, Henry Sidgwick, James Welton en Francis Bradley [Moktefi 2008, p.490].
[13] In Mind verschenen bijdragen van W.E. Johnson (1894 en 1895), Alfred Sidgwick (1894 en 1895), Hugh MacColl (1897 en 1900), E.C.C. Jones (1905), John Cook Wilson (1905) en Bertrand Russell (1905) [Moktefi 2008, p.491].
[14] Opgenomen in Abeles (ed.) 2010, pp.123-128.
[15] In de eerdere versies van de paradox gebruikt Carroll letters voor verzamelingen, maar later, zoals in deze waarheidstafels, voor proposities. Dat wil echter niet zeggen dat zijn symbolische logica zich uitstrekte tot de propositielogica: die beperkte zich tot syllogismen en sorites met categorische uitspraken over eigenschappen tussen klassen.
[16] Russell 1903.
[17] Burks & Copi 1950.
[18] Tarski 1953, p.28.
[19] Deze implicatie wordt ook wel ‘logische’ implicatie genoemd, doch het gebruik van deze term is niet eenduidig.
[20] Zie Moktefi 2008.
[21] Zie Alexander 1944.
[22] Zie Moktefi 2007.

Literatuur

  • Abeles, Francine (ed.), 2010, The Logic Pamphlets of Charles Lutwidge Dodgson and Related Pieces, New York: Lewis Carroll Society of North America.
  • Abeles, Francine, 2012, ‘Towards a Visual Proof  System: Lewis Carroll’s Method of Trees’, Logica Universalis, Vol. 6, pp.521-534.
  • Alexander, Peter, 1044, ‘Logic and Humour of Lewis Carroll’, Proceedings of the Leeds Philosophical and Literary Society: Literary & Historical Section, Vol. VI, Part I, pp.551-566.
  • Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.
  • Burks, Arthur W. & Irving M. Copi, 1950, ‘Lewis Carroll’s Barbershop Paradox’, Mind, Vol. 59, No. 234, pp.219-222.
  • Carroll, Lewis, 1894, ‘A Logical Paradox’, Mind, Vol. 3, No. 11, pp.436-438.
  • Carroll, Lewis, 1896, ‘What the Tortoise said to Achilles’, Mind, Vol. 4, No. 14, pp.278-280.
  • Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, London: Macmillan.
  • Chapkis, Raoul, 1965, ‘Lewis Carroll’, in Tirade, 97, pp.2-10.
  • Cupillari, Antonella, 2007, Proceedings of the Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics’ Annual Meeting, Concordia University, Montréal, July 27-29, 2007.
  • Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2008, Handbook of the History of Logic, Volume 4, British Logic in the Nineteenth Century, Amsterdam: North-Holland.
  • Geach, Peter T., 1978, ‘Review of Symbolic Logic by Lewis Carroll and W.W. Bartley’, Philosophy, Vol. 53, No. 203, pp.123-125.
  • Moktefi, Amirouche, 2007, ‘Lewis Carroll and the British Nineteenth-Century Logicians on the Barber Shop Problem’, in Cupillari (ed.) 2007, pp. 189-199.
  • Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-506.
  • Rescher, Nicholas, 2001, Paradoxes. Their Roots, Range, and Resolution, Chicago and La Salle, Illinois: Open Court.
  • Russell, Bertrand, 1903. The Principles of Mathematics, Cambridge University Press.
  • Russell, Bertrand, 1996, A Fresh Look at Empirism (1927-42), volume 10 of The Complete Works of Bertrand Russel, edited by John Slater with the assistance of Peter Köllner, London and New York: Routledge, 1996.
  • Tarski, Alfred, 1953, Inleiding tot de logica en tot de methodenleer der deductieve wetenschappen, Amsterdam: Noord-holandse Uitgevers Maatschappij.
Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 3

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

DIVERSE WISKUNDIGE “ALICE”- WAARNEMINGEN

Paradox

De Caucus[1]-race in hoofdstuk 3 van Wonderland kun je zien als voorbeeld voor de bekende paradox van Achilles en de schildpad, opgesteld door de Griekse filosoof Zeno (ca. 490 v.Chr. – ca. 430 v.Chr.). Hierin “bewijst” Zeno dat Achilles (de snelste loper uit die tijd) nooit een schildpad, die een voorsprong heeft gekregen, zou kunnen inhalen. Zeno’s argument is gebaseerd op het feit dat je afstand oneindig kunt blijven delen. Helaas heb je ook nog met een factor tijd te maken. Maar om deze paradox mathematisch op te lossen moest eerst het onderdeel calculus met het limietbegrip binnen de wiskunde ontwikkeld worden met daarin het bewijs dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Dodgson heeft andere paradoxen ontwikkeld waarvan de bekendste was ”Wat de schildpad zei tegen Achilles”[2], (de omgekeerde paradox van Achilles en de schildpad) die onder andere door Bertrand Russell en vele andere filosofen becommentarieerd is geweest en het centrale thema is in het opmerkelijke boek van Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach uit 1979 met als ondertitel een metaforische fuga (muziekvorm) op mensen en machines in de geest van Lewis Carroll.

Deze caucus race heeft helemaal geen regels en geen afgesproken begin of einde. Iedereen rent of rent niet en aan het einde, als de Dodo plotseling uitroept dat de race voorbij is, heeft iedereen gewonnen.

A Mad Tea-Party

Je zou de titel van het zevende hoofdstuk uit Wonderland ook kunnen lezen als een M. T. (em(p)ty) party, een lege (politieke) partij die alleen maar loze beloften doet. Merk op dat het Engelse woordje tea wordt uitgesproken als de Engelse letter t en deze t staat natuurkundig voor het belangrijke woordje tijd in dit hoofdstuk.
Op het prijskaartje van de hoed van de Hoedenmaker staat “In this style: 10/6”. Dat moet natuurlijk gelezen worden als 10 shilling en 6 pence in de Engelse muntsoort. Uitgaande van 1 shilling is 12 pence, kom je in totaal uit op 126 pence en dat is (opmerkelijk) weer 3 (oorspronkelijk 3 figuren aan de tafel) x 42. Maar is dit wel een prijskaartje?
We kunnen dit kaartje ook wiskundig lezen als “In this style: 106”, waarbij 106 = 1.000.000. Wellicht een beetje vreemd dat de Hoedenmaker 1 miljoen hoeden in deze stijl heeft geproduceerd. Maar laten we verder kijken. We delen deze 1 miljoen door 7 (de leeftijd van Alice in Wonderland) en krijgen dan 142857 met rest 1. En kijk dan eens naar de volgende tabel, die Carroll kende en ook vaak gebruikte:

106 : 7 = 142857 met rest 1; 1/7 = 0,142857…
142857 x 2 = 285714;            2/7 = 0,285714…
142857 x 3 = 428571;            3/7 = 0,428571…
142857 x 4 = 571428;            4/7 = 0,571428…
142857 x 5 = 714285;            5/7 = 0,714285…
142857 x 6 = 857142;            6/7 = 0,857142…
142857 x 7 = 999999

De cijfers in de producten en delingen vormen een cyclische verwisseling van de 6 cijfers van 142857. Verder worden de 6 cijfers in de breuken cyclisch herhaald. Welke betekenis schuilt hier dan achter?
Als later de Hoedenmaker als getuige bij de rechtsspraak wordt opgeroepen en beschuldigd wordt van M(urdering) T(ime) (weer em(p)ty!!!) blijft hij nerveus heen en weer hippen op zijn voeten als in een periodieke (cyclische) beweging. De klacht van de Hoedenmaker is dat hij vast in de tijd zit, de eeuwigdurende thee-tijd om 6 uur. De tijd staat stil en dus moeten de gasten aan tafel in beweging komen. Dat komt omdat de waarde van zijn hoed niet precies matcht met 1 miljoen. Om bij 999999 uit te komen moet hij de som 1.000.000 – 1 maken en dat lukt klaarblijkelijk alleen als hij in alle verwarring een hap uit zijn theekopje neemt. Op datzelfde moment begint Alice exponentioneel te groeien. We stappen nu van een lineair getallensysteem over naar een modulair getallensysteem. (Als voorbeeld bij dit laatste: tijdsaanduiding bij een klok, na 12 wordt opnieuw bij 1 begonnen).

Lees nu eens de tekst op de hoed (In this style 10/6) als In this mode 106.[3] Deel 106 door 7 en je houdt als rest 1 over.
Iets formeler gezegd:  106 ≡ 1 (mod 7) (vertaald: 106 en 1 zijn congruent modulo 7; 106 en 1 hebben na deling door 7 dezelfde rest) oftewel
107-1 ≡ 1 (mod 7) en zie daar verschijnt de kleine stelling van Fermat[4]:
ap-1 ≡ 1 (mod p) met p een priemgetal en a en p onderling niet deelbaar[5]
We kunnen het prijskaartje op de hoed dus zien als een manier om eerbetoon te brengen aan Pierre de Fermat. De titel van dit hoofdstuk A Mad Tea Party is nu te herleiden tot:

A Mod(ular) T(ime) Parti(-cle)
(Een modulair tijdsdeeltje) 

Schoppen en Harten

Uit hoofdstuk 8 in Wonderland komt de scène voor met de drie schoppenkaarten. De schoppenkaarten zijn de tuinlieden in Wonderland en zijn doodsbang voor de Hartenkoningin, die ze beschouwen als een blinde en doelloze wraakgodin en waarschijnlijk een irrationaal[6] getal representeert.

Haar enthousiasme om iedereen te executeren komt vanwege een afgrijselijke woordspeling met het woord “axes”, het meervoud van een axis (x-as en y-as) bij een grafiek.

De vraag bij deze conversatie is natuurlijk waarom juist schoppen 2, 5 en 7 worden opgevoerd. Het simpele antwoord is natuurlijk vanwege het feit dat de som van de getallen op de drie kaarten 2 + 5 + 7 = 14 en vermenigvuldigd met 3 (aantal kaarten) dit weer 42 oplevert. Maar er zit een diepere laag onder. Als je 7 deelt door 5, krijg je een benadering van het irrationale getal wortel 2 (in 1 decimaal nauwkeurig). Dus 7 : 5 = √2 ≈ 1,4142. Het Engelse woord root in tulips-roots verwijst dus naar het symbolische woord wortel dat in de wiskunde wordt gebruikt.[7]

De oudste regel in het boek van de Hartenkoning is regel 42[8]. Waarop Alice opmerkt dat de oudste regel natuurlijk regel 1 moet zijn. Een verwijzing naar het feit dat zij het leiderschap van Hartenkoning en Hartenkoningin zo dadelijk gaat overnemen? Dat stond natuurlijk al bij voorbaat vast, want haar naam Alice bevat het woordje ace.
Hetzelfde geldt overigens ook met betrekking tot Spiegelland, waar Alice aan het eind van het boek tot koningin wordt gepromoveerd. Ongeacht alle capriolen die Alice moest uithalen, wist ze van tevoren al dat dat de onbekende Schaakgrootmeester haar had voorbestemd als dé nummer 1, dus als koningin te laten eindigen.

Humpty-Dumpty

De filosoof Humpty-Dumpty is voornamelijk geschoold in linguïstische zaken. Wellicht suggereert Carroll in het fragment links dat filosofen, volop in het toenmalige Oxford aanwezig, over het algemeen nauwelijks begiftigd zijn met enige wiskundige kennis.

Het voorkomen van Humpty-Dumpty is wiskundig bezien een oblate (afgeplatte) sferoïde (een omwentelingslichaam van een ellips). De aarde wordt ook vaak als een oblate sferoïde voorgesteld.

De helix of schroeflijn in de vorm van een kurketrekker komt bij Carroll in Spiegelland regelmatig voor. Humpty-Dumpty vergelijkt bijvoorbeeld de “toves” met kurketrekkers en ook John Tenniel tekende bijvoorbeeld de geit en de eenhoorn met spiraalvormige hoorns. Een helix is een 3-dimesionale kromme met constante straal en spoed. De helix is een speciale vorm van een spiraal.[9]

Speltheorie

In hoofdstuk 9 van Wonderland komt in de dialoog van Alice met de Hertogin voor de zevende keer in het begin van dit hoofdstuk het woordje moraal langs. Dit keer met de woorden meer en minder. Dit is duidelijk een voorbeeld van een nulsomspel. Dit is in de speltheorie een spel waarbij de winst voor de één verlies is voor de ander. De totale opbrengst blijft constant. Dodgson was in de 19e eeuw de enige die fundamentele kwesties inzake speltheorie, in zijn geval stemtheorie, te berde bracht. Pas in 1928 publiceerde John von Neumann[10] een eerste formeel systematisch spel-theoretisch bijdrage in de vorm van de minimax-stelling, die de volledige strategie beschrijft van spelers in tweepersoons nulsomspellen.

Niemand/Niets

In zijn boek “Euclid and his Modern Rivals” introduceerde Carroll een zekere Herr Niemand. Dit is de fantasienaam van een Duitse professor die “alle boeken heeft gelezen en klaar staat om elke bewering waar of niet-waar te verdedigen”. In dit fragment gaat het om het toekennen van de naam Niemand aan een persoon. Wellicht heeft dit ook te maken met een verwijzing naar de lege verzameling. Het eerste optreden van een zekere Nobody is bij de theevisite als Alice tegen de Maartse Haas zegt: “Nobody asked your opinion”.

De lege verzameling is een belangrijke wiskundige entiteit binnen de verzamelingentheorie. Niets is niet niets maar iets belangrijks. Carroll was pionier door in te zien dat niets een bestaande reële entiteit is. Een goed voorbeeld hiervan is de scène in hoofdstuk 8 van Wonderland als alleen de kop van de Cheshire Kat zichtbaar is en er sprake is van een dispuut tussen de Hartenkoning, de Hartenkoningin en de beul over het onthoofden van een kop zonder lichaam eraan vast. De beul zegt dat dat niet kan, terwijl de koning beweert dat dat wel kan. Het standpunt van de beul is vrij normaal. Het standpunt van de koning als wiskundige is heel onrealistisch, maar op zich geeft de term onthoofden al aan dat er een hoofd (in dit geval een kop) minimaal aanwezig moet zijn. Anders valt er niets te onthoofden. Aan de minimale en noodzakelijke voorwaarde dat er een kop is wordt dus voldaan. Ook aan de mogelijke tweedeling bij het afsnijden wordt voldaan omdat er twee elementen zijn volgens de wiskundige koning, namelijk het hoofd en het niet iets. Cantor[11] kwam in 1874 met zijn eerste theoretisch werk over het wiskundige begrip verzamelingen.

Datum

In Wonderland zijn 3 kalenderdagen van belang:

  1. 4 – 7 – 1862, de datum van het bekende boottochtje. Alice was toen 10 jaar oud.
  2. 4 mei, de verjaardag van Alice die in het boek 7 jaar oud is.
  3. 14 maart, de dag dat de Maartse Haas gek werd. Dat is niet verwonderlijk, omdat 14 maart (geschreven als 3, 14) pi-dag (π-dag) is.[12]

Leeftijden 

In Spiegelland is Alice 7½jaar oud. De leeftijd van de Witte Koningin is 101 jaar, 5 maanden en 1 dag. Dat zijn omgerekend 37.044 dagen inclusief wat schrikkeldagen. Samen met de Rode Koningin zijn dat 74.088 dagen en hoe vreemd (?) ook, 74088 = 423. Tenslotte staan beide koninginnen en Alice (3 koninginnen) op hetzelfde schaakbord. En natuurlijk is 7½ al een exact getal! Dat “exactually” is voor wiskundigen een dom pleonasme.

Voetnoten

[1] Een caucus is een term voor een comité van politieke lobbyisten die een competitieve strijd tussen kandidaten tracht te vermijden door vooraf afspraken te gaan maken of door het promoten van een enkele kandidaat.

[2] https://www.hhofstede.nl/paradoxen/achilles.htm. “What the Tortoise Said to Achilles” verscheen in het tijdschrift Mind van april 1895 waarin Lewis Carroll 2 problemen presenteerde die logici onder ogen moeten zien bij het vaststellen van gevolgtrekkingen bij bewijzen.

[3] Zie voor enige achtergrond over modulair rekenen: https://nl.wikipedia.org/wiki/Modulair_rekenen.

[4] Pierre de Fermat (1607-1665), van origine een Franse jurist, werd beroemd door zijn zogeheten grote stelling van Fermat waarin hij het vermoeden uitte dat de vergelijking an + bn = cn geen oplossing(en) heeft voor n groter dan 2 met a, b, c en n positieve gehele getallen. Pas na ruim 3 eeuwen bewees de Britse wiskundige Andrew Wiles (1953) in 1994 dit vermoeden. Voor n=2 zijn er oneindig veel getallen a, b en c die aan de vergelijking a2 + b2 = c2 voldoen, bijvoorbeeld: de combinatie 3, 4 en 5 met al hun veelvouden; ook de combinatie 5, 12 en 13 en alle veelvouden daarvan voldoen.

[5] Aan de hand van de kleine stelling van Fermat kun je eigenschappen van vaak zeer grote getallen afleiden, zonder dat je die grote getallen zelf berekent.

[6] Een irrationaal getal is een reëel getal dat niet geschreven kan worden als deling van 2 gehele getallen. Is een reëel getal wel te schrijven als een deling van 2 gehele getallen dan is dat een rationaal getal. De verzameling van reële getallen bestaat uit de verzameling rationale getallen en de verzameling irrationale getallen. Voorbeelden van irrationale getallen zijn √2, π en 3√42 . De ‘meeste’ reële getallen zijn irrationaal.

[7] Meestal wordt tulips-roots in het Nederlands vertaald met tulpenbollen. Mathematisch zou een betere Nederlandse vertaling zijn: een bosje wortelen.

[8] Bij de rechtzaak worden ook 2 guinea-pigs (cavia’s) afgevoerd. Een guinea is een oude Engelse munteenheid van 21 shilling. En 2 x 21 = …!

[9] Spoed is de verplaatsing langs de as per omwenteling. Een spiraal is een 3-dimensionale kromme die rond een bepaald punt draait en steeds dichter dit punt nadert of zich er steeds verder van verwijdert.

[10] John von Neumann (1903-1957) was in tegenstelling tot de meeste wiskundigen een zeer extravagante persoonlijkheid. Hij was een geniale wiskundige en heeft op veel deelgebieden binnen de wiskunde belangrijke bijdragen geleverd. Hij wordt beschouwd als de grondlegger van de speltheorie. Zie ook:   https://nl.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

[11] Georg Cantor (1845-1918) was een Duitse wiskundige die het wiskundige begrip oneindigheid formaliseerde en verdiepte. Hij bewees in 1874 dat de oneindige verzameling reële getallen “talrijker” is dan de oneindige verzameling natuurlijke getallen, waardoor hij aantoonde dat er oneindige verzamelingen zijn van verschillende “grootte”. Het artikel hierover markeerde het begin van zijn theorie over verzamelingen. Zijn werk is ook van filosofisch belang.

[12] Zoals zoveel wiskundigen had Carroll een fascinatie voor het irrationale (niet-rationale) getal π . Op 21 maart 1878 schreef hij in zijn dagboek dat hij zinnen in versvorm had geschreven waarmee hij π in 102 decimalen kon benaderen. Het aantal letters in een woord van het vers vertegenwoordigt daarbij het desbetreffende cijfer in de decimalen van π . Ook noteerde hij dat hij in staat was π π in 4 decimalen nauwkeurig uit te rekenen. In 14 minuten!  Lange tijd werd Dodgson door mensen lastiggevallen die meenden de kwadratuur van een cirkel te hebben opgelost of “bewijzen” leverden dat π toch echt wel een rationaal getal was. De kwadratuur van een cirkel is de vraag of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. In 1882 bewees de Duitse wiskundige Ferdinand Lindemann (1852-1938) op een afdoende manier dat de kwadratuur van een cirkel onmogelijk is. Dodgson was niet op de hoogte van dit bewijs. In 1865 publiceerde Dodgson het pamflet “The New Method of Evaluation as Applied to π”. Dit pamflet van 4 pagina’s is een anonieme parodie en een humorvolle bijdrage aan de controverse over het salaris van Benjamin Jowett als professor Grieks, waarbij gebruik wordt gemaakt van 5 vindingrijke pseudo-algebraïsche methoden om π en dus het salaris van Jowett te benaderen.

Lees verder

Lewis Carrolls logische boommethode

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit is het vierde artikel in een reeks over de logica van Lewis Carroll. De eerste twee artikelen waren enigszins algemeen van karakter en gingen over Carrolls belangstelling voor de logica en de stand van de Britse logica in de 19e eeuw. Het derde artikel behandelde Carrolls logische diagrammen[1]. Deze diagrammen waren één van Carrolls methoden om een groot publiek vertrouwd te maken met logica. Vanwege het visuele karakter zijn ze een goede illustratie van Carrolls streven om de logica te populariseren. Lewis Carroll had nog een sterk visuele methode voor de oplossing van logische problemen, namelijk zijn Method of Trees ofwel Boommethode.
In Carrolls dagboekaantekeningen van 16 juli 1894 lezen we over de ontdekking van deze methode die hij, met een verwijzing naar de vorm van een omgekeerde boom, de voorlopige benaming ‘genealogische methode’ gaf[2]. De boommethode komt niet voor in het eerste deel van Symbolic Logic dat uitkwam in 1896, maar was onderdeel van Carrolls manuscript voor het door hem geplande tweede deel van Symbolic Logic. Dit tweede deel is, als gevolg van zijn dood in 1898, echter onvoltooid gebleven. Pas in 1977 werd een aantal manuscripten ontdekt door W.W. Bartley III, die daarmee een reconstructie heeft gemaakt van het tweede deel van Symbolic Logic[3].
Door die late ontdekking hebben tijdgenoten van Carroll echter geen kennis kunnen nemen van zijn methode. Ten tijde van de ontdekking in 1977 was de logica ingrijpend veranderd, maar het principe van zijn methode was nog steeds toepasbaar. Sterker nog, er waren inmiddels nieuwe technieken ontwikkeld op basis van ditzelfde principe. Hoewel er daardoor geen directe behoefte meer is aan Carrolls uitwerking, is zijn boommethode nog steeds interessant. Hij is een goed voorbeeld van zijn aanpak van en kijk op de logica en tevens een illustratie van de mate waarin hij vooruitliep op toekomstige ontwikkelingen.
Hieronder ga ik eerst algemeen in op de aard van de boommethode, vervolgens schets ik, met behulp van een voorbeeld, Carrolls aanpak en ik sluit af met een evaluerende paragraaf.

Het principe van logische bomen of logische tableaus

Het gebruik in de logica van grafische methoden in de vorm van een boom gaat op zijn minst terug tot de Boom van Porphyrius in de 3e eeuw. Het ging hierbij vooral om een verdeling genera – species, geslacht- en soortbegrippen, gebaseerd op Aristoteles’ categorieën. Mogelijk maakte ook Aristoteles al gebruik van boomstructuren.
We zien de Boom van Porphyrius terug bij Ramon Llull als Arbor Scientiae (1296) en ook bij Leibniz in de tweede helft van de 17e eeuw[4].

De logische boommethode van Lewis Carroll heeft echter een ander karakter. Deze methode komen we sinds de jaren ’50 van de vorige eeuw regelmatig tegen in verschillende variaties en ook in diverse takken van de logica; hij wordt daar vaak aangeduid als de methode van logische tableaus. Ondanks alle variaties heeft de methode steeds een aantal duidelijke karakteristieken[5].

De crux van de methode zit in het gebruik van reductio ad absurdum.
Er is een variëteit aan definities van definities van reductio ad absurdum[6]. In het dagelijks spraakgebruik bedoelt men meestal de debattechniek waarmee wordt beargumenteerd dat het standpunt van de opponent implicaties heeft die bizar zijn, onacceptabel of gewoon onjuist.
In de formele logica wordt de mathematische variant van de reductio gehanteerd. Dat is een redeneervorm met de volgende stappen:[7]

  1. introduceer als aanname het omgekeerde van wat je wilt bewijzen;
  2. leid een tegenspraak af uit deze aanname;
  3. bevestig de gewenste conclusie als een logische consequentie van deze tegenspraak.

Ik geef een eenvoudig voorbeeld. Stel je wilt aantonen dat de wereld rond is. Aangezien de wereld ofwel rond ofwel plat is, moet je als eerste stap aannemen dat de wereld niet rond is maar plat. Dat zou betekenen dat we van de wereld vallen, als we maar lang genoeg doorlopen. Omdat dit duidelijk niet het geval is, betekent dit dat de wereld niet plat is. Dit is in tegenspraak met onze aanname (stap 2). De logische consequentie is dan dat de wereld rond is, omdat hij ofwel rond ofwel plat is (stap 3).
Deze redeneervorm veronderstelt twee door Aristoteles geformuleerde principes:

  • het principe van contradictie: Er is geen ding waarop zowel de eigenschap P als de eigenschap niet-P van toepassing is, en
  • het principe van het uitgesloten derde: Op ieder ding is P of niet-P van toepassing[8].

Een logische boom- of tableaumethode begint dus met een aanname die het omgekeerde is van wat we willen bewijzen. Voor dit bewijs wordt de aanname ‘afgebroken’, d.w.z. gesplitst in verschillende mogelijke gevallen, alternatieve scenario’s en deze worden weergegeven als takken van een boom.
Het gaat er vervolgens om voor al deze takken afzonderlijk aan te tonen dat ze tot een tegenspraak leiden. De betreffende tak wordt dan ‘gesloten’. De methode kent regels die de voorwaarden aangeven waaronder de verschillende takken gesloten kunnen worden. Als iedere tak gesloten is, wordt gezegd dat de boom of het tableau zelf gesloten is. Een gesloten tableau dat begint met de bewering dat A niet geldig is, betekent een tableau-bewijs van A.
De vorm van het tableau is een omgekeerde boom, met vertakkingen naar beneden.

Omdat ten tijde van Lewis Carroll categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen, overheersend waren in de formele logica, gebruikte hij zijn boommethode voor redeneringen met categorische uitspraken. Later is de methode vooral vaak toegepast in de propositielogica en de uitbreiding daarvan in de predicatenlogica. Propositielogica gaat over de relaties tussen proposities, d.w.z. uitspraken die waar of onwaar zijn.
Als bijvoorbeeld A en B proposities zijn, dan zijn ‘en’ en ‘of’ mogelijke relaties tussen A en B, met als resultaat de samengestelde proposities ‘A en B’ en ‘A of B’.
In de oudheid was bij de Stoicijnen (4e eeuw BC) al sprake was van propositielogica en ook in de Middeleeuwen (Pierre Abelard, 12e eeuw). Carrolls tijdgenoot George Boole zette een flinke stap voorwaarts met een symbolische propositielogica, maar de basis van de moderne propositielogica danken we aan Gottlob Frege’s Begriffschrift uit 1879,  een werk dat bij de Britse logici pas in de 20e eeuw bekend werd dankzij Bertrand Russell.  In de symbolische logica van  Lewis Carroll vinden we geen propositielogica.

In feite is de propositielogica de eenvoudigste vorm van logica. Daarom zal ik het principe van de boommethode uitleggen aan de hand van een voorbeeld uit de propositielogica. In de volgende paragraaf zullen we de toepassing van Lewis Carroll zien voor redeneringen met categorische uitspraken; deze is ingewikkelder en daardoor minder geschikt als illustratie van de methode voor lezers die er nog niet mee vertrouwd zijn.

Voor een goed begrip van het voorbeeld zijn wel twee zaken nodig:

  • een overzicht van de belangrijkste symbolen van de propositielogica;
  • een overzicht van de geldende regels, bepalingen, voor zover relevant voor ons voorbeeld.

De belangrijkste symbolen uit de propositielogica zijn de volgende[9]:

Relevante bepalingen uit de boommethode voor propositielogica[10]:

Gebruikmakend van deze symbolen en bepalingen, geef ik nu een voorbeeld in de propositielogica. We gaan de juistheid checken van de volgende redenering (met voorbeeld-uitspraken voor A, B en C, ter verduidelijking):

We gaan voor deze check nu uit van de ontkenning van de conclusie (d.w.z. ‘Het is niet zo dat als A dan C’), die we toevoegen aan de hypothesen. Het is de bedoeling om aan te tonen dat deze ontkenning van de conclusie in alle gevallen tot een tegenspraak leidt.
We construeren nu als volgt een boom:

Weergegeven in een boomstructuur ziet dat er als volgt uit:
(Met ‘X’ wordt aangegeven dat een tak afgesloten is)

Uitgaande van de hypotheses in regel 1 en 2, leidt de ontkenning van de gewenste conclusie (regel 3) in alle gevallen tot een tegenspraak. Daarmee is aangetoond dat de gewenste conclusie AC  juist is.

Carrolls boommethode

Zoals in de vorige artikelen naar voren kwam, hield Carrolls symbolische logica zich bezig met redeneringen in de vorm van syllogismen (twee premissen en een conclusie) of van sorites (meer dan twee premissen en een conclusie). Centraal daarbij stond het zgn. eliminatieprobleem: het onttrekken aan informatie aan de vooronderstellingen om een conclusie te formuleren. Zowel de premissen als de conclusie hadden in syllogismen en sorites de vorm van categorische uitspraken: uitspraken over verzamelingen.
Carroll had al een aantal methoden ontworpen voor het eliminatieprobleem, waaronder zijn logische diagrammen, maar hij vond deze methoden niet bevredigend als er sprake was van een groot aantal premissen. Daartoe bedacht hij de boommethode. Voor zover nu bekend was Lewis Carroll de eerste die de hierboven beschreven logische boommethode gebruikte.

Carroll hanteerde de boommethode om de juistheid van een conclusie te bewijzen. Eerder had hij al een mechanische methode ontworpen om te bepalen welke termen uit de premissen zouden moeten voorkomen in de conclusie (retinends) en welke termen geëlimineerd zouden moeten worden (eliminands)[11].

Essentieel voor de boommethode was, zoals gezegd, het gebruik van reductio ad absurdum, een redeneerwijze waarmee Carroll meer dan vertrouwd was.
Carroll was een bewonderaar van de Griekse wiskundige Euclides (ca. 300 v. Chr.), die veelvuldig gebruik maakte van reductio ad absurdum.  In zijn voornaamste werk (Elementen) presenteerde Euclides zijn meetkunde als een samenhangend systeem, afgeleid uit een beperkte set axioma’s. In Euclid and his Modern Rivals uit 1879 verdedigde Carroll Euclides’ Elementen tegenover tijdgenoten die het wilden vervangen door moderne meetkunde-leerboeken. Ook in de Alice-boeken komen we regelmatig vormen van reductio ad absurdum tegen[12].

Carrolls boommethode vertoont enige verwantschap met de methode van het Antilogisme van zijn tijdgenote Christine Ladd-Franklin. Zij ontwierp deze methode voor het testen van de juistheid van de conclusie op basis van een vorm waarin alle syllogismen kunnen worden gegoten, uitgaande van de premissen en de ontkenning van de conclusie (“an inconsistent triad”). Deze methode is te vinden in een publicatie uit 1883; Carroll had deze publicatie in zijn bezit en nam er (met verwijzing) ook enkele voorbeelden uit over[13]. Het lijkt daarom niet onwaarschijnlijk dat hij door Ladd-Franklins artikel beïnvloed is, doch hij legt de link niet bij de beschrijving van zijn methode[14].

Ik zal nu een voorbeeld geven van Carrolls gebruik van de boommethode voor een sorites met 7 premissen. Het is afkomstig van Carroll en ontleend aan Symbolic Logic, part II[15].
Het voorbeeld werkt op basis van de hierboven beschreven principes, maar wordt dus toegepast op categorische uitspraken. Het is in vergelijking met de andere voorbeelden die Carroll geeft, nog relatief eenvoudig.

Om het voorbeeld te kunnen volgen, geef ik nu eerst een overzicht van de door Carroll zelf ontworpen en gebruikte notatie.

Het voorbeeld gaat uit van zeven premissen:

In een boomstructuur ziet dat er als volgt uit[16]:

(Een afgesloten tak wordt aangegeven met ‘Ο’)

Zoals gezegd, was dit nog een relatief eenvoudig voorbeeld. Ter illustratie geef ik hier de boom weer voor een sorites met 26 premissen: [17]

Betekenis en impact

Mechanische technieken en apparaten hadden een bijzondere aantrekkingskracht op Lewis Carroll. Hij had een elektrische pen en een chromograaf, die beide als voorloper van de typemachine kunnen worden beschouwd. Hij bedacht een ‘nyctograaf’ als hulpmiddel om in het donker te kunnen schrijven en experimenteerde met verschillende coderingsmethoden. Hij bracht een bezoek aan Charles Babbage doch moest tot zijn teleurstelling constateren dat door Babbage beschreven ‘analytical engine’ nog slechts in zijn hoofd bestond.
Met zijn boommethode was Lewis Carroll de eerste in de moderne tijd die een mechanische procedure ontwierp om de geldigheid aan te tonen van de conclusie van een ingewikkeld probleem[18]. Deze uitvinding had echter geen directe impact, mede omdat Carroll er niet over communiceerde met zijn vakgenoten en het zou tot 1977 duren voordat zijn vinding ‘ontdekt’ werd. In de tussenliggende tijd was niet alleen de logica ingrijpend veranderd maar hadden ook andere logici vergelijkbare methoden ontworpen die aansloten bij de ontwikkelingen van de logica.

Sinds de jaren ‘50 van de vorige eeuw worden boomstructuren gebruikt in computerprogramma’s om wiskundige stellingen te bewijzen; daarbij wordt veelvuldig gebruik gemaakt van reductio ad absurdum. De moderne boommethode voor propositie- en predicatenlogica vindt zijn oorsprong in het werk van Gerhard Gentzen uit 1934. Dit inspireerde de Nederlandse logicus Evert Beth tot zijn tableaumethode die sterke overeenkomsten vertoont met de boommethode van Carroll. Beth presenteerde zijn tableaumethode voor het eerst in een lezingencyclus in Parijs op 31 maart 1954. Maar de betreffende tekst werd pas uitgegeven in 1955 en intussen had de Fin Jaakko Hintikka een vergelijkbaar idee gekregen. Beth en Hintikka publiceerden min of meer gelijktijdig en onafhankelijk van elkaar. De door Beth en Hintikka beschreven methode werd vervolgens voortgezet door o.a. Smullyan en Jeffrey. De tableaumethode was een belangrijke stap in de ontwikkeling van de geautomatiseerde bewijsvoering[19].

Op basis van de tableaus van Beth ontwierp Paul Lorenzen de methode van dialogische tableaus: een formeel spel met de vorm van een discussie tussen een voor- en tegenstander van een uitspraak[20]. De tableaumethode is bijzonder goed bruikbaar voor de dialoogvorm. In dit verband is het opvallend dat Carroll bij de uitleg die hij bij zijn voorbeelden verschaft de vorm kiest van een soliloquy, waarin hij zijn overwegingen verwoordt in een vraag- en antwoordspel met zichzelf.

De boommethode is een illustratie van de specifieke meerwaarde van Carrolls symbolische logica: naast het populariserende, visuele karakter is dat het mechaniseren van logische redeneringen.
Het moet uitgesloten worden geacht dat een van de hierboven genoemde logici kennis had genomen van Carrolls boommethode. Dit doet echter niets af aan het feit dat Carroll met zijn methode anticipeerde op ontwikkelingen in de geautomatiseerde bewijsvoering en daarmee zijn tijd in feite ruim vooruit was.

—–

Voetnoten

[1] Deze artikelen verschenen in 2019 en 2020 in Phlizz, online magazine van het Lewis Carroll Genootschap.

[2] “Today has proved to be an epoch in my Logical work. It occurred to me to try a complex Sorites by the method I have been using for ascertaining what cells, if any, survive for possible occupation when certain nullities are given. I took one of 40 premisses, with ‘pairs’ within pairs,’ and many bars, and worked it like a genealogy, each term proving all its descendants. I came out beautifully, and much shorter than the method I have used hitherto. I think of calling it the ‘Genealogical Method.’” [Wakeling 2005, p.155]

[3] Bartley 1977.

[4] Zie Anellis & Abeles 2016.

[5] Zie Fitting 1999.

[6] Zie Savenije 2017.

[7] Zie bijvoorbeeld Suppes 1957.

[8] De wet van het uitgesloten derde wordt overigens niet universeel geaccepteerd: de intuïtionistische wiskunde, bijvoorbeeld, verwerpt deze wet.

[9] Bij een inclusief ‘of’ is de uitspraak ‘A of B’ waar als één van beide uitspraken waar is maar ook als beide uitspraken waar zijn. Deze laatste mogelijkheid is uitgesloten bij een exclusief ‘of’.

[10] Twee uitspraken A en B zijn equivalent als A dan en slechts dan waar is als B ook waar is.

[11] Ik zie er van af om deze methode, ‘Register of Attributes’ hier uiteen te zetten: hij is niet wezenlijk voor het begrip van de boommethode die uitgaat van een geformuleerde conclusie.

[12] Zie Savenije 2017 en 2019.

[13] Bartley 1977, p.478.

[14] Zie Abeles 1990, Anellis & Abeles 2016.

[15] Bartley 1977, pp.292-295.

[16] Bartley 1977, p.295.

[17] Bartley 1977, p.312.

[18] Abeles 1990.

[19] Abeles 2005, van Ulsen 2001.

[20] Zie Lorenzen & Lorenz 1978.


Literatuur

Abeles, Francine, 1990, ‘Lewis Carroll’s Method of Trees: Its Origins in Studies in Logic’, The Review of Modern Logic, Vol. 1 (1), pp.25-35.

Abeles, Francine, 2005, “From the Tree Method in Modern Logic to the Beginning of Automated Theorem Proving’, in Shell-Gellasch & Jardine (eds.), pp.149-160.

Abeles, Francine & Mark E. Fuller, 2016, Modern Logic 1850-1950, East and West, Birkhäuser.

Anellis, Irving H. & Francine Abeles, 2016, ‘The Historical Sources of Tree Graphs and the Tree Method in the Work of Peirce

and Gentzen’, in Abeles & Fuller (eds.), 2016, pp.35-97.

Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.

Beth, Evert, 1955, Semantic Entailment and Formal Derivability, Amsterdam: North-Holland.

D’Agostino, Marcello, Dov M. Gabbat, Reiner Hähnle & Joachim Posegga (eds.), 1999, Handbook of Tableau Methods, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Fitting, Melvin, 1999, ‘Introduction’, in D’Agostino et al. (eds.), 1999, pp.1-44.

Gentzen, Gerhard, 1934, ‘Untersuchungen über das logische Schliessen’, Mathematische Zeitschrift, vol. 39, pp.176-210, pp.405-431.

Hintikka, Jaakko, 1955, ‘Form and Content in Quantification Theory’, Acta Philosophica Fennica – Two Papers on Symbolic Logic, 8, pp.8-55.

Jeffrey, Richard, 1967, Formal Logic. Its Scope and Limits, New York: McGraw-Hill.

Ladd-Franklin, Christine, 1883, ‘On the Algebra of Logic’, in Peirce 1883, pp.17-71.

Lorenzen, Paul, & Kuno Lorenz, 1978, Dialogische Logik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

Peirce, C.S. (ed.), 1883, Studies in Logic by the Members of the Johns Hopkins University, Boston: Little, Brown & Co.

Savenije, Bas, 2017, ‘Contrariwise. Reductio ad Absurdum in the Alice Books’, dodo/nodo, No. 1, pp.32-43. Zie ook https://bassavenije.nl/pdf/56-2017-Contrariwise.pdf.

Savenije, Bas, 2019, ‘Tweedledee’s Logic: Squaring Reductio ad Absurdum’, in The Carrollian: The Lewis Carroll Journal, No. 32, p. 3-26. Zie ook https://bassavenije.nl/wp-content/uploads/2019/06/Savenije-2019-Tweedledees-Logic.pdf.

Shell-Gellash, Amy & Dick Jardine (eds.), 2005, From Calculus to Computers. Using the Last 200 Years of Mathematics History in the Classroom, Mathematical Association of America.

Suppes, Patrick, 1957, Introduction to Logic, New York: Van Nostrand.

Ulsen, Paul van, 2001, E.W. Beth als logicus, verbeterde elektronische versie van het academisch proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan de Universiteit van Amsterdam, 2000, https://www.illc.uva.nl/Research/Publications/Dissertations/DS-2000-04.text.pdf.

Wakeling, Edward (ed.), 2005, Lewis Carroll’s Diaries. The private journals of Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll), vol. 9, Clifford, Herefordshire: Lewis Carroll Society.

Lees verder

Alice’s wereld van denkgereedschap

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Niets zo saai als een boek zonder plaatjes
Niets zo voorspelbaar als een mens dat denkt zoals hij altijd denkt
Niets zo slaapverwekkend als het bekende
Het onbekende prikkelt al meer de nieuwsgierigheid
En nog leuker is het onbekende onbekende

Strijdende waarheden
Plato heeft destijds een verkeerde afslag genomen door te stellen dat lichaam en geest twee entiteiten zijn. Na hem zijn er diverse westerse filosofen geweest die verder bouwden in deze richting, met Descartes als grootste epigoon met zijn mantra: ‘ik denk dus ik besta’.
De start van het verlichtingsdenken: ratio, bewijsvoering en logica als de trojka die leven, maatschappij en organisatie bestuurt. Doelgericht en efficiënt om tot winstmaximalisatie te komen.

Gewoon doorlopen
Maar gelukkig is er ook de Cheshire Cat.  Als Alice aan hem vraagt welke kant zij op moet lopen om haar doel te bereiken, antwoordt hij hoopvol: ‘als je lang genoeg doorloopt kom je er vanzelf’.
Een knap staaltje van strijdende waarheden en onlogica; een briljante paradox. Net het echte leven waar de maatschappij, ons huishouden en organisaties rationeel gedrag betrachten, maar vaker dan ze willen zijn overgeleverd aan toeval, statistische afwijkingen en willekeur.
De Cheshire Cat is een van de voorbeelden uit ‘Alice in Wonderland’, die ik inzet bij mijn werk als adviseur, trainer en trouble-shooter. Het boek helpt namelijk om tot een frisse en een andere kijk op vraagstukken te komen op het gebied van organiseren, besturen en leiderschap.

Hekel aan afwijking
Te vaak vindt het denken en handelen in organisaties namelijk plaatst vanuit vaste kaders en binnen veilige grenzen. Dat soort denken levert slechts bekende antwoorden en vaststaande richtingen op. Maar wat nu als er een vraagstuk ontstaat dat volkomen nieuw is. Niet eerder meegemaakt, niet eerder gezien, alles lijkt mogelijk, niets is helder en risico’s lijken groot.
Controle, het oplosmiddel bij uitstek, is dan juist wat in het geheel niet werkzaam is.
Want vaker dan het directies, managers en controleurs lief is zijn vraagstukken helemaal niet op lossen op het denkniveau waar deze zijn ontstaan. Dan zijn de bestaande werkprocessen, traditionele trucs en de eerder gebruikte oplossingen niet van toepassing.
Dergelijke kwesties heeft men niet eerder meegemaakt en men is onwetend over oorzaken, laat staan dat er direct zicht is op oplossingen. Dan wordt het spannend, tot op het angstige af.

Het Witte Konijn
Een dergelijk vraagstuk is een typisch voorbeeld van het Witte Konijn. Een onverwachte situatie waar men zich ineens in bevindt. Het staat plots in het schijnsel van de koplampen van de auto waar men bestuurder van is. Maar nu is het niet het konijn dat verlammend en geparalyseerd reageert, maar de persoon of organisatie op wiens weg het Witte Konijn kwam.

Ondergronds
Maar is het, in plaats van in de kramp te schieten, op zoek te gaan naar controle, met de daarbij behorende angst om grip te verliezen, niet veel boeiender om gewoon het Witte Konijn te volgen?
Het Witte Konijn is de katalysator van de ontdekkingstocht naar antwoorden. De start van het avontuur ondergronds. Spannend, dat zeker. Maar wel eenvoudiger als men een angstige houding probeert te combineren met nieuwsgierigheid. Interessanter toch om benauwdheid voor het onbekende om te zetten in verwondering voor het avontuur en het ongewisse.

Vrijmoedig gesprek
Dat probeer ik door mijn opdrachtgevers ‘omgekeerd te laten zien en denken’. Om met behulp van Alice een dialoog te voeren waarin onderzoek, nieuwsgierigheid en onbevangenheid centraal staat.
De Cheshire Cat biedt inzichten bij het gesprek over de werking van doelen.
De Caterpillar brengt met zijn vraag: ‘Who are you?’, het onderzoek op gang of het om jou of de ander gaat bij leiden en leidinggeven.
Jabberwocky staat voor ‘wouweltaal’ waar hele legers adviseurs en managers zich van bedienen als ze het hebben over zelfsturing, lean, teal en srcummen. Even lege begrippen als lastig te doorgronden taal. Treffend terugkomend in de taal van Dodo als hij oproept tot: ‘immediate adoption of more energetic remedies’.

Logica onlogisch
Door veronderstelde logica onlogisch te maken, door los te komen van vaste en ingesleten betekenis, leer ik mijn opdrachtgevers om van kader-  en grensdenken naar een vrijer en nieuwsgieriger denk- en handelsysteem te komen.
Om de angst voor het onbekende om te zetten in verwondering en nieuwsgierigheid.
‘Denk eens anders. Doe eens wat anders’.
Dat is mijn devies.
En wie kan ons daar beter bij helpen dan Alice?

Frank Hoes
www.frankhoes.nl
Auteur van: Het witte konijn. Naar eigenzinnig en inspirerend leiderschap (Utrecht, 2018)

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 2

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

BESPIEGELINGEN OVER GETALLEN

Negatieve getallen [1]

 

  1. Als eerste voorbeeld een scène uit hoofdstuk 9 van Wonderland: The Mock Turtle’s Story, waarbij de draak gestoken wordt met negatieve getallen.

Bij deze openingsscène moet je allereerst op twee dingen letten: er is nauwelijks verschil in de Engelse uitspraak te horen tussen de woorden lesson en lessen, hetgeen in dit geval impliceert dat lesson leidt naar lessen. De tweede opmerking is als Mock Turtle wordt afgekort naar M. T., dan staat er em(p)ty. De M.T.-story is dus een empty story. De Mock Turtle is een nonentity (een schertsfiguur), een categorie zonder inhoud. Hij is wat logici noemen een null-class, hetgeen verklaart waarom zijn lesrooster vakken bevat die dag na dag lessen tot niets overblijft. Alles wordt herleid tot nul of niets.
In de vervolgscène wordt duidelijk naar negatieve getallen toe gewerkt met de verborgen boodschap dat negatieve getallen inhoudsloos zijn. Het bleek voor veel wiskundigen nog steeds in de 19e eeuw een probleem te zijn om de vervolgstap te zetten naar een, voor Euclidische wiskundigen, absurde en betekenisloze getallensystematiek.[2]

2. Ook in hoofdstuk 7 van Wonderland wordt verwezen naar negatieve getallen: je kunt niet links van nul gaan zitten op de getallenlijn, deze getallen hebben geen betekenis in tegenstelling tot positieve getallen.

3. In hoofdstuk 9 van Spiegelland komt ook een rekensom voor, waarbij weer wordt vastgesteld dat Alice een opgave als 8 – 9 niet kan oplossen. Wellicht heeft dat met haar leeftijd van 7½ jaar (in Spiegelland) te maken, maar toch…

Commutatieve eigenschap van getallen

Uit hoofdstuk 1 van Wonderland komt het volgende fragment:

Heel duidelijk een voorbeeld naar aanleiding van een van de rekenregels voor getallen, de commutatieve eigenschap:
a + b = b + a voor alle getallen a en b met betrekking tot de bewerking optellen, bij de bewerking delen geldt deze eigenschap bijvoorbeeld niet:
a ÷ b ≠ b ÷ a voor alle getallen a en b.
Hier wordt de bewerking “eten” toegepast op de verzameling dieren. Deze commutatieve eigenschap zal in de Alice-boeken vaker ter sprake komen. Misschien karakteriseert dit fragment Carroll ook wel een beetje.  Hij pakte veel dingen op, ging ermee aan de slag, maar al snel verlegde hij (net als in het fragment Alice) zijn belangstelling naar een volgend onderwerp. Bij de gekke theevisite wordt deze commutatieve eigenschap nog verder uitgewerkt: Als de Maartse Haas haar zegt: “to say what she means”, she replies that she does, “at least I mean what I say – that’s the same thing”. “Not the same thing a bit!” says the Hatter. “Why, you might just as well say that ‘I see what I eat’ is the same thing as ‘I eat what I see’!” Carroll geeft hierbij impliciet aan dat hij de nieuwe rekenregels binnen die nieuwe abstracte algebra waarbij de commutatieve eigenschap ten aanzien van bijvoorbeeld vermenigvuldigen (a x b ≠ b x a) in sommige gevallen niet meer geldt, maar absurd vindt.[3]

Getalstelsels

Uit hoofdstuk 2 van Wonderland stamt de al eerdergenoemde vermenigvuldigingstabel. Het bijbehorende fragment is:

De grote vraag hierbij is natuurlijk: is dat zo en waarom lukt dat dan niet? En hier komt het meest besproken getal uit Carrolls werk opnieuw ter sprake. Niet voor het eerst trouwens in het eerste Alice-boek. De titelpagina van Alice in Wonderland vermeldt: met 42 illustraties door John Tenniel. Het boek begint dus met 42 en sommige lezers beweren zelfs dat het boek er ook mee eindigt als aan het eind van de abnormale rechtszaak het kaartspel op Alice af komt.[4] Weliswaar zitten er 52 kaarten in een kaartspel, maar de 10 schoppenkaarten werden als tuinlieden natuurlijk niet toegelaten bij deze rechtszaak, misschien ook omdat in hoofdstuk 8 de schoppenkaarten ook geen deel uitmaakten van de processie.

Elders is al genoeg geschreven over dit “Lewis Carroll-getal”, zeker ook omdat Douglas Adams in zijn boek The Hitchhiker’s Guide tot he Galaxy een computer, genaamd Deep Thought, liet construeren om deze te vragen het antwoord op de ultieme vraag over het Leven, het  Universum, en Alles te berekenen. Deze computer berekent gedurende een verloop van 7,5 miljoen jaar het antwoord: 42. Hierdoor ontstond weer een hele nieuwe boost over de hele wereld met betrekking tot het getal 42.  Ik zal me beperken tot een paar 42-achtige dingen in beide Alice-boeken, zonder enige pretentie daarbij “alles” mee te nemen.[5]

Terug naar de vermenigvuldigingstabel. Maar om die te doorgronden moet eerst de wisseling van de basis van ons getallenstelsel aan de orde komen. In ons basis-tientallig stelsel zijn 10 cijfers bekend, 0 t/m 9 en is de plaats van deze 10 cijfers in een getal bepalend voor de grootte van het getal. Verder is een getal opgebouwd uit machten van 10. Het grondtal is dus 10.
Bijvoorbeeld: 54321 = 5 x 104 + 4 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 1 x 100 (denk aan a0 =1 voor a ≠ 0).
In het zestien-tallig stelsel zijn 16 cijfers bekend, 0 t/m 9 en A t/m F, is wederom de plaats van de cijfers bepalend voor de grootte van het getal en is het getal opgebouwd uit machten van 16. Het grondtal is 16.
Bijvoorbeeld: D431 = D x 163 + 4 x 162 + 3 x 161 + 1 x 160 (met D het 13e cijfer in het 16-tallig stelsel).
Er geldt 5432110 = D43116.
Alice’s vermenigvuldigingstabel van de tafel van 4 gaat met de verschillende grondtallen binnen een getallenstelsel dus als volgt:
4 x   5 = 1218, namelijk 2010 = 1 x 18 + 2 in het 18-tallig stelsel
4 x   6 = 1321, namelijk 2410 = 1 x 21 + 3 in het 21-tallig stelsel
4 x   7 = 1424, namelijk 2810 = 1 x 24 + 4 in het 24-tallig stelsel t/m
4 x 12 = 1939, namelijk 4810 = 1 x 39 + 9 in het 39-tallig stelsel

Ontdek hierin de formule
Getal: 4 x n = eerste cijfer van getal x (3n + 3)1 + tweede cijfer van getal x (3n + 3)0. Als voorbeeld:
1424: 4 x 7 = 1 x (21 + 3)1 + 4 x (21 + 3)0

Dit uitwerken levert de onderstaande tabel op:

4 x

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

10-tallig

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

18-tallig

12

21-tallig

13

24-tallig

14

27-tallig

15

30-tallig

16

33-tallig

17

36-tallig

18

39-tallig

19

Maar nu moet ze, gedwongen door haar opgezette vermenigvuldigingstafel van vier, naar het 42-tallig stelsel via 52 = 4 x 13 = 2042(?), namelijk 2 x 421 + 0 x 420.
Dat lukt haar natuurlijk niet, omdat al 2 x 421 = 84, terwijl ze bij 52 moet uitkomen. Geen wonder dat Alice, voor zover ze in staat was dit bliksemsnel uit te rekenen, nooit bij 4 x ? = 20 zou kunnen uitkomen. Grondtal 42 is fataal en het hele systeem klapt in elkaar!

Echter, misschien had ze de andere kant op moeten gaan in haar vermenigvuldigingstafel van vier, dan moet gelden (met de formule van de vorige bladzijde in ons hoofd), voor welke n in de tafel van 4 is een basis-grondtalstelsel te vinden, zodat:

4 x n = 2 x (3n +3)1 + 0 x (3n + 3)0 

Dit uitwerken levert op:
4n = 6n + 6, oftewel n = -3 en het bijbehorende grondtal van dit stelsel is -6.

Laten we eens kijken of dit wat kan worden. We maken een nieuwe tabel, maar gaan nu de andere kant op, terug van het 18-tallig stelsel naar het 15-tallig stelsel en zo verder:

4 x

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

10-tallig

20

16

12

8

4

0

-4

-8

-12

18-tallig

12

15-tallig

11

12-tallig

10

  9-tallig

8

  6-tallig

4

  3-tallig

0

  0-tallig

?

 -3-tallig

1201

 -6-tallig

20

En inderdaad als Alice de andere kant op was gegaan met het opzeggen van de tafel van 4 was ze wel bij 20 uitgekomen. Immers 2 x (-6)1 + 0 x (-6)0 = 20-6.[6]
Grondtallen als 0 en negatieve getallen zijn natuurlijk ook in de huidige mathematische wereld betekenisloos. Het voorgaande is gewoon wat spielerei. Leuk toch!

Dat het met die 20 niet goed zit blijkt ook uit de opmerking van de Hartenkoning aan het eind van de rechtszaak als hij voor de twintigste keer aan de jury vraagt het vonnis te overwegen. Dat kan Wonderland niet aan, het systeem dat Wonderland bij elkaar houdt, stort bij het horen van iets dat te maken heeft met 20 in elkaar en verdween voor altijd. Was Alice nu toch maar bij het opzeggen van de tafel van 4 de andere kant opgegaan. Dan had de wereld veel langer kunnen genieten van de avonturen van Alice in Wonderland!

Afkeer getallen

Tijdens het eerste gedeelte van zijn tijd in Christ Church in Oxford moet Dodgson wiskunde-colleges geven aan vaak niet-gemotiveerde studenten. Veel studenten zagen een verblijf in Christ Church, het meest vervaarde college in Oxford, als opmaat voor een politieke loopbaan. De verplichte wiskunde zagen ze meer als een noodzakelijk kwaad om hun aspiraties waar te maken. De naar overlevering vaak saaie wiskundelessen van Dodgson werden daarbij als een extra handicap beschouwd. Deze onwillige studenten waren voor Dodgson een voortdurende ergernis. Hij was dan ook blij zijn taak als docent in 1881 te kunnen beëindigen. In bovenstaand fragment wordt dat ook duidelijk als de (lelijke) Hertogin haar afkeer van cijfers uitspreekt. Merk op dat bij verwisseling van de cijfers in 24 het getal 42 weer tevoorschijn komt.

[1] Gedurende het hele Victoriaanse tijdperk werden negatieve getallen als controversieel beschouwd. Hoewel negatieve getallen al door de Chinezen 200 jaar voor Christus, door de Indiërs 600 jaar na Christus, in het Midden-Oosten 800 jaar na Christus werden gebruikt, verschenen deze getallen pas ongeveer 1400 jaar na Christus in de Westerse wereld. De oude Grieken hielden zich voornamelijk met meetkunde bezig en gebruikten alleen maar positieve getallen als maten voor lengten, oppervlakten en inhouden. Ook in het beroemde boek van Leonardo van Pisa uit 1202, de Liber Abaci, de start van de algebra in de westerse wereld, bevatte geen negatieve getallen. In 1796 verscheen het boek: The principes of algebra door William Fred en Francis Misères met daarin: You may make a mark before one, which it will obey: it submits to be taken away from another number greater than itself, but to attempt to take it away from a number greater than itself is ridiculous. Yet this is attempted by algebraists, who talk of a number less than nothing, of multiplying a negative number into a negative number and thus producing a positive number of a number being imaginary. Het is duidelijk dat deze tegenstanders vasthielden aan de koppeling van een getal aan een hoeveelheid o.i.d., terwijl een getal op zich zonder koppeling aan iets, natuurlijk ook iets imaginairs is. Wat dat betreft is er geen verschil tussen een positief getal, een negatief getal of wat voor getal dan ook.
[2] De beroemde Engelse wiskundige G.H. Hardy (1877 – 1947) schreef aan het einde van zijn carrière in het prachtige boekje A Mathematician Apology (1940) het volgende citaat: Ik heb nooit iets “nuttigs” gedaan. Geen ontdekking van mij heeft ooit, direct of indirect, ten goede of ten kwade, het minste verschil gemaakt, of zal dat maken, voor het welzijn van de wereld. Zo beschreef hij de “nutteloosheid” van zijn vakgebied, de getaltheorie, niet vermoedende dat 50 jaar later zijn “nutteloze” getaltheorie overal ter wereld dagelijks wordt gebruikt in onder meer het versleutelen van data.
[3] Carroll geeft hierbij een verwijzing naar quaternionen, deze getallen vormen een uitbreiding van de complexe getallen, in 1843 geïntroduceerd door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton voor toepassingen binnen de mechanica en tegenwoordig onder meer gebruikt in robotarmen en koppelingen bij ruimtevaartuigen. Voor dit soort getallen geldt niet de commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen of optellen, dus a*b ≠ b*a. Dat heeft onder meer te maken met het feit dat rotaties in een 3-dimensionale wereld niet commutatief zijn.
[4] “Axioms cannot tolerate contradictions,” schreef Carroll in zijn boek Symbolic Logic. Dat geldt natuurlijk ook voor de Hartenkoningin met haar uitspraken. Contradicties in elk logisch of wiskundig systeem leiden tot chaos en instorting van het gehele systeem. Wiskundigen geven de voorkeur aan consistente en robuuste systemen.
[5] Ik kan het toch niet nalaten een van de laatste wiskundige feiten met betrekking tot het getal 42 te vermelden: Sinds de jaren vijftig van de vorige eeuw piekerden wiskundigen over de vraag of je bepaalde gehele getallen kunt schrijven als som van drie derdemachten van gehele getallen. Met andere woorden: als k een geheel getal is, zijn er dan ook gehele getallen te vinden voor x, y en z zodat geldt k = x3 + y3 + z3? Het getal 42 was tot voor kort het enige getal onder de 100, waar nog geen oplossing voor gevonden was, terwijl bekend was dat zo’n oplossing er wel moest zijn. Van sommige getallen onder de 100 (4, 5 en 13) weten we dat er geen oplossingen zijn! Maar met brute computerrekenkracht (400.000 samenwerkende computers) is nu bekend dat:
42 =  (-80.538.738.812.075.974)3 + 80.435.758.145.817.5153 + 12.602.123.297.335.6313
[6] Voor de liefhebber: 1201 = 1 x (-3)3 + 2 x (-3)2 + 0 x (-3)1 + 1 x (-3)0. Verder zijn natuurlijk negatieve getallen en het getal 0 als basis voor een getallenstelsel niet zo’n gelukkige keuze.

Lees verder

Lewis Carrolls logische diagrammen

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit artikel is het derde in een reeks over de logica van Lewis Carroll[1].
De eerste twee gingen over Lewis Carrolls belangstelling voor logica en over de stand van de logica in de tweede helft van de 19e eeuw[2].
Logica is de studie van methodes en principes om onderscheid te maken tussen geldige en niet geldige redeneringen. Bij redeneringen gaat het om het trekken van conclusies uit premissen, veronderstellingen.
In het vorige artikel hebben we gezien dat tot ver in de 19e eeuw de opvatting overheerste dat correcte redeneringen de vorm van een syllogisme moesten hebben met  twee premissen en een conclusie. Een voorbeeld:

  • Alle mensen zijn sterfelijk.
  • Alle Nederlanders zijn mensen.
  • Dus: alle Nederlanders zijn sterfelijk.

Elke van deze drie uitspraken heeft twee termen. Samen bevatten de drie uitspraken drie termen, waarvan er één niet voorkomt in de conclusie: de zgn. middenterm (‘mensen’ in ons voorbeeld). Deze wordt a.h.w. geëlimineerd en het elimineren van de middenterm is een essentiële stap bij onttrekken van informatie aan de premissen met als doel een conclusie te formuleren.
Ook toen in de symbolische logica een groter aantal premissen en een groter aantal termen werd gebruikt, bleef men het eliminatie-probleem zien als het centrale probleem in de logica, als essentieel onderdeel van het onttrekken van de juiste informatie aan de premissen.
Logici probeerden dit proces zoveel mogelijk te mechaniseren door het invoeren van eenvoudige bewerkingen die door herhaling tot het gewenste resultaat leiden. Ze deden dit vooral met behulp van symbolische, formele systemen. Daarbij hanteerden ze als uitgangspunt dat alle geldige redeneringen kunnen worden weergegeven als een opeenvolging van uitspraken in een of andere taal. Maar in dagelijkse leven beperken we ons bij redeneren niet tot uitspraken in een geschreven of gesproken taal: we hanteren ook andere hulpmiddelen, bijvoorbeeld  kaarten, plaatjes, grafieken en diagrammen.

Lewis Carroll heeft in zijn logische werken een systeem van logische diagrammen ontwikkeld om correcte redeneringen te mechaniseren. Deze diagrammen zijn het onderwerp van dit artikel[3].

Wat zijn logische diagrammen?

Er zijn veel soorten diagrammen. We komen ze tegen als ondersteuning bij analyses, als hulpmiddel bij brainstormen of als uitleg bij redeneringen. Met ‘logische diagrammen’ bedoelen we echter iets anders dan in deze voorbeelden. Bij logische diagrammen gaat niet om een hulpmiddel bij uitleg: de diagrammen vormen zelfstandig een logische redenering en fungeren daarmee als een eigen soort logische taal. Ze vormen een wezenlijk en legitiem onderdeel van een bewijs van de juistheid van een redenering.
In de symbolische logica, zoals we die tegenkwamen in het vorige artikel, zagen we in feite steeds de kenmerken van de geschreven natuurlijke taal terugkomen. Bij logische diagrammen is dat niet het geval; daar wordt een redenering ruimtelijk afgebeeld en de interpretatie van die afbeelding is afhankelijk van de ruimtelijke eigenschappen[4].

In de 18e en 19e eeuw was er veel waardering voor logische diagrammen. Dat hing samen met de ontwikkeling van de symbolische logica en het streven om logische analyses zoveel mogelijk te mechaniseren. In de 20e eeuw nam die belangstelling fors af. Dat laat zich verklaren uit de ontwikkeling van de mathematische logica, die ik kort heb beschreven in mijn vorig artikel. In de logica hecht men groot belang aan accuratesse en efficiëntie. De ontwikkeling van logica als grondslag van de wiskunde bracht rond de eeuwwisseling naar de 20e eeuw veel verrassingen met zich mee en die kwamen niet altijd van pas. Inconsistenties en contradicties staken de kop en daardoor kreeg nauwkeurigheid de hoogste prioriteit, anders gezegd: alles was gericht op het voorkómen van fouten. In deze context werden diagrammen met hun reputatie van misleiding niet serieus genomen.
Inmiddels is het imago van logische diagrammen verbeterd, met name door het gebruik van computers: naast nauwkeurigheid staat nu de efficiëntie van logische systemen hoog in het vaandel en dat heeft geleid tot hernieuwde aandacht voor logische diagrammen, niet alleen voor analyse maar ook voor formele bewijzen. De opvatting dat logische diagrammen misleidend zouden zijn, berust overigens op een misverstand: een degelijk formeel systeem op basis van diagrammen laat geen ruimte voor verkeerde interpretaties[5]. Overigens worden diagrammatische en symbolische methoden regelmatig gecombineerd en daardoor is het niet altijd mogelijk ze volledig te scheiden.

Figuur 1

Figuur 2

Figuur 3

Figuur 4

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

Figuur 9

Figuur 10

Figuur 11

Figuur 12

Figuur 13

Figuur 14

Figuur 15

Figuur 16

Figuur 18

Figuur 19

Figuur 20

Logische diagrammen vóór Lewis Carroll

De eerste  serieuze studie van de analyse van logische uitspraken met behulp van diagrammen vinden we bij Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De populariteit van diagrammen in de 18e en 19e eeuw is echter te danken aan het werk van de Zwitser Leonhard Euler uit 1768.
Ten tijde van Euler namen syllogismen een centrale plaats in de logica in. Syllogismen bestaan uit categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen. In het voorbeeld in de inleiding zijn dat drie verzamelingen: de verzameling mensen, de verzameling Nederlanders en de verzameling van alles wat sterfelijk is. Euler bedacht een systeem om uitspraken over verzamelingen voor te stellen met behulp van cirkels.
In figuur 1 zien we zijn voorstelling van de verzameling x, d.w.z. de verzameling van alle dingen met eigenschap x.
Door het gebruik van twee cirkels kan hij de relaties tussen twee verzamelingen weergeven. Omdat deze cirkels  elkaar omvatten, doorsnijden of uitsluiten, corresponderen ze met logische uitspraken:

  • Alle x zijn y:                              figuur 2
  • Geen x is y:                              figuur 3
  • Sommige x zijn y:                    figuur 4
  • Sommige x zijn niet y:            figuur 5

Dit is een relatief eenvoudig systeem, maar die eenvoud brengt ook complicaties en dubbelzinnigheden met zich mee. De afbeelding in figuur 2 van ‘Alle x zijn y’ sluit bijvoorbeeld de mogelijkheid uit dat de verzamelingen x en y identiek zijn, terwijl dat wel degelijk een optie is wanneer alle x ook y zijn. In dat geval zouden de beide cirkels samenvallen. Je hebt dus eigenlijk meer dan één afbeelding nodig voor de weergave van deze uitspraak. Ook voor de uitspraak ‘Sommige x zijn niet y’ zijn meerdere diagrammen noodzakelijk. Maar een dergelijke oplossing, d.w.z. meerdere diagrammen bij één uitspraak, gaat wel ten koste van de charme van de intuïtieve eenvoud.

In 1880 introduceerde John Venn een nieuw systeem, vooral omdat hij ontevreden was over Eulers diagrammen. Hij gebruikte ook cirkels, maar op een geheel andere manier.
Euler tekende de cirkels om direct in zijn diagram de feitelijke relatie tussen de verzamelingen weer te geven. Venn gebruikte ook cirkels voor verzamelingen maar hij tekende een basis-diagram dat alle mogelijkheden weergeeft.
In figuur 6 zien we bijvoorbeeld het basisdiagram voor twee verzamelingen x en y. Hierin vind je alle mogelijke deelverzamelingen die staan voor de mogelijke relaties tussen de verzamelingen x en y. In Venns notatie:

x y                      zowel x als y               de ruimte die de cirkels x en y gemeen hebben

x niet-y              wel x maar niet y        het deel van cirkel x dat geen deel uitmaakt van y

niet-x  y             niet x maar wel y        het deel van cirkel y dat geen deel uitmaakt van x

niet-x niet-y      niet x en niet y            de ruimte buiten de beide cirkels

Het diagram laat alle mogelijkheden zien, maar zegt daarmee nog niets over de feitelijke relatie tussen x en y. Om die feitelijke relatie weer te geven gebruikte Venn extra hulpmiddelen en met name arcering. Zo kon hij de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weergeven door het compartiment x niet-y te arceren om aan te geven dat dit compartiment leeg is en dat er dus geen x is die niet y is (zie figuur 7).

Deze figuren en voorbeelden betreffen diagrammen met twee termen. Maar de standaardvorm van logische problemen voor Euler en Venn was het syllogisme en dat bevat drie termen.
Om te checken of een gegeven syllogistische vorm (twee premissen en een conclusie) geldig is, moet men de informatie die de twee premissen bevatten, in een diagram weergeven en vervolgens controleren of de informatie uit de conclusie ook verschijnt in het diagram. Overigens kan het diagram meer informatie bevatten dan de conclusie in kwestie.

Het volgende voorbeeld laat zien hoe dat in zijn werk ging bij Euler.

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y
  • Dus: Alle x zijn y.

Dit syllogisme kunnen we in Eulers diagrammen als volgt weergeven (zie figuur 8): de cirkel van verzameling x wordt geheel omsloten door de cirkel van verzameling m die op zijn beurt weer wordt omsloten door de cirkel van verzameling y. Dan wordt de cirkel van verzameling x geheel omsloten door de cirkel van verzameling y en is de conclusie juist.
Dit ziet er eenvoudig en intuïtief uit. Maar het is in feite een simplificatie en inperking van de werkelijkheid. Want de mogelijkheid dat x en y geheel samenvallen blijft buiten beschouwing, evenals de mogelijkheid dat m en y geheel samenvallen of x, m en y alle drie.
Het wordt nog ingewikkelder wanneer sprake is van particuliere uitspraken, zoals ‘Sommige x zijn y’. Daarbij neemt het aantal mogelijke situaties verder toe en dus neemt de bruikbaarheid van Eulers diagrammen af.

De diagrammen van Venn zijn handiger bij het controleren van syllogismen. Voor hetzelfde voorbeeld tekenen we hier een basisdiagram voor drie verzamelingen: x, m en y: zie figuur 9. We arceren in cirkel x alles wat buiten cirkel m ligt (‘Alle x zijn m’), en in cirkel m alles wat buiten cirkel y ligt (‘Alle m zijn y’). Het resterende, niet gearceerde compartiment van x ligt dan inderdaad zowel in de cirkel m als de cirkel y en alle x is dan inderdaad y.
Hier staat wel tegenover dat Venns diagrammen minder eenvoudig zijn dan die van Euler: ze  vragen wat meer oefening. En nu hebben we alleen nog maar de juistheid van syllogismen gecheckt. Via deze diagrammen moet het ook mogelijk zijn om zelf de conclusie uit de premissen te ontdekken, maar dat vraagt uiteraard nog meer ervaring in het werken met de diagrammen.

Venn beoogde met zijn diagrammen een verbetering ten opzichte van Euler om er ook complexe logische problemen mee te kunnen oplossen. We moeten echter constateren dat zich ook bij het gebruik van Venns diagrammen een aantal problemen voordoet.

Het eerste probleem betreft diagrammen voor sorites, d.w.z. redeneringen waarin meer dan twee premissen voorkomen en dus meer dan drie termen. Venn was een navolger van Boole en had veel aandacht voor het eliminatie-probleem, niet alleen bij traditionele syllogismen maar ook bij sorites. Hij wilde zijn diagrammen hiervoor dus ook gebruiken.
Bij vier termen (drie premissen) stuiten we op het probleem dat het niet mogelijk is om met cirkels alle vereiste doorsnijdingen te krijgen. Venn verving de cirkels daarom door ellipsen, zoals weergegeven in figuur 10.
Maar bij vijf termen (vier premissen) werkt dat al niet meer. Daarvoor introduceerde Venn een ‘annulus’ in combinatie met de ellipsen, een meetkundige ring, een soort kraag, zie figuur 11.
Venn was van mening dat diagrammen geen waarde hadden voor logische problemen met meer dan vijf termen. Niettemin was het volgens hem in principe wel mogelijk om ook deze problemen met diagrammen op te lossen. Hij gaf enkele algemene aanwijzingen hoe zijn systeem daartoe zou kunnen worden uitgebreid, doch heeft dat zelf niet uitgewerkt.[6]

Een tweede probleem is de vraag hoe om te gaan met particuliere uitspraken: ‘Sommige x zijn y’ en ‘Sommige x zijn niet-y’. Venn had hier, evenals Euler, problemen mee en hij heeft daar zelf geen bevredigende oplossing voor gevonden.
Wanneer we te maken hebben met universele uitspraken (zoals ‘Alle x zijn y’), geven we deze in een diagram weer door het compartiment dat leeg is (namelijk dat van alle dingen met eigenschap x die niet y zijn) te arceren. Maar bij particuliere uitspraken werkt dat arceren niet: dan moet je aangeven welk compartiment gevuld is met tenminste één ding met de betreffende eigenschap. Maar dat zal meestal niet beperkt zijn tot één compartiment, en het is dan of het ene óf het andere compartiment. Dat vraagt in Venns systeem om meerdere diagrammen. Ook hiervoor zijn overigens later door anderen oplossingen bedacht[7].

Een derde probleem betreft negatieve termen, zoals niet-x. In feite zijn deze bij Venn onbepaald: in zijn diagrammen is het de ruimte buiten de cirkel x en die ruimte is oneindig. Het is daardoor niet mogelijk om de uitspraak ‘Alle niet-x zijn y’ grafisch weer te geven. Want de verzameling ‘alle niet-x’ beslaat de gehele ruimte buiten de cirkel x (oneindig dus) en die kan slechts worden omvat door een andere cirkel y als die ook oneindig is.
Om dit probleem op te lossen is het begrip ‘Universe of Discourse’ geïntroduceerd, hier vertaald als ‘beschouwingsgebied’: de totale verzameling van alle dingen waar we het over hebben. Dat kunnen alle denkbare dingen zijn, maar ook bijvoorbeeld alle mensen, of  alle boeken. Het idee erachter is afkomstig van De Morgan (1846): hij verwierp het onbepaalde karakter van negatieve termen en definieerde de omvang van niet-x als het complement van x: x en niet-x vullen samen het universum. Dus wanneer bijvoorbeeld het universum alle boeken betreft, vullen de Nederlandse en niet-Nederlandse boeken samen het universum of beschouwingsgebied.
De term ‘Universe of Discourse’ komt van Boole (1854) en de meeste navolgers van De Morgan en Boole maakten gebruik van dit begrip[8]. Venn deed dit echter niet: hij gaf het beschouwingsgebied niet weer in zijn diagrammen. Dat kan overigens relatief eenvoudig worden toegevoegd in de vorm van een cirkel of vierkant, waarbinnen het diagram, zoals het tot nu toe gebruikt was, geplaatst wordt.

Carrolls diagrammen

Logische diagrammen vormen een belangrijk element in het logische werk van Lewis Carroll. Hij bedacht een eigen systeem dat hij voor het eerst beschreef in The Game of Logic in 1886 en verder uitwerkte in Symbolic Logic (1896).
In The Game of Logic presenteerde Carroll zijn diagram als een spel, niet omdat logica een spel is maar omdat hij hoopte door de eenvoud van de presentatie een zo groot mogelijk publiek te bereiken. Bij het boek werden een bord en fiches geleverd. Een eenvoudige inleiding in het Nederlands tot het bordspel van The Game of Logic is te vinden in het tijdschrift Wauwelwok van het Lewis Carroll Genootschap in de jaren ‘70[9].

Evenals Venn onderscheidt Carroll in zijn diagrammen twee stappen: eerst presenteert hij een grafische afbeelding van verzamelingen om vervolgens in die afbeelding met extra hulpmiddelen logische uitspraken weer te geven.
Maar er zijn duidelijke verschillen met het systeem van Venn. In feite lost Carroll met zijn diagrammen de bij Euler en Venn gesignaleerde problemen op. Het is overigens niet duidelijk of hij zijn diagrammen daadwerkelijk heeft bedoeld als verbeteringen van Venns diagrammen, dan wel dat hij ze zelf onafhankelijk heeft bedacht. Er is geen aanwijzing dat Carroll bekend was met het werk van Venn toen hij zijn diagrammen ontwikkelde. In The Game of Logic wordt Venn niet genoemd. De eerste vermelding van Venn in Carrolls werken is te vinden in een appendix bij Symbolic Logic, waarin hij zijn eigen (toen reeds ontwikkelde) diagrammen vergeleek met die van Venn[10].

Carrolls diagrammen zijn vierkant: het universum of beschouwingsgebied wordt dus als  vierkant voorgesteld. Dat heeft een duidelijk voordeel ten opzichte van cirkels: bij een gebruik van meerdere termen is het eenvoudig om een symmetrische verdeling van het universum te maken. Dat geldt voor de verdeling tussen verschillende termen als x en y, maar ook voor de verdeling tussen x en niet-x.

Voor twee termen verdeelde Carroll het vierkant in vier compartimenten, ‘kwartieren’, zoals in  figuur 12 voor de termen x en y. Carroll noemde dat een ‘biliteral’, tweeletterig diagram.

In de figuren maak ik nu gebruik van Carrolls notatie:

  • x’ staat voor niet-x;                   y’ staat voor niet-y;
  • xy staat voor x en y;                 xy’ staat voor x en niet-y;
  • x’y staat voor niet-x en y;        x’y’ staat voor niet-x en niet-y.

Wanneer we dit uitwerken voor de termen ‘groen’ en ‘eetbaar’ dan kunnen we een door ons beschouwd universum (bijvoorbeeld: vruchten) indelen als weergegeven in figuur 13. Dankzij het vierkante universum is hier dus sprake van volledige symmetrie voor x en y, maar ook voor x en niet-x.

Voor drie termen, x, y en m, voegde Carroll in zijn diagram in het midden een kleiner vierkant toe om zo acht compartimenten (‘cellen’) te krijgen: zie figuur 14.

Hiermee heeft hij dus verzamelingen afgebeeld. Om uitspraken weer te geven, had hij extra hulpmiddelen nodig. In The Game of Logic gebruikte Carroll hiervoor grijze en rode fiches, in Symbolic Logic verving hij deze door ‘0’ en ‘I’. Een grijze fiche of ‘0’ betekent dat een compartiment leeg is, een rode fiche of  ‘I’ dat het bezet is.
Om de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weer te geven moet men een ‘0’ plaatsen in het compartiment x niet-y (dat dus leeg is) en een ‘I’ in het compartiment xy (dat bezet is): dit heb ik weergegeven in figuur 15.

Maar wat te doen met ‘Sommige x zijn m’? We hebben gezien dat dit soort uitspraken bij Euler en Venn niet eenvoudig waren weer te geven. ‘Sommige x zijn m’ betekent dat in figuur 14 xym bezet is, of xy’m bezet is, of beide. Om hier zorgvuldig mee om te gaan bedacht Carroll de volgende oplossing: hij plaatste het symbool ‘I’ op de grens tussen beide compartimenten, xym en xy’m: zie figuur 16.

Om de conclusie van de twee premissen van een syllogisme te checken of te vinden, volgde Carroll een procedure die vergelijkbaar is met Venn.

Neem bijvoorbeeld de premissen:

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y

We geven de informatie uit de premissen weer in een drieletterig (triliteral) diagram (zoals figuur 14) en dat levert de hieronder weergegeven figuur 17a.
Immers:
De eerste premisse (‘Alle x zijn m’) impliceert;

  • xym (d.w.z. x en y en m) is bezet OF
  • xy’m (d.w.z. x en niet-y en m) is bezet.

Daarnaast zijn de beide compartimenten met zowel x als niet-m leeg, dus zowel xym’ (d.w.z. x, y, niet-m) als xy’m’ (d.w.z. x, niet-y, niet-m).
Voor de tweede premisse geldt hetzelfde maar dan voor m en y.

Gegeven het feit dat xy’m leeg is en dat ofwel xym of xy’m bezet is kan het diagram worden vereenvoudigd, zoals weergegeven in figuur 17b.
Dit diagram kunnen we nu nog verder vereenvoudigen. Bij Venn moest de conclusie direct uit het drieletterige diagram worden getrokken, Carroll vertaalde het eerst in een tweeletterig diagram waarbij hij de middelterm (m) elimineerde en alleen de twee termen overhield die in de conclusie verschijnen.

Hierbij gebruiken we de regels die Carroll heeft geformuleerd in Symbolic Logic[11] en we geven het resultaat weer in figuur 17c.

Regel A. Als een kwartier van het drieletterig diagram een ‘I’ bevat in een van de cellen, dan is dat kwartier hoe dan ook bezet, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘I’ om aan te geven dat het bezet is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier links-boven in het tweeletterig diagram bevat een ‘I’.

Regel B. Als het kwartier van het drieletterig diagram twee ‘0’-s bevat, één in elke cel, dan is het zeker leeg, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘0’ om aan te geven dat het leeg is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier rechtsboven in het tweeletterig diagram bevat een ‘0’.

Over de andere twee kwartieren kunnen we niets weten.
Op deze wijze krijgen we figuur 17c, het tweeletterig diagram voor de termen x en y met als conclusie: xy, ofwel: Alle x zijn y.

Figuur 17a

Figuur 17b

Figuur 17c

Kijkend naar de drie problemen van de Venn-diagrammen, hebben we nu gezien hoe Carroll omgaat met particuliere uitspraken (‘Sommige x zijn y’) en hoe hij negatieve termen (‘niet-x’) behandelt.
Van de drie bij Venn gesignaleerde complicaties resteert er nog één: hoe om te gaan met de grafische voorstelling voor redeneringen met vier of meer termen (sorites)?
In Symbolic Logic geeft Carroll vele voorbeelden van sorites met drie of meer premissen. Hij ontwierp ook diagrammen voor vier termen en in zijn systeem blijven deze zonder meer overzichtelijk, zie figuur 18. Met vijf termen had hij meer problemen; daarvoor gebruikte hij diagonale lijnen in zijn vierletterig diagram, zoals weergegeven in figuur 19. Maar hij ging nog verder, zoals we bijvoorbeeld kunnen zien in figuur 20, dat zijn diagram voor zes termen bevat.
Dankzij de wijze waarop hij het universum weergeeft en de symmetrie van zijn afbeeldingen zijn Carrolls diagrammen eenvoudig en regelmatig en daardoor bij een toenemend aantal termen beter hanteerbaar dan die van Venn. De eerlijkheid gebiedt wel hier te vermelden dat Carroll nergens in zijn logische werken zijn diagrammen gebruikte om een probleem met meer dan drie termen op te lossen. In zijn teruggevonden aantekeningen zijn hier wel enkele voorbeelden van te vinden[12].

Maar Carrolls diagrammen hebben ook een eigen complicatie. Dat hangt samen met het probleem van ‘existential import’: dat is de vraag of een algemeen bevestigende uitspraak (ook wel ‘A-uitspraak’ genoemd, zoals ‘Alle x zijn y’) impliceert dat er ook daadwerkelijk een x is die y is, d.w.z. de particuliere uitspraak, of ‘I-uitspraak’ ‘Sommige x zijn y’ impliceert.
Een voorbeeld: als de uitspraak ‘Alle eenhoorns zijn groen’ waar is, betekent dit dat er dan ook echt een groene eenhoorn is? Of is het voldoende dat er geen eenhoorn wordt gevonden die niet groen is? In de laatste optie is het dus niet relevant of er eenhoorns bestaan.
We hebben gezien dat voor Carroll de uitspraak ‘Alle x zijn y’ gelijkwaardig is aan de combinatie van ‘Sommige x zijn y’ en ‘Geen x is niet-y’. Dat betekent dat Carroll van mening is dat niet alleen I-uitspraken (‘ Sommige x zijn y’) maar ook A-uitspraken (‘Alle x zijn y’) impliceren dat er daadwerkelijk een x bestaat die y is, m.a.w. dat ze het bestaan van het subject bevestigen. In ons voorbeeld impliceert ‘Alle eenhoorns zijn groen’ dus dat er daadwerkelijk een eenhoorn bestaat die groen is. Dit is in lijn met de opvatting van Aristoteles, maar in het midden van de 19e eeuw werd het onder invloed van Boole en Venn steeds gebruikelijker om te ontkennen dat A-uitspraken het bestaan van het subject impliceren. Ook in de hedendaagse logica is dat de gangbare opvatting.
Carroll verdedigde zijn standpunt door het te beschouwen als een kwestie van “convenience”. In zijn ogen kan iedere schrijver zijn eigen regels bepalen, mits deze intern consistent zijn met zichzelf en consistent met de geaccepteerde logische feiten[13].
Het valt niet uit te sluiten dat Carroll later van standpunt veranderde m.b.t. de existential import van A-uitspraken, zoals moge blijken uit enkele privé geschriften (dagboek, brief)[14].

De impact van Carrolls logische diagrammen

We hebben gezien dat Carrolls diagrammen enkele duidelijke voordelen hebben boven die van Venn. Dit betreft vooral de wijze waarop Carroll het universum of het beschouwingsgebied weergeeft en het relatieve gemak waarmee men met zijn systematiek diagrammen voor meer dan vier termen kan construeren. Ook is zijn gebruik van bord en fiches aantrekkelijk: men hoeft niet telkens een nieuw diagram te tekenen en de fiches kunnen er direct op geplaatst worden; dit heeft duidelijk pedagogische voordelen. Centraal in Carrolls logische werk staat zijn streven naar popularisering, de promotie van de logica, en zijn diagrammen zijn hier een duidelijk voorbeeld van.

Carrolls diagrammen zijn bekend bij zowel logici als historici van de logica en ze worden ook genoemd in overzichtswerken over diagrammen zoals dat van Gardner[15]. Maar alhoewel Carrolls diagrammen niet alleen door hemzelf maar ook door diverse andere auteurs superieur worden genoemd t.o.v. die van Venn, worden ze, in tegenstelling tot de Venn-diagrammen, zelden gebruikt. Slechts incidenteel vormen ze een wezenlijk onderdeel van een logica-leerboek. De volgende voorbeelden zijn mij bekend.
C.I. Lewis [1960] gebruikt bij zijn uitleg van logische relaties tussen verzamelingen diagrammen van zowel Venn als Carroll en noemt die van Carroll “the most convenient[16]
Wanneer P.T. Geach [1976] uitleg geeft over het gebruik van diagrammen om de geldigheid van redeneervormen te checken, gebruikt hij zowel Venns als Carrolls diagrammen maar geeft aan dat de laatste veel handiger zijn bij gebruik van meer dan drie termen[17].
Richard Purtill [1971] gebruikt bij de behandeling van het syllogisme en de verzamelingenleer Carrolls diagrammen, omdat hij ze duidelijker en praktischer vindt dan andere diagrammen[18].
Humphrey Palmer heeft in een interne publicatie van University College Cardiff een cursushandleiding Argumentatie ontwikkeld. Hij zegt zich hierbij te baseren op een systeem dat ontwikkeld is door Lewis Carroll (“alias Nathaniel Dodgson”)[19]. Hij gebruikt de vierkante diagram-indeling uit The Game of Logic, maar ziet zonder verklaring af van de omtrek van het vierkant dat de Universe of Discourse aangeeft. Bij de behandeling van argumenten met drie termen tekent hij niet, zoals Carroll, een kleiner vierkant binnen zijn diagram maar gebruikt hiervoor een cirkel.

In logica-leerboeken komt men wel vaak aan Carroll ontleende amusante voorbeelden tegen van syllogismen en sorites, meestal met bronvermelding. Zo ook in het veel gebruikte leerboek van Irving Copi (dat ik ken uit mijn eigen studententijd)[20] en dat van Howard Kahane.
Het feit dat zijn voorbeelden populairder zijn dan de systematiek van zijn diagrammen is wellicht een indicatie voor een bredere verklaring voor het beperkte gebruik van zijn diagrammen. Zoals ik beschreef in mijn eerste artikel[21], zit Carrolls bekendheid als auteur van de Alice-boeken zijn status als logicus enigszins in de weg: zijn diepgang als logicus zou beperkt zijn, hij zou logica slechts als spel zien en/of hij zou zijn logica slechts bedoeld hebben voor kinderen. Zijn amusante voorbeelden liggen echter in het verlengde van zijn literaire werk en trekken daarom de aandacht. Daarbij komt dat de systematiek van logische diagrammen überhaupt leed onder afnemende belangstelling, vanwege de opkomst van de mathematische logica in het begin van de 20e eeuw.
Wellicht brengt de recent weer toenemende interesse voor diagrammen ook een bredere erkenning voor dat aspect van Carrolls logica met zich mee.

 

 Voetnoten

[1] Belangrijke bronnen voor zit artikel zijn Moktefi 2002 en  Moktefi & Shin 2012, 2013b. De afbeeldingen 10 en 11 zijn overgenomen uit Edwards 2004, de afbeeldingen 15 t/m 20 uit Moktefi & Shin 2012.
[2] Zie Savenije 2019a en 2019b.
[3] Zoals de meeste logici uit zijn tijd, besteedde Carroll veel aandacht aan het eliminatie-probleem. Hij had vier methoden voor de oplossing van het eliminatieprobleem. In Symbolic Logic Part I is dat behalve de diagrammen zijn method of underscoring, in Symbolic Logic Part II de method of trees en de method of barred premises, een uitbreiding van de method of underscoring.
De method of trees is onderwerp van mijn volgend artikel. De method of underscoring laat ik verder buiten beschouwing. Hij hangt nauw samen met de specifieke notatie die Lewis Carroll in zijn logica gebruikte en die verder geen navolging heeft gevonden.
[4] Greaves 2002, Moktefi & Shin 2012.
[5] Zie Shin 1995.
[6] Anderen hebben daar wel uitwerkingen voor gegeven in de vorm van enige aanpassingen van Venn’s oorspronkelijke systeem, zie bijvoorbeeld Edwards 2004.
[7] Zie Moktefi & Pietarinen 2015 waarin met name de verbeteringen worden besproken die de Amerikaan C.S. Peirce in 1903 heeft aangebracht in de Venn-diagrammen.
[8] De eerste diagrammatische representatie van the universe of discourse wordt vaak aan Carroll toegeschreven, maar we zien deze al eerder bij Alexander Macfarlane [1879, p.23].
[9] Klieb & van de Kamer 1977.
[10] Carroll 1896, p.176.
[11] Carroll 1896, p.53.
[12] Moktefi 2008, p.479-480.
[13] Carroll 1896, p.166.
[14] Bartley 1986, pp.34-35 en Abeles 2005 p.45.
[15] Zie Gardner 1958.
[16] Zie Lewis 1960, p.180.
[17] Geach 1976, p.59.
[18] Purtill 1971, p.138.
[19] Palmer 1979, p.2.
[20] Ter illustratie een voorbeeld (Copi 1968, p.198):
“Translate (…) the following sorites into standard form, and test its validity:

  1. Babies are illogical.
  2. Nobody is despised who can manage a crocodile.
  3. Illogical persons are despised.
    Therefore babies cannot manage crocodiles.”

[21] Savenije 2019a.

Literatuur

Abeles, Francine, 2005, ‘Lewis Carroll’s Formal Logic’, History and Philosophy of Logic, Vol. 26, No. 1, pp.33-46.

Bartley,  William Warren III, 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: Clarkson N. Potter.

Carroll, Lewis, 1886, The Game of Logic, London: Macmillan.

Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, London: Macmillan.

Copi, Irving, 1968, Introduction to Logic, London: The Macmillan Company.

Edwards, A.W.F., 2004, Cogwheels of the Mind. The Story of Venn Diagrams, Baltimore/Londen: Johns Hopkins University Press.

Euler, Leonhard, 1768, Lettres à une Princesse d’Allemagne, St. Petersburg. Vertaald door H. Hunter, Letters to a German Princess, London, 1795.

Gabbay, Dov & John Woods (eds.), 2008,  The Handbook of the History of Logic, Volume 4: British Logic in the Nineteenth Century,  Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gabbay, Dov, Francis Jeffry Pelletier & John Woods (eds.), 2012, Handbook of the History of Logic, Volume 11: Logic: A History of its Central Concepts, Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gardner, Martin, 1958, Logic Machines and Diagrams, The University of Chicago Press.

Geach, Peter, 1976, Reason and Argument, Oxford: Basil Blackwell.

Greaves, Mark, 2002, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford, California: CSLI Publications.

Kahane, Howard, 2012, Logic and Philosophy. A Modern Introduction, 12th edition. Boston: Wadsworth.

Klieb, Leslie & Rolf van de Kamer, 1977, ‘De mondharp in het logische orkest. Een inleiding tot Lewis Carroll’s logica’, Wauwelwok, Vol. 1, pp.16-20, zie ook https://lewiscarrollgenootschap.nl/wp-content/uploads/2016/07/Wauwelwok-1.pdf.

Lewis, C.I., 1960, A Survey of Symbolic Logic, New York: Dover Publications.

Macfarlane, Alexander, 1879, Principles of the Algebra of Logic,  Edinburgh: David Douglas.

Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-505.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2012, ‘The History of Logic Diagrams’, in Gabbay , Pelletier & Woods 2012, pp.611-682.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin (eds.), 2013a, Visual Reasoning with Diagrams, Basel: Birkhäuser.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2013b, ‘Preface’ in Moktefi & Shin (eds.) 2013a, pp.v-xiv.

Moktefi, Amirouche & Ahti-Veikko Pietarinen, 2015, ‘On the Diagrammatic Representation of Existential Statements with Venn Diagrams’, Journal of Logic, Language and Information, Vol. 24, No. 4, pp.361-374.

Palmer, Humphrey, 1979, Arguing for Beginners. A Fresh Approach to Reasoning by Lewis Carroll’s Diagrams, Park Place Papers No. 5, University College Cardiff, Department of Extra-Mural Studies.

Purtill, Richard L., 1971, Logic for Philosophers, New York: Harper & Row.

Savenije, Bas, 2019a, ‘Lewis Carrolls belangstelling voor logica’, Phlizz, september 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/09/27/lewis-carrolls-belangstelling-voor-logica/.

Savenije, Bas, 2019b, ‘De logicus Lewis Carroll in de context van zijn tijd: de ontwikkeling van de symbolische logica’, Phlizz, december 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/12/31/de-logicus-lewis-carroll-in-de-context-van-zijn-tijd-de-ontwikkeling-van-de-symbolische-logica/.

Shin, Sun-Joo, 1995, The Logical Status of Diagrams, Cambridge University Press.

Venn, John, 1880, ‘On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings’, Philosophical Magazine, Vol. 10, pp.1-18.

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen over beide Alice-boeken, deel 1

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Achtergrond

Toen ik eind jaren zestig wiskunde studeerde in Leiden had ik nog nooit van Lewis Carroll gehoord. Als veellezer in mijn jeugd kende ik ongetwijfeld wel het “sprookje” Alice in Wonderland, maar een meisjesnaam in de titel schrikte mij in die tijd al bij voorbaat af. Nee, jongensboekenseries als Arendsoog, Bas Banning, Pim Pandoer, Old Shatterhand en de hele Bob Evers serie van Willy van der Heide spraken mij veel meer aan. Ook in het voortgezet onderwijs is de link Carroll/Alice mij ontgaan.
Bij een van mijn vele boekstrooptochten in de eerste jaren van mijn Leidse studietijd viel mijn oog op de vierde druk uit 1966 van een Nederlandse Alice-vertaling: “De Avonturen van Alice in Wonderland en Spiegelland” door Reedijk en Kossmann. Op de achterkant stond een korte omschrijving van de auteur, lector aan de Universiteit te Oxford, maar bij het doorbladeren van het boek stond achterin onder het kopje “Ter oriëntatie” een toevoeging dat deze Lewis Carroll allerlei geschriften over wiskundige onderwerpen had geschreven. Kortom een “wiskundige” als sprookjesschrijver. Dat verbaasde mij in hoge mate. Ik verkeerde tijdens mijn studie in een zeer wiskundige, tegenwoordig misschien ietwat nerderige omgeving en heel naïef vond ik dit “harde” decor nu niet de meest ideale vorm waarin een bèta een “zacht” sprookje zou kunnen schrijven. Maar ik was genoeg geïntrigeerd om het boek te kopen, niet beseffend dat dit boek de opzet zou vormen tot een huisje vol Carroll-boeken. Na lezing bekroop mij toch het gevoel iets te missen. Er valt namelijk niet aan te ontkomen dat een wiskundige bij het schrijven van een boek zijn achtergrond als professional niet meeneemt bij dit proces. En dat viel mij bij eerste lezing een beetje tegen. Dat ik daar niet de enige in was bleek veel later, toen ik de hand legde op een rede uit 1950 van O. Bottema[1] onder de titel Euclides in Wonderland, waar hij een halve pagina wijdde aan de wiskundige Dodgson en zijn protegé Alice. Ik citeer een zin daaruit:
“Er komt weinig wiskunde in voor, al zal de deskundige lezer in de veranderingen, die de kleine Alice door de toverdrank ondergaat, gemakkelijk gelijkvormigheidstransformaties en affiniteiten herkennen.”

Een paar weken na die eerste aanschaf bracht ik rust in mijn onrust door in een tweedehandsboekenzaak een Engelse AIice-versie uit 1945 met illustraties van Robert Högveldt te kopen en werd ik tegelijkertijd opmerkzaam gemaakt op een geannoteerde Alice door Martin Gardner, mij welbekend als columnist van het Amerikaanse maandblad Scientific American[2]. Dat laatste boek uit 1960 zorgde, na aanschaf en lezing[3], voor een enorme boost om alle mogelijke (niet)-Nederlandse vertalingen van beide Alice-boeken te gaan verzamelen om daarmee een hele datalijst te gaan aanleggen van (vertaalde) getallen en (vertaalde) wiskundige verwijzingen binnen beide Alice-boeken. Martin Gardner was de eerste die wat meer de diepte in ging met zijn analyse van eventuele wiskundige verwijzingen in beide Alice-boeken. Na lezing van dit boek was ik verkocht. Ik was geraakt en ben nog steeds getriggerd door de vele (on)vermoede wiskunde-verwijzingen in beide Alice-boeken. Ik verkeer nu in de overtuiging dat zijn professionele achtergrond als wiskundige noodzakelijk was om beide Alice-boeken in deze vorm te schrijven en daardoor mede hebben gezorgd voor een wereldwijde belangstelling.

Vooraf moet wel gezegd worden dat Dodgson geen typische wiskundige was in zijn tijd. Hij schreef geen artikelen in wiskundige tijdschriften, bezocht ook geen wiskundige bijeenkomsten en nam meestal geen deel aan gebruikelijke wiskundige activiteiten. Hij beschouwde zichzelf meer als wiskundedocent dan als een echte wiskundige. Dat neemt niet weg dat hij enige expertise had over enkele topics als Euclidische meetkunde, determinanten[4] en symbolische logica. Ook is duidelijk dat hij meer een einzelgänger in de wiskundige wereld was, voortgestuwd door zijn onbuigzame, fanatieke en interne motivatie van logica en bewijsvoering ten aanzien van de klassieke meetkunde en zijn voorliefde voor het maken en oplossen van puzzels.
Door middel van een aantal wiskundige bespiegelingen over beide Alice-boeken wordt in dit artikel ook iets duidelijker hoe de wiskunde in de 19e eeuw zich heeft ontwikkeld, niet alleen als toepassingsgericht vak ter ondersteuning van voornamelijk de natuurkunde, maar ook langzamerhand als autonoom vak met een diepgaander onderzoek naar de grondslagen van wiskunde, met als gevolg een hoger abstractieniveau.

Bijna 10 jaar geleden verscheen het volgende artikel in het tijdschrift New Scientist van Melanie Bayley:[5]
Alice’s adventures in algebra: Wonderland solved
Het artikel begint met: Wat zou Alice in Wonderland zijn zonder de Cheshire Cat, de rechtszaak, de baby van de Hertogin of de gekke theevisite? Al deze beroemde karakters en scènes ontbreken in Alice’s Adventures Under Ground[6]en zijn later via zijn schrijftafel toegevoegd. Er zijn uiteraard tal van redenen te bedenken voor deze toevoegingen, maar één interessante variant was nog weinig onderzocht, het gaf Lewis Carroll namelijk een mogelijkheid de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde te bekritiseren. Dat deed hij op een meer expliciete wijze via het boek “Euclid and his modern rivals” uit 1879 waarin de geest van Euclides terugkeert om zijn boek de “Elementen” te verdedigen tegen zijn moderne rivalen om te laten zien dat de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde inferieur zijn ten opzichte van de oude kernwaarden van zijn boek. Dodgson publiceerde dit boek in de vorm van een toneelstuk in 4 bedrijven om een breder publiek te trekken, maar er komt best aardig wat serieuze wiskunde in voor. Wat dat betreft was het boek niet zo geslaagd voor het grote publiek.
Het boek bevat voornamelijk een eigenaardige dialoog tussen een wiskundige Minos en een advocaat van de duivel, professor Herr Niemand (ik kom later nog terug op dat woord Niemand), die de rivalen uit de titel van het boek representeert. Een tweede druk verscheen in 1885 met een nieuw voorwoord en talloze veranderingen in de tekst van het boek.

Charles Lutwidge Dodgson was een wiskundige van de oude stempel, waarbij hij de boeken van Euclides als leidraad zag van het wiskundig denken door middel van de gebruikte consequente opbouw van logische redeneringen op basis van een axiomatische en hiërarchische grondslag.[7] Eeuwenlang vormden de axioma’s, definities en stellingen met hun bewijzen uit de werken van Euclides ook de basis voor de natuurkunde en lag binnen de wiskunde de nadruk op het analyseren en oplossen van vergelijkingen. Na 1800 groeide de wiskunde met de opmars van nieuwe algebraïsche entiteiten zoals groepen, ringen, vectoren en complexe getallen snel uit tot wat het nu is: een verfijnde taal voor het beschrijven van de conceptuele relaties tussen dingen. Dodgson vond die radicale nieuwe wiskunde onlogisch en de intellectuele strengheid ervan ver te zoeken. In Dodgsons tijd was een van de belangrijkste wiskundigen Augustus de Morgan[8]. Het woord “algebra”, zei De Morgan, komt uit een Arabische uitdrukking die hij vertaalde als “al jebr e al mokabala”, wat herstel en reductie betekent. Hij legde min of meer verzoenend uit, dat ofschoon teruggebracht tot een schijnbaar absurde maar logische set van operaties, algebra uiteindelijk toch wel tot een bepaalde betekenis zou worden hersteld. Maar zo’n losse wiskundige redenering zou een nauwgezette logicus als Dodgson niet accepteren. En dus zit de rups op een paddenstoel en rookt een waterpijp – wat suggereert dat iets uit het niets is opgedoken en de gedachten van zijn volgelingen suf worden gemaakt. Vervolgens wordt Alice onderworpen aan een monsterlijke vorm van “al jebr e al mokabala”. Ze probeert eerst zichzelf te herstellen naar haar oorspronkelijke (grotere) afmeting, maar uiteindelijk wordt ze zo snel “verkleind” dat haar kin haar voet raakt.  In Alice in Wonderland viel Carroll enkele van deze nieuwe wiskundige ideeën met groot komisch effect aan als onzin – met behulp van een techniek die onder de Latijnse naam reductio ad absurdum[9] bekend staat als een van de bewijstechnieken uit de werken van Euclides. Door de invoering van een abstracte algebra met daarin onder andere imaginaire getallen, de ontwikkeling van de hele analyse met differentiëren, integreren met daarin het limietbegrip en de ontwikkelingen binnen de meetkunde werd de oude koppeling met de meetkunde doorbroken en was het houvast met een natuurkundige/meetkundige presentatie van die ontwikkelingen veelal niet meer mogelijk. Voor Dodgson waren deze nieuwe wiskunde-ontwikkelingen absurd en hoewel hij accepteerde dat deze wellicht interessant zou kunnen zijn voor nieuwe takken binnen de wiskunde, had hij er weinig mee op. Ongeschikt voor hem als lesmateriaal voor studenten, omdat deze nieuwe ontwikkelingen geen raakvlakken boden met de fysieke wereld.[10]

Door middel van een aantal scènes in Alice in Wonderland probeerde Carroll de absurditeit van deze nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde aan de kaak te stellen, waarvan in het tijdschrift-artikel van Bayley enkele voorbeelden worden aangedragen. Alice kwam vanuit een rationele wereld in een wereld waarin zelfs getallen vreemde capriolen gingen uithalen. Denk bijvoorbeeld aan de vermenigvuldigingstafel in hoofdstuk 2 van het eerste Alice-boek die uit ons 10-tallig stelsel verdween. Ik kom daar later nog uitgebreid op terug. Of let op het absurde idee om datumgegevens op te tellen en te herleiden tot getallen die een bepaalde hoeveelheid geld uitdrukken, zoals in de rechtszaak gebeurt.
Ook de bizarre afmetingen van Alice, waarbij niet alles proportioneel verandert, zoals in onze wereld, zijn een goed voorbeeld om veranderingen binnen de wiskundewereld te karakteriseren. Voor Alice heel vreemd, maar niet voor onze rups, die in deze absurde wereld leeft.

Bayley draagt ook nog het woord “temper” aan als voorbeeld. Als de rups haar op een niet bijzonder prikkelbare toon toevoegt: “Keep you temper”, bedoelt de rups niet iets als doe rustig aan of wordt niet boos, maar gebruikt de rups hierbij een archaïsche Engelse betekenis als een soort verhouding waarin bepaalde kwaliteiten worden gemixt.[11] Vergelijk hiermee de Euclidische meetkunde, waarbij de verhoudingen binnen meetkundige figuren van belang en proportioneel zijn. De rups vertelt dus dat Alice de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, zelfs als bepaalde maten veranderen. Maar omdat dat niet gebeurt is het resultaat chaos. Om Wonderland te overleven moet Alice zich gedragen als een Euclidische meetkundige, die constant de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, ook als sommige maten veranderen.
Ook de verandering van baby tot big is een voorbeeld van hoe Carroll tegen de veranderende wiskunde aankeek. Projectieve meetkunde[12] wijkt nogal af van Euclidische meetkunde en dus zette Alice het biggetje maar snel weg als beeld voor het afwijzen van projectieve meetkunde. De Cheshire Cat vertegenwoordigt de stem van de traditionele Euclidische wiskundige: zeg waar je naar toe wilt, als je wil weten hoe je daar kunt komen en wijst daarbij in de richting van de Hoedenmaker en de Maartse Haas. Ga maar langs bij wie je maar wil, ze zijn toch alle twee getikt. Ook als de Rups Alice de tweede keer vraagt wie zij is en zij antwoordt dat de Rups haar nu maar eerst eens moet vertellen wie hij is, schemert de orthodoxe wiskundige door in het antwoord van de Rups, “Waarom?”

Het artikel van Bayley, waarvan ook een versie in de New York Times van 7 maart 2010 is verschenen, is hier en daar wel op enige kritiek gestuit. Soms worden zaken, als de vermeende kritiek van Dodgson op de “nieuwe wiskunde” groter gemaakt dan ze in werkelijkheid waren.

Niettemin, hoewel soms vergezocht, is een van de leuke dingen bij het lezen van een boek, toch wel het achterhalen van (on)bewuste betekenissen van passages in een boek, waardoor we het idee krijgen dichter bij de auteur te komen of (verborgen) (on)bewuste boodschappen te vinden, die de auteur ons wil meegeven.
Zo kun je het langzame vervagen van de Cheshire Cat zien als het langzame vervagen van de zuivere wiskunde in het dagelijkse leven. Wiskundige stellingen kunnen in de praktijk goed toegepast worden, maar de stellingen zelf zijn vaak zeer abstract, die tot een andere dimensie behoren en daardoor uit het zicht raken van de toepassingen daarvan.[13]

Voor al dit soort observaties ligt Carrolls ontwerp van een “sprookjes” motief met zijn diverse lagen daarom zeer voor de hand. Zonder de (verborgen) wiskunde had “Alice” meer op Carrolls latere boek “Sylvie en Bruno” geleken – een saai en sentimenteel sprookje, hoewel ook daar wat wiskundige verwijzingen in te vinden zijn. De wiskunde gaf “Alice” een meer duistere kant en maakte er een puzzel van die mensen van alle leeftijden al 150 jaar kan bekoren.

Noten

[1] Rede uitgesproken op de 108ste gedenkdag der Technische Hogeschool te Delft door de secretaris van de Senaat Oene Bottema (1901-1992). Bottema was hoogleraar zuivere en toegepaste wiskunde en mechanica en van 1951 tot 1959 rector magnificus aan de toenmalige TH-Delft. Hij was net als Carroll een klassieke meetkundige.

[2] Martin Gardner (1914-2010) was ongetwijfeld een groot aanjager van de bekendheid van Alice in Wonderland, zeker binnen de wetenschappelijke wereld, maar Walt Disney zorgde voor de echte wereldwijde roem. In de jaren 20 van de vorige eeuw begon hij met het maken van Alice-comedy’s, culminerend in de uit 1951 stammende animatiefilm Alice in Wonderland, die gebaseerd is op beide Alice-boeken. In de hele wereld kom je Alice-boeken met de bekende Disney-illustraties in heel veel verkorte en/of bewerkte vertalingen tegen, waaruit bijna alle wiskundige verwijzingen zijn verdwenen. Het eerste Alice-boek, “Alice’s Adventures in Wonderland”, is in ongeveer 200 verschillende talen vertaald. Aangezien op de hele wereld zo’n 7000 verschillende talen zijn geclassificeerd, is er nog een lange weg te gaan voor Alice in Wonderland overal ter wereld beschikbaar is.

[3] In 1990 verscheen de More Annotated Alice, in 2000 The Definitive Annotated Alice en tenslotte (?) in 2015 de 150th Anniversary Deluxe Annotated Alice. Het laatste gebonden boek uitgebreid en geüpdatet door Mark Burstein.  Annotated Alice’s zijn o.a. ook als soft cover bij Penguin Books uitgegeven.

[4] In de wiskunde is een determinant een speciaal getal dat uit de elementen van een vierkante matrix wordt berekend.

[5] https://www.newscientist.com/article/mg20427391-600-alices-adventures-in-algebra-wonderland-solved/

New Scientist is een populair Engels wetenschappelijk tijdschrift en heeft ook een Nederlandse editie. Melanie Bayley heeft Victoriaanse literatuur te Oxford gestudeerd.

[6] Ik ga ervan uit dat eenieder de ontstaansgeschiedenis van Alice in Wonderland kent.

[7] De Elementen van Euclides is een meetkundig en rekenkundig verzamelwerk van 13 delen uit de derde eeuw voor Christus. Boek 1 begint met 23 definities (1: wat is een punt t/m 23: 2 evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit), 5 notities en daarna de 5 bekende axioma’s (door 2 punten gaat 1 lijn, lijnstuk tot het oneindige te verlengen, punt en straal leveren een cirkel op, rechte hoeken zijn gelijk en als laatste het parallellen-axioma: door een punt P buiten een lijn m gaat slechts één lijn evenwijdig met de gegeven lijn m. Alle andere resultaten worden vanuit deze beginselen bewezen. De stelling van Pythagoras, in de algebraïsche versie (a2 + b2 = c2) zoals wij die kennen, komt bijvoorbeeld in deze vorm niet in het boek voor. Meer dan 2000 jaar is dit verzamelwerk in het wiskundeonderwijs als leerboek gebruikt.

In zijn boek Euclid and his modern rivals (Carroll introduceerde het boek met: “Dedicated tot he memory of Euclid”) maakt Dodgson andere meetkundigen belachelijk die het parallellen-axioma ter discussie stelden. Niet-euclidische meetkunde (elliptische: denk aan meetkunde op een bol, en hyperbolische: denk aan meetkunde op een zadeloppervlak, ook de ruimte is in aanwezigheid van een gravitatiekracht niet-euclidisch) komt dan ook niet in zijn straatje voor. Negen jaar later (1888) schreef hij zijn eigen ideeën op over het parallellen-axioma in Curiosa Mathematica, Part I. A New Theory of Parallels. Dat 5e axioma is niet zo vanzelfsprekend en de noodzaak daarvan werd halverwege de 19e eeuw betwijfeld. In dat laatste boek construeerde Dodgson zijn eigen equivalent voor dit 5e axioma, niet om deze te vervangen, maar om zijn logische onvermijdelijkheid aan te tonen. Maar hij volgde hierbij duidelijk een vals spoor, omdat dit 5e axioma niet nodig is voor een consistent meetkundig systeem. Ook weerlegt Dodgson in zijn boek tevens de vertegenwoordigers van de cirkelkwadratuur, de aanname dat het mogelijk is met passer en liniaal een vierkant te construeren met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. Na het overlijden van De Morgan in 1871 (zie ook het volgende punt) nam Dodgson de ondankbare taak van hem over om amateur-wiskundigen van repliek te dienen, die meenden de cirkelkwadratuur te hebben opgelost.

[8] Augustus De Morgan (1806-1871) heeft wiskunde gestudeerd aan het Trinity College te Cambridge, maar kon daar na afloop van zijn studie geen aanstelling krijgen en besloot naar Londen te verhuizen, waar hij een aanstelling kreeg aan de pas opgerichte London University, een universiteit niet gebaseerd op religieuze grondslagen in tegenstelling tot de meest vooraanstaande “universiteiten” (eigenlijk een verzameling van onafhankelijke colleges) in Oxford en Cambridge. De Morgan was de eerste Britse wiskundige die in 1849 een consistente verzameling regels opstelde voor de nieuwe symbolische algebra.

[9] De Nederlandse naam hiervoor is: bewijs uit het ongerijmde (herleiding tot het absurde). De geldigheid van deze indirecte bewijsmethode stoelt op de aanname dat een bewering/stelling alleen maar waar of niet-waar kan zijn. De werkwijze bij deze bewijsvoering gaat als volgt: neem aan dat de bewering niet waar is en laat dan vervolgens zien dat deze aanname leidt tot een tegenspraak of tot een niet-ware bewering. Een voorbeeld van deze bewijstechniek is het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen (getallen alleen deelbaar door 1 en door zichzelf) bestaan. Het intuïtionisme, een grondslagenstroming binnen de wiskunde opgezet door de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966) aan het begin van de 20e eeuw, verwerpt deze indirecte bewijsmethode.

[10] Een van de meest vreemde veronderstellingen bij de gemiddelde mens is dat er nauwelijks nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde zijn en dat de wiskunde “af” is. Dat wordt ook wel versterkt doordat nieuwe leergebieden binnen de wiskunde nog nauwelijks gebruikt worden in ons voortgezet onderwijs. Een nog vreemderder(!) perceptie is dat wiskunde nutteloos is, een noodzakelijk kwaad als schiftingsmiddel bij opleidingen. Want, er zijn toch computers!!! Werkten er voor de 19e eeuw slechts enkele tientallen wiskundigen over de hele wereld, tegenwoordig zijn dat er tienduizenden. Telde wiskunde vroeger slechts een paar deelgebieden, momenteel zijn dat er honderden. Een van de uitdagingen momenteel is kennis uit verschillende deelgebieden samen te brengen.

[11] https://www.merriam-webster.com/dictionary/temper

[12] Projectieve meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde zonder metriek waarin onder meer gebruikt wordt gemaakt van complexe getallen: een uitbreiding van reële getallen met een imaginair gedeelte.
Een complex getal wordt weergegeven als a + bi, waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid vormt met i2= -1. In veel technische disciplines zijn allerlei nuttige toepassingen te vinden. Helaas heeft Dodgson niet de tijd en moeite genomen zich bij deze ontwikkeling aan te sluiten.

[13] Een van de meest geciteerde quotes in dit verband is gemaakt door de Nederlandse wiskundige A. Schrijver: Wiskunde is als zuurstof: als het er is, merk je het niet. Als het er niet zou zijn, merk je dat je niet zonder kunt.

Lees verder