Auteur: Bas Savenije

Boekbespreking: Alice in Wonderland Syndrome – Jan Dirk Blom

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Leed Charles Dodgson aan het Alice in Wonderland-syndroom?

Boekbespreking van:

Jan Dirk Blom, Alice in Wonderland Syndrome, Springer 2020.
221 pagina’s, € 130,79 (tijdelijk verlaagd naar € 65,39)
ISBN 978-3-030-18608-1

Jan Dirk Blom is een Nederlandse psychiater en bijzonder hoogleraar Klinische Psychopathologie aan de Universiteit Leiden. Als psychiater werd hij geraadpleegd door mensen die hij nu aanduidt als “de man die voelde dat de wereld leefde”, “de jongen die alles als scheef zag” en “de vrouw die draken zag”. Ze bleken allemaal symptomen te ervaren van wat nu bekend staat als het  ‘Alice in Wonderland-syndroom’ (in deze recensie aangeduid als het ‘AiW-syndroom’).
Het AiW-syndroom werd tot voor kort als zo zeldzaam beschouwd, dat de meeste universitaire opleidingen in geneeskunde, psychologie en neurowetenschappen het niet in de opleiding opnamen. De eerste persoon die het kenmerkende patroon van dit syndroom opmerkte, was John Todd, een Britse consulent psychiater. Hij publiceerde erover in 1955 en gaf de aandoening een naam, waarbij hij zich liet inspireren door de specifieke veranderingen van Alice, zoals in 1865 beschreven in Alice’s Adventures in Wonderland door Charles Dodgson onder zijn pseudoniem Lewis Carroll.

Jan Dirk Blom herinnert zich dat hij als kind het boek Alice’s Adventures in Wonderland (‘AiW’) had gelezen en er diep van onder de indruk was. Hij heeft het vele malen herlezen, ook met zijn dochter, en elke lezing verraste hem met nieuwe inzichten.

En nu heeft hij een fascinerend boek geschreven over het AiW-syndroom. Hij put daarbij uit zijn ervaringen als psychiater, zijn eigen onderzoek en het gestaag toenemende aantal wetenschappelijke publicaties over het syndroom. Het is het eerste state-of-the-art overzicht van het syndroom en het belangrijkste doel van het boek is de bewustwording over het syndroom te vergroten door het te beschrijven en uit te leggen wat er over bekend is.

Maar er is meer. In AiW vinden we een beschrijving van tenminste 13 ervaringen die lijken op symptomen van het syndroom. En daarom stelde Blom zich ook de volgende vraag: hoe groot is de kans dat een niet-medische auteur deze symptomen lukraak beschrijft in een boek dat is geschreven als vermaak voor kinderen, symptomen die op dat moment weinig bekend waren en waarvoor het nog 90 jaar zou duren voordat een psychiater op het idee zou komen om ze in verband met elkaar te beschrijven? Charles Dodgson moet persoonlijk kennis van deze symptomen hebben gehad. De vraag is: hoe? Had hij er van iemand anders over gehoord? Heeft hij ze misschien zelf meegemaakt? En dit is het tweede doel van het boek: een onderzoek van Charles Dodgson’s leven en werk om de vraag te beantwoorden hoe hij aan zijn kennis over deze symptomen was gekomen.

Het boek is interessant voor zowel mensen met een medische achtergrond als voor Carrollians. Hieronder zal ik een samenvatting geven, maar deze is slechts gedeeltelijk, omdat hij voornamelijk over de Carrolliaanse aspecten gaat. De reden hiervoor is niet dat de medische elementen saai of te ingewikkeld zijn: het tegendeel is waar. Ik vermoed echter dat mijn lezers vooral geïnteresseerd zijn in het deel dat over Charles Dodgson gaat. Ik neem verder aan dat ze bekend zijn met de basisfeiten van zijn biografie. Ik ben me bewust van het feit dat deze keuze het boek van Blom onrecht doet. Mijn samenvatting laat niet alleen veel interessante en relevante details over Charles Dodgson buiten beschouwing, maar bovenal negeer ik de manier waarop Blom de medische en Carrolliaanse aspecten met elkaar heeft verweven. Hun combinatie leest als een fascinerende ontdekkingsreis en ik kan me niet anders voorstellen dan dat het een belangrijke stap is op weg naar meer bekendheid met het AiW-syndroom.
Dus als deze recensie je interesse wekt, raad ik je ten zeerste aan om het boek in zijn geheel te lezen, aangezien je er veel toegevoegde waarde in zult vinden, hoewel ik me kan voorstellen dat de prijs van het boek een obstakel zou kunnen zijn.

Het syndroom

In 1955 was John Todd de eerste die over het AiW-syndroom publiceerde. Het is zijn verdienste dat hij de symptomen heeft gegroepeerd, hun onderlinge verwevenheid heeft herkend als zintuigelijke verstoringen in plaats van hallucinaties of illusies en die groep symptomen een naam heeft gegeven. Hij gebruikte de term ‘syndroom’ omdat hij vermoedde dat de waargenomen verschijnselen bij elkaar hoorden.
Hier is een kort overzicht van de symptomen, zoals opgesomd en beschreven door Blom.

  • Somesthetische vervormingen: vervormingen die van invloed zijn op de manier waarop we ons lichaam ervaren, bijvoorbeeld het gevoel dat je handen worden verkleind tot kleine stompjes wanneer je ze in je zak steekt, of het gevoel dat ze zo groot zijn geworden dat ze de hele ruimte lijken te vullen.
  • Hyperschematie en hyposchematie: het ervaren van de ruimte die het lichaam inneemt als groter respectievelijk kleiner dan deze in feite is.
  • Derealisatie en depersonalisatie: derealisatie is een verwrongen realiteitszin; depersonalisatie is het gevoel niet aanwezig te zijn, jezelf op een merkwaardig afstandelijke manier te ervaren, bijvoorbeeld alsof je de wereld vanachter een dikke ruit ziet.
  • Somatopsychische dualiteit: de ervaring dat je niet op één plek leeft. Todd beschreef een geval van een vrouw die het tijdelijke gevoel had ‘gespleten’ te zijn, wat gepaard ging met het gevoel een tweede hoofd te hebben.
  • Visuele vervormingen: deze komen voor in veel verschillende typen, bijvoorbeeld dingen scheef zien of een extra lijn of contour rond objecten waarnemen, dingen groter of kleiner zien dan ze in werkelijkheid zijn (micropsia, macropsia), beweging zien die er niet is (kinetopsie ) en het onvermogen om beweging te zien (akinetopsie).
  • Illusoire gevoelens van levitatie en tijdvervormingen: het gevoel dat je in de lucht zweeft en het ervaren van illusoire veranderingen ten aanzien van het verstrijken van de tijd.

Misschien wel het meest beangstigende aspect van dit syndroom is dat het je kan doen twijfelen aan de meest simpele, fundamentele elementen van de werkelijkheid, die je, sinds je klein was, als vanzelfsprekend had beschouwd en waarvan je dacht dat je er zeker van kon zijn. Het kan ook onzekerheden veroorzaken over iemands persoonlijke identiteit.

De kenmerkende symptomen zijn meestal subtiel van aard, in de zin dat ze de neiging hebben om slechts een klein aspect van iemands volledige zintuiglijke ervaring te beïnvloeden. Soms treden de symptomen in samenhang met elkaar op. Maar zelfs als er meerdere symptomen aanwezig zijn, zijn het vaak ervaringen in dezelfde sensorische modaliteit, bijvoorbeeld allemaal visueel van aard.
Het AiW-syndroom verschilt van hallucinaties en illusies, omdat de symptomen vervormingen zijn van normale zintuiglijke waarnemingen. Wat mensen waarnemen is iets echts, iets daarbuiten in de fysieke wereld, dat zich echter op een verdraaide, vertrokken en verwrongen manier presenteert.
Het is onbekend of er een gemeenschappelijke oorzaak ten grondslag ligt aan alle gevallen van het AiW-syndroom. Talrijke medische aandoeningen kunnen het veroorzaken, waaronder epilepsie, migraine en middelenmisbruik. De meerderheid van de patiënten die hieraan lijden, ontwikkelt het syndroom echter niet. Daarvoor is misschien ook een specifieke kwetsbaarheid vereist, zelfs als de genoemde aandoeningen zich voordoen.
Voor tal van andere medische aandoeningen zijn bij wetenschappelijke organisaties diagnostische criteria beschikbaar. Daarnaast kunnen deze organisaties evidence based richtlijnen uitvaardigen waarin staat hoe aandoeningen bij voorkeur behandeld moeten worden. Voor het AiW-syndroom zijn dergelijke diagnostische criteria en therapeutische algoritmen echter niet beschikbaar. Dit komt doordat het syndroom tot nu toe nauwelijks is onderzocht. In een bijlage somt Blom een voorstel op voor diagnostische criteria die gebruikt kunnen worden in een klinische praktijk.
Hoewel er geen harde gegevens beschikbaar zijn, moeten er talloze mensen zijn die aan deze vrijwel onontgonnen aandoening lijden. Maar omdat nog veel onduidelijk is, zou ook slechts een minderheid van de medisch specialisten het AiW-syndroom herkennen. Als er niet een paar wetenschappers waren geweest die door de jaren heen papers bleven publiceren, was het AiW-syndroom waarschijnlijk door de medische wereld vergeten. Dus wat er in de eerste plaats nodig is, is een grotere bewustwording. Mensen met het AiW-syndroom moeten de weg kunnen vinden naar geschoolde specialisten.

Alice’s avonturen in wonderland

Zij die bekend zijn met het verhaal van AiW zullen de symptomen van het syndroom eenvoudig  herkennen als elementen in het verhaal. Hier zijn enkele voorbeelden die door Blom worden genoemd. Er is sprake gevoelens van levitatie wanneer Alice zo langzaam door het konijnenhol valt dat ze alle tijd heeft om een pot met het opschrift ‘Sinaasappeljam’ van de plank te pakken en deze na inspectie iets lager op te bergen in een kast.
Alice ervaart ook een aantal somesthetische vervormingen: ze verandert verschillende keren van grootte. Ze ervaart hyperschematie in de scène waarin ze zo groot wordt, dat ze vast komt te zitten in het huis van het Witte Konijn. Er is sprake van psychosomatische dualiteit: het was één van Alice’s favoriete bezigheden om zich voor te doen als twee personen.
Met Alice’s gevoel dat haar lichaam kleiner en groter wordt, lijken de dingen voor haar ook groter of kleiner (macropsia en micropsia). Maar er zijn meer soorten visuele vervormingen. Alice ervaart prosopometamorfosie, de schijnbare verandering van uiterlijk, wanneer ze wordt geconfronteerd met de baby die in een biggetje verandert. Er is sprake van verlies van ruimtelijk zicht wanneer de hoveniers, in de vorm van speelkaarten, worden gezien als “langwerpig en plat” in plaats van als driedimensionale objecten.
Er zijn veel verwijzingen naar het onderwerp ‘tijd’, inclusief tijdvervormingen, bijvoorbeeld wanneer de Hoedenmaker verwijst naar het versnellen van de werkelijke chronologische tijd: “Je hoeft de Tijd maar even iets in zijn oor te fluisteren en in een oogwenk draaien de wijzers rond”.
Depersonalisatie is het geval als Alice opmerkt: “Ik ben mezelf niet, zie je.” Ze heeft die dag zoveel veranderingen ondergaan dat ze niet meer weet wie ze is.

Hoe heeft Dodgson kennis opgedaan over de symptomen?

Blom concludeert dat de beschrijvingen in AiW overtuigend bewijsmateriaal bevatten dat Dodgson grondige kennis had van een groot aantal symptomen die nu worden beschouwd als onderdeel van het AiW-syndroom.
Maar wat zou hem kunnen hebben geïnspireerd om ze te beschrijven? Had hij er misschien via iemand anders over gehoord? Of via meerdere personen die hem elk een beschrijving van enkele van die symptomen hadden gegeven? Zou het zijn neef kunnen zijn, Stuart Dodgson Collingwood, of Charles’ eigen broer Skeffington Dodgson, van wie bekend was dat ze beiden aan epilepsie leden? Of zou het Alice Liddell kunnen zijn aan wie hij het verhaal heeft opgedragen? Er is echter geen enkele aanwijzing dat Alice Liddell zintuiglijke vervormingen heeft ervaren, laat staan dat ze Dodgson deze heeft toevertrouwd. Hetzelfde geldt voor de andere genoemde personen.

Dit brengt ons bij de volgende vraag: heeft Dodgson zelf de zintuiglijke symptomen ervaren die hij in AiW beschreef? Afgaande op wat Dodgson schreef over het ontstaan ​​van zijn verhaal, leek het niet uit een droom te komen. Wel gaf hij aan dat het onderbewustzijn er misschien iets mee te maken had, door te zeggen dat veel van de ideeën voor zijn boek “uit zichzelf” waren gekomen. Dit suggereert dat hij misschien wel een manier had gevonden om toegang te krijgen tot het ‘primaire proces’, zoals psychoanalytici deze manier van denken noemen: het type mentaal proces dat vooraf gaat aan linguïstisch redeneren. Dit proces wordt als primitiever van aard beschouwd, in de zin dat het onmiddellijk, onlogisch en ruw is, en gebruik maakt van beelden, emoties en losse associaties in plaats van de zorgvuldig opgebouwde concepten die we gebruiken als we ons in taal uitdrukken. Het lijkt erop dat Dodgson inderdaad in staat was zichzelf toegang te verschaffen tot die laag van bewustzijn. Het is dus niet zo vergezocht dat sommige auteurs denken dat hij psychotrope middelen had gebruikt; de beelden die hij door het hele verhaal heen oproept, doen denken aan LSD-ervaringen. Maar er is geen bewijs dat hij daadwerkelijk deze middelen heeft gebruikt.
Om tot een zorgvuldige afweging te komen over de vraag of Dodgson zelf zintuiglijke vervormingen heeft ervaren, en zo ja, wat de onderliggende oorzaak zou kunnen zijn, presenteert Blom een gedetailleerde beschrijving van de gezondheid van Dodgson. Hierin etaleert hij alles wat bekend is over zijn gezondheid, inclusief kleine aandoeningen en verwondingen, op basis van zijn dagboeken en brieven en het ruime biografische materiaal dat beschikbaar is.

Dodgson’s medisch dossier

Enkele algemene gegevens: lengte ongeveer 1,78 m, gewicht 65 kg, gemeten op 50-jarige leeftijd, body mass index van 20,5. Belangrijkste aspecten zijn zijn gewoontes: om niet te roken, bijna dagelijks oefeningen te doen, eenvoudige kleine maaltijden te eten en bij voorkeur de middagmaaltijden over te slaan of zichzelf tevreden te stellen met een glas sherry en een koekje. Zijn dood in 1898 op 65-jarige leeftijd (toen een respectabele leeftijd) was waarschijnlijk het gevolg van een longontsteking na een ziekbed dat begon als “een koortsachtige verkoudheid van het bronchiale type”.

Uit zijn medische geschiedenis blijkt dat hij tijdens zijn leven veel ongemakken heeft ervaren.

  • Gehoorprobleem: hij was van jongs af aan slechthorend in zijn rechteroor. Het is onbekend op welke leeftijd dat precies tot stand kwam. Op 17-jarige leeftijd kreeg hij de bof en dit is de meest waarschijnlijke oorzaak.
  • Gezichtsblindheid: hoewel zijn geheugen ronduit opmerkelijk was, had hij een slecht geheugen voor gezichten. Met ongebruikelijke strategieën probeerde hij om te gaan deze sociale handicap, zoals zijn pogingen om gezichten van bekenden met behulp van foto’s te onthouden.
  • Spraakstoornis: hij had van jongs af aan een spraakstoornis die hem aanzienlijke problemen bezorgde. De exacte oorzaak van zijn stotteren is onbekend, hoewel het duidelijk is dat erfelijkheid hierin een belangrijke rol speelde. Drie van zijn broers en zussen hadden een spraakgebrek en mogelijk al zijn tien broers en zussen in meer of mindere mate.
  • Infectieziekten: andere aanslagen op zijn gezondheid waren het gevolg van de talrijke infectieziekten die het 19e-eeuwse Engeland in hun greep hielden. Tijdens zijn schooltijd liep hij door kinkhoest ernstige vertraging op. Zoals alle gezonde Engelsen, kreeg hij eenmaal per jaar griep. In de loop van zijn leven leed hij ook aan verschillende andere ziektes, zoals blaasontsteking, en ontstekingen in zijn armen en benen. Uit zijn dagboekaantekeningen blijkt dat hij zich regelmatig “niet lekker voelde”.
  • Verwondingen: Dodgson liep verschillende verwondingen op. Hij werd gebeten door een teckel en viel bij een poging om te schaatsen waarbij hij zijn voorhoofd open sneed. Hij leed aan gezichtspijnen, door zijn neef Stuart Dodgson Collingwood “zenuwpijn” genoemd, en lage rugpijn, die Dodgson toeschreef aan “spit”.
  • Bewustzijnsverlies: op 59-jarige leeftijd stootte hij een keer zijn hoofd en verloor daarbij gedurende een uur zijn bewustzijn. Het kostte hem meer dan 10 maanden om van de hoofdpijn af te komen. Dodgson dacht zelf dat het epilepsie was, maar er is reden voor twijfel. Hij legde zelf een verband met een eerder incident (op 53-jarige leeftijd), dat hem ruim een week met hoofdpijn opzadelde. Er zijn dus enkele aanwijzingen dat hij gedurende zijn leven twee zogenaamde tonisch-clonische (een bepaald type epilepsie) aanvallen heeft gehad, hoewel definitief bewijs ontbreekt.
  • Migraine: Dodgson dacht ook dat hij aan migraine leed. De reden was dat hij zijn hele leven last had van flikkerende scotomen (blinde plekken in het gezichtsveld). Het kan ook zijn dat hij vanwege een migraine zonder hoofdpijn een negatief plekje in zijn gezichtsveldhad. In zijn dagboek noemt hij dit “het zien van bewegende fortificaties” en met deze term kan hij nauwelijks iets anders hebben bedoeld dan geometrische visuele hallucinatie, die kenmerkend is voor migraine. In totaal meldde Dodgson vijf gevallen van soortgelijke migraine-aanvallen in zeven jaar. In 1952 was dit voor de Amerikaanse neuroloog Caro Lippman aanleiding om te suggereren dat Dodgson niet alleen aan migraine leed, maar ook aan begeleidende auraverschijnselen en dat deze ervaringen wellicht als inspiratiebron hadden gediend voor de eigenaardige zintuiglijke vervormingen die in AiW zijn beschreven. Hoewel dit niet onmogelijk is, bevatten de dagboeken geen enkele aanwijzing dat hij ooit auraverschijnselen heeft meegemaakt.

Dodgson gebruikte verschillende medicijnen voor het behandelen of voorkómen van zijn medische problemen. Sommige van die medicijnen waren homeopathisch van aard. Hij bezat een bescheiden bibliotheek met medische boeken, evenals een serie botten, die hij blijkbaar gebruikte om zichzelf enkele basisprincipes over het menselijk lichaam te leren. Hij was zozeer verknocht aan alternatieve geneeswijzen dat hij zelf dokterde via allerlei huis-, tuin- en keukenmiddeltjes, naslagwerken over homeopathische en kruidengeneesmiddelen verzamelde en een aantal van deze boeken weggaf aan familieleden en vrienden, soms samen met een doos met geneesmiddelen.

Hoe zit het met bewijs?

Op basis van het medisch dossier concludeert Blom dat er geen direct bewijs is dat Dodgson zelf zintuiglijke vervormingen heeft ervaren – niet vóór en ook niet nadat hij AiW schreef. Maar hoe zit het met indirect bewijs?
Omdat in het verleden verschillende interessante hypothesen zijn aangedragen, levert Blom in zijn boek een nieuwe evaluatie van het bewijsmateriaal. En aangezien er ook veel is gezegd over de geestelijke gezondheid van Dodgson, grijpt Blom de gelegenheid aan om tevens enkele mythen te ontkrachten.
Om aard en oorzaak van de veronderstelde zintuiglijke vervormingen van Dodgson te onderzoeken, brachten sommige auteurs gedegen medische ervaring in stelling. Anderen zijn minder nauwgezet geweest. In zijn eigen tijd ging al het gerucht dat Dodgson geestelijk ziek was geworden. Hij wordt depressief, suïcidaal, pedofiel, migraineur, slapeloze, epilepticus, alcoholverslaafde, cocaïneverslaafde, cannabisverslaafde en paddoverslaafde genoemd, om maar een paar van de meest voorkomende beschuldigingen te noemen. Anderen hebben gewezen op zijn gebruik van gevaarlijke stoffen zoals arseen (dat hij in homeopathische doseringen innam) en zwavelzuur (dat hem was voorgeschreven, maar dat hij waarschijnlijk nooit gebruikte omdat hij het niet eens was met de diagnose van zijn arts). Weer anderen geloven dat hij LSD gebruikte, wat echt opmerkelijk zou zijn geweest, aangezien deze stof pas een halve eeuw na zijn dood werd ontwikkeld.
Voor al dit soort aantijgingen is geen enkel bewijs. Wat we echter niet helemaal zeker weten is of hij in het geheim verslaafd was aan alcohol. Als curator van de Common Room in Christ Church, waar hij woonde, had hij gemakkelijk toegang tot alcohol. Hij had de gewoonte om middagmaaltijden over te slaan en deze ze meer dan eens in te ruilen voor een glas sherry. Hij had altijd een fles van zijn eigen favoriete merk bij zich als hij ’s avonds uit eten ging. Alle bronnen geven echter aan dat hij matige hoeveelheden alcohol gebruikte. Aan de andere kant is het echter algemeen bekend dat alcoholisten hun drinkgedrag vaak met succes maskeren in overeenstemming met hun sociale en beroepsmatige omgeving.

Wat betreft het psychologische profiel van Dodgson, is de eerste vraag of er aanwijzingen zijn voor psychologische of psychiatrische aandoeningen in zijn medische geschiedenis die de aanname zouden kunnen rechtvaardigen dat hij zelf zintuiglijke vervormingen heeft ervaren.
Blom gelooft niet dat er voldoende bewijs is voor de bewering dat Dodgson leed aan enige vorm van een ernstige psychiatrische ziekte. Wat de gesuggereerde mogelijkheid van een dissociatieve identiteitsstoornis (‘dubbele persoonlijkheid’) betreft, het lijkt er meer op dat hij zich een ongebruikelijke reeks sociale vaardigheden eigen had gemaakt en over een ongebruikelijk vermogen beschikte om met mensen in verschillende sociale contexten om te gaan.
Hij bezat echter wel een aantal obsessieve en dwangmatige karaktertrekken: de manier waarop hij zich kleedde, zijn tanden verzorgde, zijn thee klaarmaakte, zijn dagboek bijhield, zijn brieven en foto’s archiveerde en zorgvuldig de namen opsomde van meisjes die hij had ontmoet. Deze konden soms zelfs grenzen aan fetisjisme, gezien de gewoonte om mensen te fotograferen, hun handtekeningen en visitekaartjes te vragen en kleine haarlokken van zijn vriendinnetjes te verzamelen. Of deze collecties ook een seksuele betekenis voor hem hadden, is onmogelijk vast te stellen.

Over seksualiteit gesproken, Blom stelt zich de vraag waarom deze gezinsgerichte, succesvolle, huwbare man nooit openlijk een relatie heeft gehad. Er is een enkele passage in zijn dagboeken waarin hij overweegt wat geld opzij te zetten voor het geval hij ooit zou willen trouwen. Het kan niet volledig worden uitgesloten dat Dodgson een heimelijke Don Juan was. In dat geval moet hij echter wel zeer bedreven zijn geweest in het verbergen van zijn frivole escapades. De mogelijkheid van een actief seksleven – hoe onwaarschijnlijk ook – kan daarom niet volledig worden uitgesloten, maar ook een pleidooi voor zijn aseksualiteit is niet kansloos. Aseksualiteit is zeer zeldzaam bij volwassenen, maar het is niet ondenkbaar dat Dodgson verstoken was van zin in seks. Dit is een ander mysterie dat onopgelost zal moeten blijven, al valt er nog wel iets over te zeggen.
Op 17-jarige leeftijd had hij de bof. Prepuberale jongens die aan de bof lijden, ontwikkelen zelden testiculaire complicaties, maar bij volwassen mannen is het bij 5 tot 37% de meest voorkomende complicatie. Op 17-jarige leeftijd behoorde Dodgson tot de groep met risico op orchitis (ontsteking van de teelbal). Verlies van libido kan een bijkomend gevolg zijn, evenals impotentie, de ontwikkeling van vrouwelijk borstweefsel en het niet ontwikkelen van mannelijke kenmerken zoals zware spieren, lichaamshaar en lage stem. Het is onbekend of Dodgson vrouwelijk borstweefsel had, maar de andere gevolgen van aan de bof gerelateerde orchitis lijken opmerkelijk goed op hem van toepassing te zijn, zoals de hoge stem, de kwetsbaarheid, de zachte gelaatstrekken en een – mogelijke – aseksualiteit.
De kans dat bij hem sprake was van een ongewoon laag androgyn niveau ligt ergens tussen de 1% en 10% en de kans dat hij leed aan een bilaterale orchitis en dus aan impotentie en onvruchtbaarheid ligt in de range van 0,1% tot 1%.

Sommige auteurs hebben gesuggereerd dat Dodgson misschien een aandoening had die in zijn tijd nog niet benoemd was, het ‘Asperger-syndroom’, wellicht het best te begrijpen als een milde vorm van autisme. Hoewel hij een niche in zijn leven had gevonden waarin hij kon bloeien en tal van sociale contacten kon onderhouden, bleef hij een anachronisme onder de anachronismen die Christ Church al bevolkten. Maar in tegenstelling tot de meeste mensen bij wie autisme is vastgesteld, was hij goed in staat zichzelf in andermans positie te verplaatsen, vooral in die van kinderen.
Als we – als een retrospectieve diagnose – zouden concluderen dat er inderdaad sprake was van Asperger, dan moet Dodgson tot de hoog functionerende subgroep hebben behoord die het zoet en zuur van deze aandoening kent. Ook komt aseksualiteit, hoe zeldzaam ook, iets vaker voor in de context van het Asperger-syndroom.

Wat de zintuiglijke vervormingen kan hebben veroorzaakt, is migraine, zoals ook door verschillende vooraanstaande auteurs wordt aangegeven. Hij moet minstens vijf aanvallen van migraine hebben gehad. Maar al zijn beschrijvingen stammen uit de tijd nadat hij AiW had geschreven. Wat een mysterie is gebleven, is de reden waarom Dodgson in 1856 een oogarts raadpleegde, zes jaar voordat hij begon met het schrijven van het boek.

Een andere belangrijke hypothese, die met betrekking tot epilepsie, was vanaf het begin onwaarschijnlijk. Het wordt momenteel vrijwel onmogelijk geacht om epilepsie te bewijzen zonder EEG. Het is dus onmogelijk met enige zekerheid vast te stellen of Dodgson epileptische aanvallen heeft gehad. Maar epilepsie blijft een mogelijkheid, hoe onwaarschijnlijk het momenteel ook lijkt.

En dan was er die eindeloos terugkerende koorts. Als er echt iets in aanmerking komt om zintuiglijke vervormingen te hebben veroorzaakt, dan is dit het wel, volgens Blom. Dodgson heeft bij talloze gelegenheden infectieziekten gehad, voordat hij AiW schreef.

Alles bij elkaar genomen

Vanwege Dodgson’s eigen kieskeurigheid in zijn dagboeken, is het moeilijk te zeggen of de hier gereconstrueerde medische geschiedenis op enigerlei wijze compleet is. Niettemin kunnen we concluderen dat Dodgson bekend moet zijn geweest met de zintuiglijke vervormingen die hij beschreef, anders had hij er geen 13 verschillende voorbeelden van kunnen bedenken. Bovendien lijkt het onwaarschijnlijk dat hij deze beschrijvingen op geruchten had gebaseerd. Hoewel er geen direct bewijs is dat hij ze zelf had meegemaakt, leed hij zijn hele leven aan verschillende aandoeningen die nu worden erkend als factoren die het AiW-syndroom kunnen veroorzaken.
Voor de toppositie komen de vele infectieziekten waaraan hij leed, in aanmerking.
Op de tweede plaats komt migraine, maar wel op grote afstand. De derde plaats is voor intoxicaties (vergiftigingen) van welke aard dan ook, waarbij alcohol het gemakkelijkst verkrijgbare en meest waarschijnlijke middel is. Ver daarachter komt op de vierde plaats epilepsie. Tot slot, op de vijfde plaats, is het de moeite waard om de eerdere waarneming te memoreren dat Dodgson een manier leek te hebben gevonden om diepere lagen van zijn bewustzijn aan te boren, waardoor hij toegang kreeg tot gebieden van zijn psyche die anders buiten bereik zouden zijn gebleven.

En dat is het. Blom concludeert dat op basis van deze evaluatie iedereen het bewijsmateriaal voor zichzelf kan afwegen en kan concluderen of er voldoende reden is om aan te nemen dat Dodgson inderdaad leed aan het AiW-syndroom.

Met dank aan Henri Ruizenaar voor de Nederlandse vertaling van de Engelse versie van de recensie.

Lees verder

De Barbershop Paradox van Lewis Carroll

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit is het vijfde artikel in een reeks over de logica van Lewis Carroll. Na de eerste twee inleidende artikelen, beschreven de derde en de vierde een tweetal methoden die Carroll had ontwikkeld om de conclusies van syllogismen en sorites te bepalen; beide methodes zijn onderdeel van zijn symbolische logica en hebben een sterk visueel karakter[1]. Het onderwerp van dit en het volgende artikel is een tweetal paradoxen die Carroll in respectievelijk 1894 en 1895 publiceerde in het tijdschrift Mind.
Velen beschouwen deze paradoxen als Carrolls meest waardevolle bijdragen aan de logica[2]. Bertrand Russell noemde de beide paradoxen in een radio-interview in 1942 als illustratie van Carrolls bijzondere kwaliteit als bedenker van puzzels. Hij voegde daar aan toe dat het een hele klus was om er een oplossing voor te vinden en karakteriseerde ze expliciet als het beste werk dat hij had geleverd[3].
De betreffende artikelen in Mind zijn:
– A Logical Paradox (1894),
What the Tortoise Said to Achilles (1895).
Carroll leverde zelf geen oplossing bij deze paradoxen. Ze zijn veelvuldig besproken en bediscussieerd door logici en filosofen doch die discussies leverden geen overeenstemming over wat de moraal van het verhaal is.
Carroll gebruikte zijn pseudoniem bij beide artikelen en vanwege hun stijl zijn ze ook als literair werk te zien. Wellicht daardoor zijn diverse commentatoren van oordeel dat Carroll er geen bijzondere interpretatie mee voor ogen had en zich zelfs niet volledig bewust was van hun belang. Maar beide artikelen waren wel degelijk bedoeld als serieuze bijdrage aan de logica.
Het thema van de paradoxen betreft hypotheticals, hypothetische of voorwaardelijke uitspraken in de vorm ‘als …. dan ….’. De zin die wordt voorafgegaan door ‘als’ wordt ook wel antecedens of protasis genoemd, de zin die wordt voorafgegaan door ‘dan’ het wel consequens of apodosis.
Uit zijn dagboekaantekening wordt duidelijk dat Carroll in de jaren ’90 werkte aan een theorie over hypothetische uitspraken, die vermoedelijk bedoeld was voor een van de latere delen van Symbolic Logic. Ten gevolge van zijn dood in 1898 bleef Symbolic Logic echter beperkt tot één deel. Carrolls theorie over hypothetische uitspraken kan slechts gedeeltelijk worden gereconstrueerd uit zijn geschriften en wordt niet beschreven in de door Bartley teruggevonden manuscripten voor Symbolic Logic Part II[4].

Hypothetische uitspraken waren ten tijde van Lewis Carroll stevig in discussie, zoals onder meer blijkt uit de noot die Carroll toevoegt aan A Logical Paradox in Mind.
Daarin noemt hij deze paradox een reëel probleem dat al enige tijd het onderwerp is van een debat tussen logici en aanleiding geeft tot duidelijke meningsverschillen. Hij bepleit dat de discussie wordt voortgezet teneinde overeenstemming te bereiken over de aard van hypothetische uitspraken en de wijze waarop we ermee moeten omgaan[5].

De Barbershop Paradox, zoals A Logical Paradox ook wel genoemd wordt, is het onderwerp van dit artikel; het gaat over het proces van redeneren van premisse naar conclusie. What the Tortoise Said to Achilles wordt besproken in het volgende artikel; dat gaat over de rechtvaardiging van de gevolgtrekking als geheel.
Ter verduidelijking geef ik hier nu eerst een korte uitleg van het begrip paradox.

Paradoxen

In het dagelijks spraakgebruik is een paradox een uitspraak die tegen de algemene opvatting of tegen gezond verstand in gaat. De term paradox gaat terug tot de Griekse oudheid en betekent letterlijk ‘ongelooflijk’. De bekendste klassieke paradoxen zijn afkomstig van Eubilides (4e eeuw v. Chr.) en Zeno van Elea (5e eeuw v. Chr). Eubilides kennen we vooral van de paradox van de leugenaar: Als een man zegt: “Ik vertel een leugen” en daarbij de waarheid spreekt, vertelt hij dus een leugen en daarom spreekt hij onwaarheid. Maar als hij onwaarheid spreekt, vertelt hij geen leugen en spreekt hij dus de waarheid.
Zeno’s paradoxen gaan vooral over de (on)mogelijkheid van beweging en verandering. Bekend zijn o.a. zijn paradox van de dichotomie en de daaraan verwante paradox van Achilles en de schildpad. De paradox van de dichotomie beargumenteert dat het onmogelijk is om een tevoren bepaalde afstand te overbruggen. Om deze afstand te overbruggen moet men namelijk eerste de helft van de afstand afleggen. Maar daartoe moet men eerst de helft van deze afstand (de eerste helft dus) overbruggen; ook daarvan moet weer eerst de helft worden afgelegd, enzovoorts. Omdat afstanden oneindig deelbaar zijn, is het dus onmogelijk een tevoren bepaalde afstand in zijn geheel te overbruggen.
In mijn volgende artikel zal ik aandacht aan besteden aan de paradox van Achilles en de schildpad.

Er wordt onderscheid gemaakt tussen retorische en logische paradoxen[6].
Een retorische paradox is een stijlfiguur waarbij onverenigbare ideeën naast elkaar worden geplaatst om een onverwacht effect te bereiken. Een voorbeeld is het volgende citaat uit Animal Farm van George Orwell: “Alle dieren zijn gelijk maar sommige zijn meer gelijk dan andere”.

In de filosofie en de logica spreken we van een paradox als een verzameling van uitspraken die elk op zich plausibel zijn, gezamenlijk inconsistent is, dat wil zeggen echt inconsistent en niet schijnbaar inconsistent. Men kan een logische paradox ook zien als een argument met als conclusie dat de premissen onderling niet verenigbaar zijn.
Ik illustreer dit met een voorbeeld, ook afkomstig van Eubilides:

  1. Jij hebt geen horens.
  2. Als je iets niet verloren hebt, heb je het nog steeds.
  3. Je hebt geen horens verloren.
    – Deze uitspraken zijn allemaal waar. Maar ze zijn onderling inconsistent:
  4. Uit (2) en (3) volgt: Je hebt (nog steeds) horens.
  5. (4) is in tegenspraak met (1).

Het probleem is hier dat (2) alleen maar geldt in de omstandigheid dat je het ding waar sprake van is, daadwerkelijk in je bezit had. De redenering gaat dus uit van een onjuiste vooronderstelling.

Lewis Carroll was gefascineerd door paradoxen. Hij definieerde ze als uitspraken die tegen de verwachting ingaan met als belangrijkste eigenschap dat ze iets schijnen te bewijzen waarvan we weten dat het onwaar is[7].
Onder de vele puzzels die Lewis Carroll heeft bedacht zijn ook heel wat paradoxen. Zo presenteert hij ook eigen varianten van de paradox van de leugenaar, bijvoorbeeld de paradox die hij de titel Crocodilus heeft gegeven[8]. Het verhaal gaat als volgt.
Een krokodil heeft een baby weggepakt van de oevers van de Nijl. De moeder smeekt de krokodil om de baby terug te geven. De krokodil antwoordt: “ Als je goed voorspelt wat ik met de baby ga doen, zal ik de baby teruggeven, zo niet dan zal ik de baby verslinden.”
“Je gaat hem verslinden!” roept de moeder.
De krokodil reageert als volgt: “Ik kan de baby niet teruggeven. Want als ik dat doe betekent dit dat je onwaarheid hebt gesproken en ik heb je gewaarschuwd dat ik hem in dat geval zal verslinden.”
“Integendeel,” zegt de moeder nu. “Je kunt de baby niet verslinden, want als je dat doet, spreek ik de waarheid en je hebt beloofd hem terug te geven als ik de waarheid spreek.”
Carroll voegt hier nog aan toe dat hij er wel van uit gaat dat de krokodil zijn woord houdt en dat zijn eergevoel groter is dan zijn trek in baby’s[9].

De Barbershop Paradox

De Barbershop Paradox is volgens Hugo Brandt Corstius misschien wel Carrolls diepzinnigste bijdrage aan de logica[10]. Hij is ontstaan uit de correspondentie van Lewis Carroll, die als wiskundige was aangesteld bij de Universiteit van Oxford, met John Cook Wilson, die hoogleraar logica was in Oxford in de periode 1889-1915. Carroll vermeldt de correspondentie veelvuldig in zijn dagboeken en laat er geen misverstand over bestaan dat het een heftig dispuut was. Het is overigens dankzij de nalatenschap van Cook Wilson dat veel van Carrolls werk aan de Barbershop Paradox bewaard is gebleven. Dat mag gerust ironisch worden genoemd omdat Cook Wilson het verachtte[11].
Er zijn tenminste elf versies van de paradox en Carroll stuurde deze aan diverse Britse logici. Hij verzameld hun reacties,  vergeleek ze en antwoordde[12].
Naar aanleiding van de commentaren schreef hij uiteindelijk de versie die hij op 3 mei 1894 naar Mind stuurde. Na de publicatie werd het (ook nog na zijn dood) in Mind door Britse logici bediscussieerd[13].

De versie die in Mind verscheen onder de titel A Logical Paradox is geschreven als een dialoog tussen oom Jim en oom Joe. Carroll neemt zelf geen positie in.
Het draait om een kapperszaak met drie kappers, Allen, Brown en Carr.
Er gelden twee regels:

  1. De drie mannen mogen niet tegelijk de winkel verlaten.
    – Dat betekent dat als Carr buiten is, het volgende geldt: als Allen buiten is, dan moet Brown in de zaak zijn.
  2. Allen is ziek en kan de zaak niet verlaten zonder het gezelschap van Brown.
    – Dat betekent het volgende: Als Allen buiten is, moet Brown ook buiten zijn.

Laten we aannemen dat Carr buiten is. Uit (1) volgt dan: Als Allen buiten is, dan is Brown binnen, maar dat is onverenigbaar met (2). Dus de veronderstelling dat Carr  buiten is leidt tot een absurditeit en via reductio ad absurdum kunnen we concluderen dat Carr niet buiten kan zijn en dus binnen is.

Dit resultaat is paradoxaal want we kunnen eenvoudig aantonen dat Carr wel degelijk naar buiten kan zonder de regels (1) en (2) te schenden: Carr kan immers buiten zijn als Allen en Brown beiden in de zaak zijn.
Dit wordt duidelijk uit wat tegenwoordig een ‘waarheidstafel’ heet en dat is wat Carroll zelf presenteerde in zijn versie van het probleem van september 1894 (dus ná de publicatie in Mind)[14].
Hij duidde daarbij de uitspraken aan met de letters A, B en C:

A:          Allen is buiten
B:          Brown is buiten
C:          Carr is buiten.

Waarheid en onwaarheid geven we respectievelijk weer met de letters w en o (Carroll gebruikte hiervoor t – true, and f – false)
Carroll presenteerde de volgende tabel met 8 mogelijke combinaties voor de uitspraken A, B en C[15].

  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
A w w w w o o o o
B w w o o w w o o
C w o w o w o w o

Op basis van regel (1) is variant 1 uitgesloten: minstens één van de drie mannen moet immers binnen zijn.
Op basis van regel (2) zijn de 3e en de 4e variant uitgesloten want Brown moet met Allen mee als deze naar buiten gaat.
Van de overgebleven varianten maken de 5e en de 7e het mogelijk dat Carr naar buiten gaat.

De diverse reacties op Carrolls paradox ten tijde van zijn leven concentreerden zich vooral op de onverenigbaarheid van de twee proposities ‘Als Allen buiten is, dan moet Brown binnen zijn’ en ‘Als Allen buiten is, dan moet Brown buiten zijn’.
Bertrand Russell gaf in 1903 de oplossing die tegenwoordig algemeen geaccepteerd wordt: hij beschouwde het als de zgn. paradox van de materiële implicatie[16].
In 1950 presenteerden Burks en Copi nog een andere oplossing met behulp van de door hen gedefinieerde causale implicatie; deze implicatie is slechts waar als er een oorzakelijke relatie bestaat tussen antecedens en consequens[17].

Materiële implicatie

De discussie over de aard van de implicatie en in het bijzonder de materiële implicatie in de logica gaat terug tot de oudheid[18]. Waarschijnlijk was Philo van Megara (4e eeuw v. Chr.) de eerste verdediger van de materiële implicatie. We vinden het onderwerp ook bij de Stoicijnen (3e eeuw v Chr.); zij waren de eersten die zich bezig hielden met propositielogica en de materiële implicatie speelt een belangrijke rol in de propositielogica.
De propositielogica gaat  over de relatie tussen twee of meer proposities; proposities zijn uitspraken die waar of onwaar zijn. Zoals eerder gememoreerd nam de propositielogica een hoge vlucht op basis van Freges Begriffschrift (1879), dat overigens in het Verenigd Koninkrijk pas bekend werd door Bertrand Russell in het begin van de 20e eeuw.

Sinds het werk van Frege wordt de materiële implicatie geaccepteerd als een operator uit de propositielogica. De materiële implicatie wordt weergegeven als ‘P → Q’, ofwel ‘als P dan Q’.
De operatoren van de propositielogica kunnen worden gedefinieerd door waarheidstafels. Voor de materiële implicatie ziet dat er als volgt uit. Er wordt een overzicht gegeven van de mogelijke varianten ‘waar/onwaar’ voor antecendens en consequens en de gevolgen daarvan voor de materiële implicatie (waarbij w voor ‘waar’ staat en o voor ‘onwaar’):

P Q P → Q
w w w
w o o
o w w
o o w

Hierdoor wordt duidelijk dat P → Q alleen onwaar is als P waar is en Q onwaar. Opvallend daarbij is dat P ® Q waar is als P onwaar is. M.a.w. een onware uitspraak impliceert elke uitspraak, ongeacht of die uitspraak zelf waar of onwaar is.
Een voorbeeld: de uitspraak ‘Als de maan van hout is, is de aarde rond’ is waar, omdat de maan niet van hout is, en de antecedens dus onwaar is.

Een ander gevolg van deze definitie is ook dat een ware uitspraak volgt uit elke willekeurige uitspraak: de implicatie P ® Q is namelijk alleen onwaar  als P waar is en Q onwaar; dus de waarheid van Q is voldoende om de implicatie waar te maken.
In ons voorbeeld: de uitspraak ‘Als de maan niet van hout is, is de aarde rond’ is ook waar.

De wijze waarop ‘als … dan …’ wordt gebruikt in de materiële implicatie, kan natuurlijk verwarring veroorzaken. We kennen immers ook de strikte implicatie (waarbij het uitgesloten is dat de antecedens waar is en de consequens onwaar)[19] en een causale implicatie (waarbij er een oorzakelijk verband is tussen antecedens en consequens). Deze liggen dichter bij het gebruik van ‘als .. dan ..’ in de natuurlijke taal dan de materiële implicatie. Voor de materiële implicatie zijn inhoudelijke relaties of zelfs betekenis niet relevant. Het is een waarheidsfunctie, d.w.z. alleen waarheid en onwaarheid zijn relevant.

Er zit hier een spanning tussen de logica en de omgangstaal en we zijn geneigd de materiële implicatie als paradox te zien, omdat we er, zoals in ons voorbeeld, van uitgaan dat de materie van de maan en de vorm van de aarde niet relevant voor elkaar zijn.
Hoe is de materiële implicatie nu van toepassing op de Barbershop paradox?
In de kapperszaak gelden de volgende regels:

  1. De drie mannen mogen niet tegelijk de winkel verlaten.
    – Dat betekent dat als Carr buiten is, het volgende geldt: als Allen buiten is, dan moet Brown in de zaak zijn.
  2. Allen is ziek en kan de zaak niet verlaten zonder het gezelschap van Brown.
    – Dat betekent het volgende: Als Allen buiten is, moet Brown ook buiten zijn.

Hierbij zien we dat bij beide regels ‘Als Allen buiten is’ voorkomt als antecedens. Maar stel dat dit onwaar is (en Allen dus binnen blijft). Dan is de betreffende materiële implicatie waar ongeacht de vraag of de consequens waar of onwaar is: Brown kan binnen of buiten zijn en Carr idem. En de regels kloppen dan ook: als Allen (die niet alleen naar buiten mag volgens regel 2) binnen blijft, is vervolgens alles mogelijk omdat er dan immers altijd iemand binnen is (conform regel 1). Dit resultaat komt dus overeen met de eerder gepresenteerde tabel van Carroll waar Carr in de 5e en 7e variant naar buiten kon.

Lewis Carroll en de materiële implicatie

Uit de waarheidstafel die Carroll zelf in 1894 opstelde, blijkt dat hij vertrouwd was met het principe van de materiële implicatie. Alhoewel hij nergens expliciet heeft aangegeven dat hij deze accepteerde, is er reden om aan te nemen dat hij op zijn minst neigde naar acceptatie maar dat hij zich er ongemakkelijk bij voelde. Hij formuleerde ook een aantal problemen die ermee samenhingen[20]. Dat ongemak kan ermee te maken hebben dat Carroll bij zijn logica veel waarde hechtte aan gemak en consistentie, maar ook aan de aansluiting bij het dagelijkse leven: symbolische logica mocht niet te ver af staan van het gewone volk. En de materiële implicatie is, bezien met gezond verstand, immers enigszins contra-intuïtief.

In een analyse van de relatie tussen Carrolls logica en humor beweert Peter Alexander dat Carroll (al dan niet bewust) gebruikt maakte van de materiële implicatie om in de Alice-boeken een kader te creëren waarbinnen absurditeiten aanvaardbaar worden[21]. Volgens deze analyse beginnen beide Alice-boeken met een onwaarheid die ons, zodra we deze aanvaarden, ertoe brengt de absurditeiten van de beide verhalen als acceptabele logische consequentie te zien.
Deze ‘onwaarheden’ zijn de volgende:

  • Voor Alice’s Adventures in Wonderland: “Kleine meisjes kunnen afdalen in een konijnenhol en een wereld met vreemde wezens ontdekken.”
  • Voor Through the Looking-Glass: “Achter spiegels in huizen bevinden zich andere huizen waar alles omgekeerd is, en door de spiegels kunnen we daar naar binnen gaan.”

Opvallend is overigens dat dit patroon niet te herkennen is in Sylvie and Bruno; dit zou volgens Alexander de verklaring kunnen zijn dat dit werk aanmerkelijk minder sprankelend is dan de beide Alice-boeken.

Impact

Lewis Carroll was in de jaren ’90 bezig met een theorie over hypothetische uitspraken; indien en voor zover hij deze voltooid heeft, is daar niets meer van teruggevonden.
Zijn werk op dat gebied bracht hem wel meer bekendheid bij zij logici-tijdgenoten dan te voren, omdat hij Barbershop Paradox al vóór de publicatie in Mind had rondgestuurd en met andere logici erover had gecorrespondeerd. Ook na de publicatie bleef het tot 1905 een onderwerp van debat tussen de leidende Britse logici.
De neerslag van deze discussie in correspondentie en wetenschappelijke publicaties biedt een uitstekend beeld van de Britse logica in de laatste twee decennia van de 19e eeuw. De standpunten maken met name duidelijk hoeveel problemen de klassieke en symbolische logici hadden om elkaar te begrijpen.
Dit is een duidelijk voorbeeld van het nut van de studie van Carrolls logische werk: het is een waardevolle introductie voor een goed begrip van de Britse logica in de tweede helft van de 19e eeuw waarin een overgang plaats vond van de traditionele logica naar de symbolische logica[22].

Voetnoten

[1] Alle vier de eerdere artikelen zijn gepubliceerd in Phlizz, het online magazine van het Lewis Carroll Genootschap, https://lewiscarrollgenootschap.nl/phlizz/
[2] Zie Moktefi 2008.
[3] Zie Russell 1996: “I think he was very good at inventing puzzles in pure logic. When he was quite an old man, he invented two puzzles he published in a learned periodical, Mind, to which he didn’t provide answers. And the providing of answers was a job, at least so I found it.” [p.525]. En: “The best work he ever did in that line was the two puzzles that I spoke of “ [p.528].
[4] Bartley 1977.
[5] “ The paradox of which the foregoing paper is an ornamental presentment, is, I have reason to believe, a very real difficulty in the Theory of Hypotheticals. The disputed point has been for some time under discussion by severel practised logicians, to whom I have submitted it; and the various and conflicting opinions, to which my correspondence with them has elicited, convince me that the subject needs further consideration, in order that logical teachers and writers may come to some agreement as to what Hypotheticals are, and how they ought to be treated.” [Carroll 1894, p.438].
[6] Zie Rescher 2001.
[7] ”… according to etymology, ‘things contrary to expectation’, whose characteristic Attribute seems to be that they seem to prove what we know to be false.” [Bartley 1986, p.423].
[8] Zie Bartley 1977, p.425.
[9] “We assume, of course, that he was a Crocodile of his word; and that his sense of honour outweighed his love of Babies” [Bartley 1977, p.425].
[10] Onder het pseudoniem ‘Raoul Chapkis’: Chapkis 1965, p.9.
[11] Zie bijvoorbeeld Geach 1978. Het oordeel van Geach over Cook Wilson laat aan duidelijkheid niets te wensen over:” Naturally, Wilson was himself an execrably bad logician” [op.cit. p. 123].
[12] Het betreft Bartholomew Price, John Alexander Stewart, Herbert William Blunt, Henry Sidgwick, James Welton en Francis Bradley [Moktefi 2008, p.490].
[13] In Mind verschenen bijdragen van W.E. Johnson (1894 en 1895), Alfred Sidgwick (1894 en 1895), Hugh MacColl (1897 en 1900), E.C.C. Jones (1905), John Cook Wilson (1905) en Bertrand Russell (1905) [Moktefi 2008, p.491].
[14] Opgenomen in Abeles (ed.) 2010, pp.123-128.
[15] In de eerdere versies van de paradox gebruikt Carroll letters voor verzamelingen, maar later, zoals in deze waarheidstafels, voor proposities. Dat wil echter niet zeggen dat zijn symbolische logica zich uitstrekte tot de propositielogica: die beperkte zich tot syllogismen en sorites met categorische uitspraken over eigenschappen tussen klassen.
[16] Russell 1903.
[17] Burks & Copi 1950.
[18] Tarski 1953, p.28.
[19] Deze implicatie wordt ook wel ‘logische’ implicatie genoemd, doch het gebruik van deze term is niet eenduidig.
[20] Zie Moktefi 2008.
[21] Zie Alexander 1944.
[22] Zie Moktefi 2007.

Literatuur

  • Abeles, Francine (ed.), 2010, The Logic Pamphlets of Charles Lutwidge Dodgson and Related Pieces, New York: Lewis Carroll Society of North America.
  • Abeles, Francine, 2012, ‘Towards a Visual Proof  System: Lewis Carroll’s Method of Trees’, Logica Universalis, Vol. 6, pp.521-534.
  • Alexander, Peter, 1044, ‘Logic and Humour of Lewis Carroll’, Proceedings of the Leeds Philosophical and Literary Society: Literary & Historical Section, Vol. VI, Part I, pp.551-566.
  • Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.
  • Burks, Arthur W. & Irving M. Copi, 1950, ‘Lewis Carroll’s Barbershop Paradox’, Mind, Vol. 59, No. 234, pp.219-222.
  • Carroll, Lewis, 1894, ‘A Logical Paradox’, Mind, Vol. 3, No. 11, pp.436-438.
  • Carroll, Lewis, 1896, ‘What the Tortoise said to Achilles’, Mind, Vol. 4, No. 14, pp.278-280.
  • Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, London: Macmillan.
  • Chapkis, Raoul, 1965, ‘Lewis Carroll’, in Tirade, 97, pp.2-10.
  • Cupillari, Antonella, 2007, Proceedings of the Canadian Society for the History and Philosophy of Mathematics’ Annual Meeting, Concordia University, Montréal, July 27-29, 2007.
  • Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2008, Handbook of the History of Logic, Volume 4, British Logic in the Nineteenth Century, Amsterdam: North-Holland.
  • Geach, Peter T., 1978, ‘Review of Symbolic Logic by Lewis Carroll and W.W. Bartley’, Philosophy, Vol. 53, No. 203, pp.123-125.
  • Moktefi, Amirouche, 2007, ‘Lewis Carroll and the British Nineteenth-Century Logicians on the Barber Shop Problem’, in Cupillari (ed.) 2007, pp. 189-199.
  • Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-506.
  • Rescher, Nicholas, 2001, Paradoxes. Their Roots, Range, and Resolution, Chicago and La Salle, Illinois: Open Court.
  • Russell, Bertrand, 1903. The Principles of Mathematics, Cambridge University Press.
  • Russell, Bertrand, 1996, A Fresh Look at Empirism (1927-42), volume 10 of The Complete Works of Bertrand Russel, edited by John Slater with the assistance of Peter Köllner, London and New York: Routledge, 1996.
  • Tarski, Alfred, 1953, Inleiding tot de logica en tot de methodenleer der deductieve wetenschappen, Amsterdam: Noord-holandse Uitgevers Maatschappij.
Lees verder

Boekbespreking: Humpty Dumpty

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Humpty Dumpty met een vlekje              

In het eerste nummer van Phlizz betoogde Casper Schuckink Kool dat de charme van het verzamelen aanzienlijk is gereduceerd door de komst van het internet. Ik heb geen behoefte om dat te weerspreken. Ik constateer wel dat er iets voor teruggekomen is, zij het dat de compenserende waarde nogal beperkt is.
Ik krijg met enige regelmaat attenderingen op nieuwe uitgaven waar ik niet naar op zoek was, die ook niet echt in mijn verzamelprofiel passen, maar die op een of andere manier door hun curieuze karakter toch mijn nieuwsgierigheid wekken. Het gaat daarbij eigenlijk niet zozeer om verzamelen maar meer om een ongerichte verrassing met enige relatie met Lewis Carroll.  Zo werd ik de min of meer gelukkige bezitter van een logica-leerboekje waarin wordt beweerd dat Lewis Carroll in werkelijkheid  Nathaniel Dodgson heette en van een uitgave van The Game of Logic waarin de diagrammen zijn verprutst tot een curieuze en onlogische verzameling lijnen.

Dit keer werd ik attent gemaakt op een klein boekje dat als titel Humpty Dumpty vermeldt en als auteur Lewis Carroll. Uitgever Createspace Independent Publishing Platform. Aangeboden door Bol.com.

Als productbeschrijving is de volgende informatie te vinden.

Ik kon het niet laten. Bestellen dus.
Het bleek een via printing on demand uitgegeven werkje, 28 pagina’s met grote letters, waarin de doorlopende tekst niet alleen verhaalt over het wel en wee van een mannetje in de vorm van een ei, maar ook instructies bevat voor het plaatsen van illustraties. De illustraties zelf ontbreken echter.
Onderstaande afbeeldingen van de pagina’s 20 en 22 geven een indruk van het resultaat.

Nu vertoont mijn kennis over Lewis Carroll zeker hiaten, zoals al bleek bij de quiz op het recente symposium. Maar het leek mij toch best onwaarschijnlijk dat de tekst, zelfs zonder de voor de drukker bedoelde instructies, van Lewis Carroll afkomstig zou zijn.  Enig speurwerk leverde mij op dat de inhoud (zonder de instructies) afkomstig was van een werkje met de titel Denslow’s Humpty Dumpty. Adapted and Illustrated by W.W. Denslow. Het is uitgegeven door G.W. Dillingham Company, Publishers, New York. Jaar van uitgave 1903, 12 pagina’s, oorspronkelijke prijs 25 cent. Gelukkig bevat dit boekje wel illustraties.

Het verhaal gaat over een mannetje in de vorm van een ei dat zich ongelukkig voelt vanwege zijn kwetsbare huid omdat deze hem verhindert om allerlei activiteiten te ondernemen. Op advies van een kip wendt hij zich tot een boerin die hem hard kookt en van een gekleurd uiterlijk voorziet, d.w.z. hij krijgt rode stippen. Daarna beleeft hij diverse avonturen;  “with a big heart in the right place, for the cheer and comfort of OTHERS”, aldus de heer Denslow.

Het mij door Bol.com geleverde boekje schrijft niet alleen de inhoud ten onrechte aan Lewis Carroll toe, maar bevat ook geen informatie over de herkomst van de tekst. De (Engelse) productbeschrijving op de site van Bol.com gaat over de geschiedenis van de figuur Humpty Dumpty maar niet over de inhoud van het boekje. Bol.com doet zijn best om daar toch nog correcte gegevens aan toe te voegen: bij de specificaties van de inhoud lees ik: “Illustraties: Nee”. Klopt. Bij de overige kenmerken staat echter: “Extra groot lettertype: Nee”. Hoezo “Nee”? Een snelle test heeft uitgewezen dat ik het zonder bril op vier meter afstand kan lezen.

Deze ervaring was voor mij overigens aanleiding de verprutste versie van The Game of Logic nog eens op te slaan (zie mijn vermelding in de 3e editie van Phlizz, “Logic games wordt logic puzzles”). Ik was er tot nu toe nog niet in geslaagd de uitgever te achterhalen, maar de belabberde vormgeving vertoont zoveel gelijkenis met mijn recente aanwinst dat ik nu zonder al te veel moeite kon vinden dat CreateSpace (onderdeel van Amazon) ook daar de uitgever van is. “Publiceer gratis e-books en paperbacks in eigen beheer” vermeldt hun site. Het is mij niet geheel duidelijk waar dat “gratis” op slaat maar voor mij is de lol er na twee keer toch wel af:  op de zwarte lijst dus. En mijn nieuwsgierigheid zal ik dus beter (proberen te) bedwingen.

Lees verder

Boekbespreking: Alice, secret agent of Wonderland

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Alice als geheim agent in een vertekend Wonderland

Regelmatig kijk ik op de site “Lewis Carroll Resources” (https://lewiscarrollresources.net) en recent zag ik daar in de rubriek “Future and recent Carrollian publications” dat onder de titel Alice, Secret agent of Wonderland een nieuw op Alice in Wonderland geïnspireerd stripboek was uitgebracht. Omdat ik geïnteresseerd ben in de wijze waarop de persoon van Alice en het verhaal van de Alice-boeken in hedendaagse cultuur worden geïnterpreteerd, én omdat ik nieuwsgierig was naar de secret agent invalshoek, heb ik het aangeschaft.

Het verhaal gaat als volgt. Alice is een geheim agent, opgeleid door haar zus. Met het oog op haar verdere professionalisering zoekt ze aansluiting bij het team Wonderland waar ze allerlei figuren ontmoet die we herkennen uit de Alice-boeken.

Haar baas Mr. White is altijd te laat voor een of andere afspraak. Mr. Caterpillar is de receptionist, die de voor een receptionist niet ongebruikelijke vraag stelt “Who are you?”. Maddie is een uitvinder, vergelijkbaar met Q in de Bond-films, die voor de agenten speciale gadgets maakt die in hoeden worden verwerkt. Dora is Maddie’s veel slapende kleine zusje. Dee en Dom zijn tweelingbroers die aan vechtsport doen (“Tweedle technique”) en qua uiterlijk nog het meest aan sumo-worstelaars doen denken.

Alice krijgt de opdracht om in te dringen in het tuinfeest van de boosaardige Queenie Heart om haar een of ander geheim wapen te ontfutselen en zo een vroegtijdig einde van de wereld te voorkomen. Alice’s partner en begeleider bij deze opdracht is Kitty, een kat die tijdens het avontuur met enige regelmaat verdwijnt.

Diverse elementen uit de Alice-boeken komen in min of meer willekeurige volgorde in een hoog tempo voorbij. Alice valt door een gat, ze groeit en krimpt, er is een mad tea party en Queenie Heart geeft te pas en te onpas opdracht tot onthoofding.

We herkennen deze figuren enigszins door hun gedrag en uitspraken, of anders wel door hun naam (soms met een toevoeging zoals bij Maddie ”Code name: The Hatter”), maar in mindere mate door hun uiterlijk. Voor Carrollians kan het dan ook best aardig zijn om te zien hoe de illustrator de figuren heeft uitgebeeld.
Maar daarmee is dan ook alles gezegd. Voor kinderen kan de strip een kennismaking inhouden met figuren en (delen van) episodes uit Alice in Wonderland, maar de gelijkenis daarvan met Carroll’s origineel is oppervlakkig en de strip geeft een totaal verkeerd beeld van het “klassieke verhaal”.

We zien een aantal Wonderland-figuren die er samen met Alice op uit gaan om de wereld te redden, wat mij bij een associatie oproept met Tim Burtons film die gebaseerd zou zijn op Through the Looking-Glass. Ook daarin verplaatst een aantal Wonderland-figuren zich over de wereld als een soort “Reddertjes”, die op hun beurt doen denken aan het stelletje muizen in de Disney-film met die naam uit 1977.
Na haar aanvankelijke verbazing past Alice zich zoveel mogelijk aan: ze kan het team Wonderland als gezelschap uiteindelijk wel waarderen, ze wil er wel bij horen. “A little madness can be a good thing” zijn Alice’s laatste woorden in de strip. Dat is wel even andere koek dan de originele uitsmijter “You’re nothing but a pack of cards!”.

Bij Amazon vond ik de volgende aanbeveling: “Experience Alice’s Adventures in Wonderland like never before in this twisted graphic novel retelling for kids.” Twisted novel: inderdaad. Maar retelling?? De serie waarin deze strip is uitgebracht, heet “Far Out Classic Stories” en daarin zijn ook titels  als Peter Pan in Mummyland en Robin Hood Time Traveller verschenen. Zonder deze gelezen te hebben zou ik willen beweren dat met even veel of weinig moeite Alice Time Traveller of Alice in Mummy Land hadden kunnen worden uitgebracht, ware het niet dat deze titels al in een vergelijkbare variant bestaan.

Alice, Secret Agent of Wonderland. A Graphic Novel by Katie Schenkel, illustrated by Fern Cano.
Far Out Classic Stories. Minnesota: Stone Arch Books, 2020.
40 pagina’s. Doelgroep: kinderen 8-12 jaar.

Lees verder

Lewis Carrolls logische boommethode

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit is het vierde artikel in een reeks over de logica van Lewis Carroll. De eerste twee artikelen waren enigszins algemeen van karakter en gingen over Carrolls belangstelling voor de logica en de stand van de Britse logica in de 19e eeuw. Het derde artikel behandelde Carrolls logische diagrammen[1]. Deze diagrammen waren één van Carrolls methoden om een groot publiek vertrouwd te maken met logica. Vanwege het visuele karakter zijn ze een goede illustratie van Carrolls streven om de logica te populariseren. Lewis Carroll had nog een sterk visuele methode voor de oplossing van logische problemen, namelijk zijn Method of Trees ofwel Boommethode.
In Carrolls dagboekaantekeningen van 16 juli 1894 lezen we over de ontdekking van deze methode die hij, met een verwijzing naar de vorm van een omgekeerde boom, de voorlopige benaming ‘genealogische methode’ gaf[2]. De boommethode komt niet voor in het eerste deel van Symbolic Logic dat uitkwam in 1896, maar was onderdeel van Carrolls manuscript voor het door hem geplande tweede deel van Symbolic Logic. Dit tweede deel is, als gevolg van zijn dood in 1898, echter onvoltooid gebleven. Pas in 1977 werd een aantal manuscripten ontdekt door W.W. Bartley III, die daarmee een reconstructie heeft gemaakt van het tweede deel van Symbolic Logic[3].
Door die late ontdekking hebben tijdgenoten van Carroll echter geen kennis kunnen nemen van zijn methode. Ten tijde van de ontdekking in 1977 was de logica ingrijpend veranderd, maar het principe van zijn methode was nog steeds toepasbaar. Sterker nog, er waren inmiddels nieuwe technieken ontwikkeld op basis van ditzelfde principe. Hoewel er daardoor geen directe behoefte meer is aan Carrolls uitwerking, is zijn boommethode nog steeds interessant. Hij is een goed voorbeeld van zijn aanpak van en kijk op de logica en tevens een illustratie van de mate waarin hij vooruitliep op toekomstige ontwikkelingen.
Hieronder ga ik eerst algemeen in op de aard van de boommethode, vervolgens schets ik, met behulp van een voorbeeld, Carrolls aanpak en ik sluit af met een evaluerende paragraaf.

Het principe van logische bomen of logische tableaus

Het gebruik in de logica van grafische methoden in de vorm van een boom gaat op zijn minst terug tot de Boom van Porphyrius in de 3e eeuw. Het ging hierbij vooral om een verdeling genera – species, geslacht- en soortbegrippen, gebaseerd op Aristoteles’ categorieën. Mogelijk maakte ook Aristoteles al gebruik van boomstructuren.
We zien de Boom van Porphyrius terug bij Ramon Llull als Arbor Scientiae (1296) en ook bij Leibniz in de tweede helft van de 17e eeuw[4].

De logische boommethode van Lewis Carroll heeft echter een ander karakter. Deze methode komen we sinds de jaren ’50 van de vorige eeuw regelmatig tegen in verschillende variaties en ook in diverse takken van de logica; hij wordt daar vaak aangeduid als de methode van logische tableaus. Ondanks alle variaties heeft de methode steeds een aantal duidelijke karakteristieken[5].

De crux van de methode zit in het gebruik van reductio ad absurdum.
Er is een variëteit aan definities van definities van reductio ad absurdum[6]. In het dagelijks spraakgebruik bedoelt men meestal de debattechniek waarmee wordt beargumenteerd dat het standpunt van de opponent implicaties heeft die bizar zijn, onacceptabel of gewoon onjuist.
In de formele logica wordt de mathematische variant van de reductio gehanteerd. Dat is een redeneervorm met de volgende stappen:[7]

  1. introduceer als aanname het omgekeerde van wat je wilt bewijzen;
  2. leid een tegenspraak af uit deze aanname;
  3. bevestig de gewenste conclusie als een logische consequentie van deze tegenspraak.

Ik geef een eenvoudig voorbeeld. Stel je wilt aantonen dat de wereld rond is. Aangezien de wereld ofwel rond ofwel plat is, moet je als eerste stap aannemen dat de wereld niet rond is maar plat. Dat zou betekenen dat we van de wereld vallen, als we maar lang genoeg doorlopen. Omdat dit duidelijk niet het geval is, betekent dit dat de wereld niet plat is. Dit is in tegenspraak met onze aanname (stap 2). De logische consequentie is dan dat de wereld rond is, omdat hij ofwel rond ofwel plat is (stap 3).
Deze redeneervorm veronderstelt twee door Aristoteles geformuleerde principes:

  • het principe van contradictie: Er is geen ding waarop zowel de eigenschap P als de eigenschap niet-P van toepassing is, en
  • het principe van het uitgesloten derde: Op ieder ding is P of niet-P van toepassing[8].

Een logische boom- of tableaumethode begint dus met een aanname die het omgekeerde is van wat we willen bewijzen. Voor dit bewijs wordt de aanname ‘afgebroken’, d.w.z. gesplitst in verschillende mogelijke gevallen, alternatieve scenario’s en deze worden weergegeven als takken van een boom.
Het gaat er vervolgens om voor al deze takken afzonderlijk aan te tonen dat ze tot een tegenspraak leiden. De betreffende tak wordt dan ‘gesloten’. De methode kent regels die de voorwaarden aangeven waaronder de verschillende takken gesloten kunnen worden. Als iedere tak gesloten is, wordt gezegd dat de boom of het tableau zelf gesloten is. Een gesloten tableau dat begint met de bewering dat A niet geldig is, betekent een tableau-bewijs van A.
De vorm van het tableau is een omgekeerde boom, met vertakkingen naar beneden.

Omdat ten tijde van Lewis Carroll categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen, overheersend waren in de formele logica, gebruikte hij zijn boommethode voor redeneringen met categorische uitspraken. Later is de methode vooral vaak toegepast in de propositielogica en de uitbreiding daarvan in de predicatenlogica. Propositielogica gaat over de relaties tussen proposities, d.w.z. uitspraken die waar of onwaar zijn.
Als bijvoorbeeld A en B proposities zijn, dan zijn ‘en’ en ‘of’ mogelijke relaties tussen A en B, met als resultaat de samengestelde proposities ‘A en B’ en ‘A of B’.
In de oudheid was bij de Stoicijnen (4e eeuw BC) al sprake was van propositielogica en ook in de Middeleeuwen (Pierre Abelard, 12e eeuw). Carrolls tijdgenoot George Boole zette een flinke stap voorwaarts met een symbolische propositielogica, maar de basis van de moderne propositielogica danken we aan Gottlob Frege’s Begriffschrift uit 1879,  een werk dat bij de Britse logici pas in de 20e eeuw bekend werd dankzij Bertrand Russell.  In de symbolische logica van  Lewis Carroll vinden we geen propositielogica.

In feite is de propositielogica de eenvoudigste vorm van logica. Daarom zal ik het principe van de boommethode uitleggen aan de hand van een voorbeeld uit de propositielogica. In de volgende paragraaf zullen we de toepassing van Lewis Carroll zien voor redeneringen met categorische uitspraken; deze is ingewikkelder en daardoor minder geschikt als illustratie van de methode voor lezers die er nog niet mee vertrouwd zijn.

Voor een goed begrip van het voorbeeld zijn wel twee zaken nodig:

  • een overzicht van de belangrijkste symbolen van de propositielogica;
  • een overzicht van de geldende regels, bepalingen, voor zover relevant voor ons voorbeeld.

De belangrijkste symbolen uit de propositielogica zijn de volgende[9]:

Relevante bepalingen uit de boommethode voor propositielogica[10]:

Gebruikmakend van deze symbolen en bepalingen, geef ik nu een voorbeeld in de propositielogica. We gaan de juistheid checken van de volgende redenering (met voorbeeld-uitspraken voor A, B en C, ter verduidelijking):

We gaan voor deze check nu uit van de ontkenning van de conclusie (d.w.z. ‘Het is niet zo dat als A dan C’), die we toevoegen aan de hypothesen. Het is de bedoeling om aan te tonen dat deze ontkenning van de conclusie in alle gevallen tot een tegenspraak leidt.
We construeren nu als volgt een boom:

Weergegeven in een boomstructuur ziet dat er als volgt uit:
(Met ‘X’ wordt aangegeven dat een tak afgesloten is)

Uitgaande van de hypotheses in regel 1 en 2, leidt de ontkenning van de gewenste conclusie (regel 3) in alle gevallen tot een tegenspraak. Daarmee is aangetoond dat de gewenste conclusie AC  juist is.

Carrolls boommethode

Zoals in de vorige artikelen naar voren kwam, hield Carrolls symbolische logica zich bezig met redeneringen in de vorm van syllogismen (twee premissen en een conclusie) of van sorites (meer dan twee premissen en een conclusie). Centraal daarbij stond het zgn. eliminatieprobleem: het onttrekken aan informatie aan de vooronderstellingen om een conclusie te formuleren. Zowel de premissen als de conclusie hadden in syllogismen en sorites de vorm van categorische uitspraken: uitspraken over verzamelingen.
Carroll had al een aantal methoden ontworpen voor het eliminatieprobleem, waaronder zijn logische diagrammen, maar hij vond deze methoden niet bevredigend als er sprake was van een groot aantal premissen. Daartoe bedacht hij de boommethode. Voor zover nu bekend was Lewis Carroll de eerste die de hierboven beschreven logische boommethode gebruikte.

Carroll hanteerde de boommethode om de juistheid van een conclusie te bewijzen. Eerder had hij al een mechanische methode ontworpen om te bepalen welke termen uit de premissen zouden moeten voorkomen in de conclusie (retinends) en welke termen geëlimineerd zouden moeten worden (eliminands)[11].

Essentieel voor de boommethode was, zoals gezegd, het gebruik van reductio ad absurdum, een redeneerwijze waarmee Carroll meer dan vertrouwd was.
Carroll was een bewonderaar van de Griekse wiskundige Euclides (ca. 300 v. Chr.), die veelvuldig gebruik maakte van reductio ad absurdum.  In zijn voornaamste werk (Elementen) presenteerde Euclides zijn meetkunde als een samenhangend systeem, afgeleid uit een beperkte set axioma’s. In Euclid and his Modern Rivals uit 1879 verdedigde Carroll Euclides’ Elementen tegenover tijdgenoten die het wilden vervangen door moderne meetkunde-leerboeken. Ook in de Alice-boeken komen we regelmatig vormen van reductio ad absurdum tegen[12].

Carrolls boommethode vertoont enige verwantschap met de methode van het Antilogisme van zijn tijdgenote Christine Ladd-Franklin. Zij ontwierp deze methode voor het testen van de juistheid van de conclusie op basis van een vorm waarin alle syllogismen kunnen worden gegoten, uitgaande van de premissen en de ontkenning van de conclusie (“an inconsistent triad”). Deze methode is te vinden in een publicatie uit 1883; Carroll had deze publicatie in zijn bezit en nam er (met verwijzing) ook enkele voorbeelden uit over[13]. Het lijkt daarom niet onwaarschijnlijk dat hij door Ladd-Franklins artikel beïnvloed is, doch hij legt de link niet bij de beschrijving van zijn methode[14].

Ik zal nu een voorbeeld geven van Carrolls gebruik van de boommethode voor een sorites met 7 premissen. Het is afkomstig van Carroll en ontleend aan Symbolic Logic, part II[15].
Het voorbeeld werkt op basis van de hierboven beschreven principes, maar wordt dus toegepast op categorische uitspraken. Het is in vergelijking met de andere voorbeelden die Carroll geeft, nog relatief eenvoudig.

Om het voorbeeld te kunnen volgen, geef ik nu eerst een overzicht van de door Carroll zelf ontworpen en gebruikte notatie.

Het voorbeeld gaat uit van zeven premissen:

In een boomstructuur ziet dat er als volgt uit[16]:

(Een afgesloten tak wordt aangegeven met ‘Ο’)

Zoals gezegd, was dit nog een relatief eenvoudig voorbeeld. Ter illustratie geef ik hier de boom weer voor een sorites met 26 premissen: [17]

Betekenis en impact

Mechanische technieken en apparaten hadden een bijzondere aantrekkingskracht op Lewis Carroll. Hij had een elektrische pen en een chromograaf, die beide als voorloper van de typemachine kunnen worden beschouwd. Hij bedacht een ‘nyctograaf’ als hulpmiddel om in het donker te kunnen schrijven en experimenteerde met verschillende coderingsmethoden. Hij bracht een bezoek aan Charles Babbage doch moest tot zijn teleurstelling constateren dat door Babbage beschreven ‘analytical engine’ nog slechts in zijn hoofd bestond.
Met zijn boommethode was Lewis Carroll de eerste in de moderne tijd die een mechanische procedure ontwierp om de geldigheid aan te tonen van de conclusie van een ingewikkeld probleem[18]. Deze uitvinding had echter geen directe impact, mede omdat Carroll er niet over communiceerde met zijn vakgenoten en het zou tot 1977 duren voordat zijn vinding ‘ontdekt’ werd. In de tussenliggende tijd was niet alleen de logica ingrijpend veranderd maar hadden ook andere logici vergelijkbare methoden ontworpen die aansloten bij de ontwikkelingen van de logica.

Sinds de jaren ‘50 van de vorige eeuw worden boomstructuren gebruikt in computerprogramma’s om wiskundige stellingen te bewijzen; daarbij wordt veelvuldig gebruik gemaakt van reductio ad absurdum. De moderne boommethode voor propositie- en predicatenlogica vindt zijn oorsprong in het werk van Gerhard Gentzen uit 1934. Dit inspireerde de Nederlandse logicus Evert Beth tot zijn tableaumethode die sterke overeenkomsten vertoont met de boommethode van Carroll. Beth presenteerde zijn tableaumethode voor het eerst in een lezingencyclus in Parijs op 31 maart 1954. Maar de betreffende tekst werd pas uitgegeven in 1955 en intussen had de Fin Jaakko Hintikka een vergelijkbaar idee gekregen. Beth en Hintikka publiceerden min of meer gelijktijdig en onafhankelijk van elkaar. De door Beth en Hintikka beschreven methode werd vervolgens voortgezet door o.a. Smullyan en Jeffrey. De tableaumethode was een belangrijke stap in de ontwikkeling van de geautomatiseerde bewijsvoering[19].

Op basis van de tableaus van Beth ontwierp Paul Lorenzen de methode van dialogische tableaus: een formeel spel met de vorm van een discussie tussen een voor- en tegenstander van een uitspraak[20]. De tableaumethode is bijzonder goed bruikbaar voor de dialoogvorm. In dit verband is het opvallend dat Carroll bij de uitleg die hij bij zijn voorbeelden verschaft de vorm kiest van een soliloquy, waarin hij zijn overwegingen verwoordt in een vraag- en antwoordspel met zichzelf.

De boommethode is een illustratie van de specifieke meerwaarde van Carrolls symbolische logica: naast het populariserende, visuele karakter is dat het mechaniseren van logische redeneringen.
Het moet uitgesloten worden geacht dat een van de hierboven genoemde logici kennis had genomen van Carrolls boommethode. Dit doet echter niets af aan het feit dat Carroll met zijn methode anticipeerde op ontwikkelingen in de geautomatiseerde bewijsvoering en daarmee zijn tijd in feite ruim vooruit was.

—–

Voetnoten

[1] Deze artikelen verschenen in 2019 en 2020 in Phlizz, online magazine van het Lewis Carroll Genootschap.

[2] “Today has proved to be an epoch in my Logical work. It occurred to me to try a complex Sorites by the method I have been using for ascertaining what cells, if any, survive for possible occupation when certain nullities are given. I took one of 40 premisses, with ‘pairs’ within pairs,’ and many bars, and worked it like a genealogy, each term proving all its descendants. I came out beautifully, and much shorter than the method I have used hitherto. I think of calling it the ‘Genealogical Method.’” [Wakeling 2005, p.155]

[3] Bartley 1977.

[4] Zie Anellis & Abeles 2016.

[5] Zie Fitting 1999.

[6] Zie Savenije 2017.

[7] Zie bijvoorbeeld Suppes 1957.

[8] De wet van het uitgesloten derde wordt overigens niet universeel geaccepteerd: de intuïtionistische wiskunde, bijvoorbeeld, verwerpt deze wet.

[9] Bij een inclusief ‘of’ is de uitspraak ‘A of B’ waar als één van beide uitspraken waar is maar ook als beide uitspraken waar zijn. Deze laatste mogelijkheid is uitgesloten bij een exclusief ‘of’.

[10] Twee uitspraken A en B zijn equivalent als A dan en slechts dan waar is als B ook waar is.

[11] Ik zie er van af om deze methode, ‘Register of Attributes’ hier uiteen te zetten: hij is niet wezenlijk voor het begrip van de boommethode die uitgaat van een geformuleerde conclusie.

[12] Zie Savenije 2017 en 2019.

[13] Bartley 1977, p.478.

[14] Zie Abeles 1990, Anellis & Abeles 2016.

[15] Bartley 1977, pp.292-295.

[16] Bartley 1977, p.295.

[17] Bartley 1977, p.312.

[18] Abeles 1990.

[19] Abeles 2005, van Ulsen 2001.

[20] Zie Lorenzen & Lorenz 1978.


Literatuur

Abeles, Francine, 1990, ‘Lewis Carroll’s Method of Trees: Its Origins in Studies in Logic’, The Review of Modern Logic, Vol. 1 (1), pp.25-35.

Abeles, Francine, 2005, “From the Tree Method in Modern Logic to the Beginning of Automated Theorem Proving’, in Shell-Gellasch & Jardine (eds.), pp.149-160.

Abeles, Francine & Mark E. Fuller, 2016, Modern Logic 1850-1950, East and West, Birkhäuser.

Anellis, Irving H. & Francine Abeles, 2016, ‘The Historical Sources of Tree Graphs and the Tree Method in the Work of Peirce

and Gentzen’, in Abeles & Fuller (eds.), 2016, pp.35-97.

Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.

Beth, Evert, 1955, Semantic Entailment and Formal Derivability, Amsterdam: North-Holland.

D’Agostino, Marcello, Dov M. Gabbat, Reiner Hähnle & Joachim Posegga (eds.), 1999, Handbook of Tableau Methods, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers.

Fitting, Melvin, 1999, ‘Introduction’, in D’Agostino et al. (eds.), 1999, pp.1-44.

Gentzen, Gerhard, 1934, ‘Untersuchungen über das logische Schliessen’, Mathematische Zeitschrift, vol. 39, pp.176-210, pp.405-431.

Hintikka, Jaakko, 1955, ‘Form and Content in Quantification Theory’, Acta Philosophica Fennica – Two Papers on Symbolic Logic, 8, pp.8-55.

Jeffrey, Richard, 1967, Formal Logic. Its Scope and Limits, New York: McGraw-Hill.

Ladd-Franklin, Christine, 1883, ‘On the Algebra of Logic’, in Peirce 1883, pp.17-71.

Lorenzen, Paul, & Kuno Lorenz, 1978, Dialogische Logik, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft.

Peirce, C.S. (ed.), 1883, Studies in Logic by the Members of the Johns Hopkins University, Boston: Little, Brown & Co.

Savenije, Bas, 2017, ‘Contrariwise. Reductio ad Absurdum in the Alice Books’, dodo/nodo, No. 1, pp.32-43. Zie ook https://bassavenije.nl/pdf/56-2017-Contrariwise.pdf.

Savenije, Bas, 2019, ‘Tweedledee’s Logic: Squaring Reductio ad Absurdum’, in The Carrollian: The Lewis Carroll Journal, No. 32, p. 3-26. Zie ook https://bassavenije.nl/wp-content/uploads/2019/06/Savenije-2019-Tweedledees-Logic.pdf.

Shell-Gellash, Amy & Dick Jardine (eds.), 2005, From Calculus to Computers. Using the Last 200 Years of Mathematics History in the Classroom, Mathematical Association of America.

Suppes, Patrick, 1957, Introduction to Logic, New York: Van Nostrand.

Ulsen, Paul van, 2001, E.W. Beth als logicus, verbeterde elektronische versie van het academisch proefschrift ter verkrijging van de graad van doctor aan de Universiteit van Amsterdam, 2000, https://www.illc.uva.nl/Research/Publications/Dissertations/DS-2000-04.text.pdf.

Wakeling, Edward (ed.), 2005, Lewis Carroll’s Diaries. The private journals of Charles Lutwidge Dodgson (Lewis Carroll), vol. 9, Clifford, Herefordshire: Lewis Carroll Society.

Lees verder

The Lewis Carroll Society (Verenigd Koninkrijk)

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

http://lewiscarrollsociety.org.uk

Bijeenkomsten

Er is op dit moment geen planning bekend van bijeenkomsten van de Britse Lewis Carroll Society.

Andere events in het Verenigd Koninkrijk

Van 27 juni 2020 tot 10 januari 2021 vindt in het Victoria & Albert Museum in Londen een tentoonstelling “Alice: Curiouser and curiouser” plaats. Dit is een uitgebreide versie van de recente tentoonstellingen in Australië en Singapore.
“ Exploring its origins, adaptations and reinventions over 157 years, this immersive and theatrical show charts the evolution of Alice’s Adventures in Wonderland from manuscript to a global phenomenon beloved by all ages”.
Zie ook https://www.vam.ac.uk/exhibitions/alice-curiouser-and-curiouser

Van 7 juli tot 22 augustus 2020 wordt in Lancaster in het Dukes Theatre een toneelbewerking van Alice in Wonderland opgevoerd. Zie https://dukeslancaster.org/whats-on/theatre

Van 4 december 2020 tot 3 januari 2021 is Stag, Sevenoaks, Kent  een pantomime versie van Alice in Wonderland te zien. Zie https://stagsevenoaks.co.uk/film/pantomime-2020-2021-alice-in-wonderland/

Publicaties in het VK

Binnenkort te verschijnen

Once Upon a Story: Alice’s Adventures in Wonderland. Illustrated by Lindsay Dale Scott. Silver Dolphin Books.

Fashioning Alice (Paperback edition). By Kiera Vaclavik. Bloomsbury Academic.

Alice’s Adventures in Wonderland. Illustrated by Chris Riddell. Macmillan.

Recent verschenen

Alice, Secret Agent of Wonderland. Far Out Classic Stories. Graphic novel for children 7-10. By Katie Schenkel. Stone Arch Books.

Alice in Wonderland Syndrome. By Jan Dirk Blom. Springer.
An overview of neurological conditions often decribed as of Alice in Wonderland syndrome.

Little Poet Lewis Carroll: Silly Time (Board Book). By Kate Coombs and Carme Lemniscates. An illustrated book for young children, featuring some of Carroll’s nonsense poems.

Dumpty: The Age of Trump in Verse. Satirische gedichten plus illustraties van John Lithglow over Trump en de zijnen in de afgelopen tijd, geïnspireerd door het werk van A. A. Milne, Lewis Carroll, Edward Lear, Rodgers and Hammerstein, Mother Goose, en vele anderen. Uitgever: Chronicle Prism.

Lees verder

‘Logic games’ wordt ‘logic puzzles’

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Recent schafte ik bij een webwinkel het boekje Logic Games by Lewis Carroll aan. Het kostte bijna niets en de titel maakte me nieuwsgierig; de beschrijving van de webwinkel gaf geen enkele indicatie van de inhoud. Kortom, ik wilde me wel laten verrassen.
De verrassing was dubbel:

  1. Het bleek de inhoud van The Game of Logic te bevatten.
  2. Bij het printen en vermenigvuldigen was het een en ander misgegaan: alle diagrammen waren verminkt tot een onoverzichtelijke brij van horizontale en verticale streepjes. Ook de overgetypte tekst had het productieproces niet ongeschonden doorstaan.

De enige meta-informatie in het boekje zelf luidt als volgt:  “This ebook was created with BackTypo (http://backtypo.com) by Simplicissimus Book Farm.”

Ter illustratie hierbij drie afbeeldingen:

  • de cover van het boekje,
  • een afbeelding met toelichting uit The Game of Logic, Macmillan-editie uit 1887
  • “dezelfde” afbeelding met toelichting uit mijn nieuwe aanwinst.
Lees verder

Lewis Carrolls logische diagrammen

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding

Dit artikel is het derde in een reeks over de logica van Lewis Carroll[1].
De eerste twee gingen over Lewis Carrolls belangstelling voor logica en over de stand van de logica in de tweede helft van de 19e eeuw[2].
Logica is de studie van methodes en principes om onderscheid te maken tussen geldige en niet geldige redeneringen. Bij redeneringen gaat het om het trekken van conclusies uit premissen, veronderstellingen.
In het vorige artikel hebben we gezien dat tot ver in de 19e eeuw de opvatting overheerste dat correcte redeneringen de vorm van een syllogisme moesten hebben met  twee premissen en een conclusie. Een voorbeeld:

  • Alle mensen zijn sterfelijk.
  • Alle Nederlanders zijn mensen.
  • Dus: alle Nederlanders zijn sterfelijk.

Elke van deze drie uitspraken heeft twee termen. Samen bevatten de drie uitspraken drie termen, waarvan er één niet voorkomt in de conclusie: de zgn. middenterm (‘mensen’ in ons voorbeeld). Deze wordt a.h.w. geëlimineerd en het elimineren van de middenterm is een essentiële stap bij onttrekken van informatie aan de premissen met als doel een conclusie te formuleren.
Ook toen in de symbolische logica een groter aantal premissen en een groter aantal termen werd gebruikt, bleef men het eliminatie-probleem zien als het centrale probleem in de logica, als essentieel onderdeel van het onttrekken van de juiste informatie aan de premissen.
Logici probeerden dit proces zoveel mogelijk te mechaniseren door het invoeren van eenvoudige bewerkingen die door herhaling tot het gewenste resultaat leiden. Ze deden dit vooral met behulp van symbolische, formele systemen. Daarbij hanteerden ze als uitgangspunt dat alle geldige redeneringen kunnen worden weergegeven als een opeenvolging van uitspraken in een of andere taal. Maar in dagelijkse leven beperken we ons bij redeneren niet tot uitspraken in een geschreven of gesproken taal: we hanteren ook andere hulpmiddelen, bijvoorbeeld  kaarten, plaatjes, grafieken en diagrammen.

Lewis Carroll heeft in zijn logische werken een systeem van logische diagrammen ontwikkeld om correcte redeneringen te mechaniseren. Deze diagrammen zijn het onderwerp van dit artikel[3].

Wat zijn logische diagrammen?

Er zijn veel soorten diagrammen. We komen ze tegen als ondersteuning bij analyses, als hulpmiddel bij brainstormen of als uitleg bij redeneringen. Met ‘logische diagrammen’ bedoelen we echter iets anders dan in deze voorbeelden. Bij logische diagrammen gaat niet om een hulpmiddel bij uitleg: de diagrammen vormen zelfstandig een logische redenering en fungeren daarmee als een eigen soort logische taal. Ze vormen een wezenlijk en legitiem onderdeel van een bewijs van de juistheid van een redenering.
In de symbolische logica, zoals we die tegenkwamen in het vorige artikel, zagen we in feite steeds de kenmerken van de geschreven natuurlijke taal terugkomen. Bij logische diagrammen is dat niet het geval; daar wordt een redenering ruimtelijk afgebeeld en de interpretatie van die afbeelding is afhankelijk van de ruimtelijke eigenschappen[4].

In de 18e en 19e eeuw was er veel waardering voor logische diagrammen. Dat hing samen met de ontwikkeling van de symbolische logica en het streven om logische analyses zoveel mogelijk te mechaniseren. In de 20e eeuw nam die belangstelling fors af. Dat laat zich verklaren uit de ontwikkeling van de mathematische logica, die ik kort heb beschreven in mijn vorig artikel. In de logica hecht men groot belang aan accuratesse en efficiëntie. De ontwikkeling van logica als grondslag van de wiskunde bracht rond de eeuwwisseling naar de 20e eeuw veel verrassingen met zich mee en die kwamen niet altijd van pas. Inconsistenties en contradicties staken de kop en daardoor kreeg nauwkeurigheid de hoogste prioriteit, anders gezegd: alles was gericht op het voorkómen van fouten. In deze context werden diagrammen met hun reputatie van misleiding niet serieus genomen.
Inmiddels is het imago van logische diagrammen verbeterd, met name door het gebruik van computers: naast nauwkeurigheid staat nu de efficiëntie van logische systemen hoog in het vaandel en dat heeft geleid tot hernieuwde aandacht voor logische diagrammen, niet alleen voor analyse maar ook voor formele bewijzen. De opvatting dat logische diagrammen misleidend zouden zijn, berust overigens op een misverstand: een degelijk formeel systeem op basis van diagrammen laat geen ruimte voor verkeerde interpretaties[5]. Overigens worden diagrammatische en symbolische methoden regelmatig gecombineerd en daardoor is het niet altijd mogelijk ze volledig te scheiden.

Figuur 1

Figuur 2

Figuur 3

Figuur 4

Figuur 5

Figuur 6

Figuur 7

Figuur 8

Figuur 9

Figuur 10

Figuur 11

Figuur 12

Figuur 13

Figuur 14

Figuur 15

Figuur 16

Figuur 18

Figuur 19

Figuur 20

Logische diagrammen vóór Lewis Carroll

De eerste  serieuze studie van de analyse van logische uitspraken met behulp van diagrammen vinden we bij Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). De populariteit van diagrammen in de 18e en 19e eeuw is echter te danken aan het werk van de Zwitser Leonhard Euler uit 1768.
Ten tijde van Euler namen syllogismen een centrale plaats in de logica in. Syllogismen bestaan uit categorische uitspraken, d.w.z. uitspraken over verzamelingen. In het voorbeeld in de inleiding zijn dat drie verzamelingen: de verzameling mensen, de verzameling Nederlanders en de verzameling van alles wat sterfelijk is. Euler bedacht een systeem om uitspraken over verzamelingen voor te stellen met behulp van cirkels.
In figuur 1 zien we zijn voorstelling van de verzameling x, d.w.z. de verzameling van alle dingen met eigenschap x.
Door het gebruik van twee cirkels kan hij de relaties tussen twee verzamelingen weergeven. Omdat deze cirkels  elkaar omvatten, doorsnijden of uitsluiten, corresponderen ze met logische uitspraken:

  • Alle x zijn y:                              figuur 2
  • Geen x is y:                              figuur 3
  • Sommige x zijn y:                    figuur 4
  • Sommige x zijn niet y:            figuur 5

Dit is een relatief eenvoudig systeem, maar die eenvoud brengt ook complicaties en dubbelzinnigheden met zich mee. De afbeelding in figuur 2 van ‘Alle x zijn y’ sluit bijvoorbeeld de mogelijkheid uit dat de verzamelingen x en y identiek zijn, terwijl dat wel degelijk een optie is wanneer alle x ook y zijn. In dat geval zouden de beide cirkels samenvallen. Je hebt dus eigenlijk meer dan één afbeelding nodig voor de weergave van deze uitspraak. Ook voor de uitspraak ‘Sommige x zijn niet y’ zijn meerdere diagrammen noodzakelijk. Maar een dergelijke oplossing, d.w.z. meerdere diagrammen bij één uitspraak, gaat wel ten koste van de charme van de intuïtieve eenvoud.

In 1880 introduceerde John Venn een nieuw systeem, vooral omdat hij ontevreden was over Eulers diagrammen. Hij gebruikte ook cirkels, maar op een geheel andere manier.
Euler tekende de cirkels om direct in zijn diagram de feitelijke relatie tussen de verzamelingen weer te geven. Venn gebruikte ook cirkels voor verzamelingen maar hij tekende een basis-diagram dat alle mogelijkheden weergeeft.
In figuur 6 zien we bijvoorbeeld het basisdiagram voor twee verzamelingen x en y. Hierin vind je alle mogelijke deelverzamelingen die staan voor de mogelijke relaties tussen de verzamelingen x en y. In Venns notatie:

x y                      zowel x als y               de ruimte die de cirkels x en y gemeen hebben

x niet-y              wel x maar niet y        het deel van cirkel x dat geen deel uitmaakt van y

niet-x  y             niet x maar wel y        het deel van cirkel y dat geen deel uitmaakt van x

niet-x niet-y      niet x en niet y            de ruimte buiten de beide cirkels

Het diagram laat alle mogelijkheden zien, maar zegt daarmee nog niets over de feitelijke relatie tussen x en y. Om die feitelijke relatie weer te geven gebruikte Venn extra hulpmiddelen en met name arcering. Zo kon hij de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weergeven door het compartiment x niet-y te arceren om aan te geven dat dit compartiment leeg is en dat er dus geen x is die niet y is (zie figuur 7).

Deze figuren en voorbeelden betreffen diagrammen met twee termen. Maar de standaardvorm van logische problemen voor Euler en Venn was het syllogisme en dat bevat drie termen.
Om te checken of een gegeven syllogistische vorm (twee premissen en een conclusie) geldig is, moet men de informatie die de twee premissen bevatten, in een diagram weergeven en vervolgens controleren of de informatie uit de conclusie ook verschijnt in het diagram. Overigens kan het diagram meer informatie bevatten dan de conclusie in kwestie.

Het volgende voorbeeld laat zien hoe dat in zijn werk ging bij Euler.

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y
  • Dus: Alle x zijn y.

Dit syllogisme kunnen we in Eulers diagrammen als volgt weergeven (zie figuur 8): de cirkel van verzameling x wordt geheel omsloten door de cirkel van verzameling m die op zijn beurt weer wordt omsloten door de cirkel van verzameling y. Dan wordt de cirkel van verzameling x geheel omsloten door de cirkel van verzameling y en is de conclusie juist.
Dit ziet er eenvoudig en intuïtief uit. Maar het is in feite een simplificatie en inperking van de werkelijkheid. Want de mogelijkheid dat x en y geheel samenvallen blijft buiten beschouwing, evenals de mogelijkheid dat m en y geheel samenvallen of x, m en y alle drie.
Het wordt nog ingewikkelder wanneer sprake is van particuliere uitspraken, zoals ‘Sommige x zijn y’. Daarbij neemt het aantal mogelijke situaties verder toe en dus neemt de bruikbaarheid van Eulers diagrammen af.

De diagrammen van Venn zijn handiger bij het controleren van syllogismen. Voor hetzelfde voorbeeld tekenen we hier een basisdiagram voor drie verzamelingen: x, m en y: zie figuur 9. We arceren in cirkel x alles wat buiten cirkel m ligt (‘Alle x zijn m’), en in cirkel m alles wat buiten cirkel y ligt (‘Alle m zijn y’). Het resterende, niet gearceerde compartiment van x ligt dan inderdaad zowel in de cirkel m als de cirkel y en alle x is dan inderdaad y.
Hier staat wel tegenover dat Venns diagrammen minder eenvoudig zijn dan die van Euler: ze  vragen wat meer oefening. En nu hebben we alleen nog maar de juistheid van syllogismen gecheckt. Via deze diagrammen moet het ook mogelijk zijn om zelf de conclusie uit de premissen te ontdekken, maar dat vraagt uiteraard nog meer ervaring in het werken met de diagrammen.

Venn beoogde met zijn diagrammen een verbetering ten opzichte van Euler om er ook complexe logische problemen mee te kunnen oplossen. We moeten echter constateren dat zich ook bij het gebruik van Venns diagrammen een aantal problemen voordoet.

Het eerste probleem betreft diagrammen voor sorites, d.w.z. redeneringen waarin meer dan twee premissen voorkomen en dus meer dan drie termen. Venn was een navolger van Boole en had veel aandacht voor het eliminatie-probleem, niet alleen bij traditionele syllogismen maar ook bij sorites. Hij wilde zijn diagrammen hiervoor dus ook gebruiken.
Bij vier termen (drie premissen) stuiten we op het probleem dat het niet mogelijk is om met cirkels alle vereiste doorsnijdingen te krijgen. Venn verving de cirkels daarom door ellipsen, zoals weergegeven in figuur 10.
Maar bij vijf termen (vier premissen) werkt dat al niet meer. Daarvoor introduceerde Venn een ‘annulus’ in combinatie met de ellipsen, een meetkundige ring, een soort kraag, zie figuur 11.
Venn was van mening dat diagrammen geen waarde hadden voor logische problemen met meer dan vijf termen. Niettemin was het volgens hem in principe wel mogelijk om ook deze problemen met diagrammen op te lossen. Hij gaf enkele algemene aanwijzingen hoe zijn systeem daartoe zou kunnen worden uitgebreid, doch heeft dat zelf niet uitgewerkt.[6]

Een tweede probleem is de vraag hoe om te gaan met particuliere uitspraken: ‘Sommige x zijn y’ en ‘Sommige x zijn niet-y’. Venn had hier, evenals Euler, problemen mee en hij heeft daar zelf geen bevredigende oplossing voor gevonden.
Wanneer we te maken hebben met universele uitspraken (zoals ‘Alle x zijn y’), geven we deze in een diagram weer door het compartiment dat leeg is (namelijk dat van alle dingen met eigenschap x die niet y zijn) te arceren. Maar bij particuliere uitspraken werkt dat arceren niet: dan moet je aangeven welk compartiment gevuld is met tenminste één ding met de betreffende eigenschap. Maar dat zal meestal niet beperkt zijn tot één compartiment, en het is dan of het ene óf het andere compartiment. Dat vraagt in Venns systeem om meerdere diagrammen. Ook hiervoor zijn overigens later door anderen oplossingen bedacht[7].

Een derde probleem betreft negatieve termen, zoals niet-x. In feite zijn deze bij Venn onbepaald: in zijn diagrammen is het de ruimte buiten de cirkel x en die ruimte is oneindig. Het is daardoor niet mogelijk om de uitspraak ‘Alle niet-x zijn y’ grafisch weer te geven. Want de verzameling ‘alle niet-x’ beslaat de gehele ruimte buiten de cirkel x (oneindig dus) en die kan slechts worden omvat door een andere cirkel y als die ook oneindig is.
Om dit probleem op te lossen is het begrip ‘Universe of Discourse’ geïntroduceerd, hier vertaald als ‘beschouwingsgebied’: de totale verzameling van alle dingen waar we het over hebben. Dat kunnen alle denkbare dingen zijn, maar ook bijvoorbeeld alle mensen, of  alle boeken. Het idee erachter is afkomstig van De Morgan (1846): hij verwierp het onbepaalde karakter van negatieve termen en definieerde de omvang van niet-x als het complement van x: x en niet-x vullen samen het universum. Dus wanneer bijvoorbeeld het universum alle boeken betreft, vullen de Nederlandse en niet-Nederlandse boeken samen het universum of beschouwingsgebied.
De term ‘Universe of Discourse’ komt van Boole (1854) en de meeste navolgers van De Morgan en Boole maakten gebruik van dit begrip[8]. Venn deed dit echter niet: hij gaf het beschouwingsgebied niet weer in zijn diagrammen. Dat kan overigens relatief eenvoudig worden toegevoegd in de vorm van een cirkel of vierkant, waarbinnen het diagram, zoals het tot nu toe gebruikt was, geplaatst wordt.

Carrolls diagrammen

Logische diagrammen vormen een belangrijk element in het logische werk van Lewis Carroll. Hij bedacht een eigen systeem dat hij voor het eerst beschreef in The Game of Logic in 1886 en verder uitwerkte in Symbolic Logic (1896).
In The Game of Logic presenteerde Carroll zijn diagram als een spel, niet omdat logica een spel is maar omdat hij hoopte door de eenvoud van de presentatie een zo groot mogelijk publiek te bereiken. Bij het boek werden een bord en fiches geleverd. Een eenvoudige inleiding in het Nederlands tot het bordspel van The Game of Logic is te vinden in het tijdschrift Wauwelwok van het Lewis Carroll Genootschap in de jaren ‘70[9].

Evenals Venn onderscheidt Carroll in zijn diagrammen twee stappen: eerst presenteert hij een grafische afbeelding van verzamelingen om vervolgens in die afbeelding met extra hulpmiddelen logische uitspraken weer te geven.
Maar er zijn duidelijke verschillen met het systeem van Venn. In feite lost Carroll met zijn diagrammen de bij Euler en Venn gesignaleerde problemen op. Het is overigens niet duidelijk of hij zijn diagrammen daadwerkelijk heeft bedoeld als verbeteringen van Venns diagrammen, dan wel dat hij ze zelf onafhankelijk heeft bedacht. Er is geen aanwijzing dat Carroll bekend was met het werk van Venn toen hij zijn diagrammen ontwikkelde. In The Game of Logic wordt Venn niet genoemd. De eerste vermelding van Venn in Carrolls werken is te vinden in een appendix bij Symbolic Logic, waarin hij zijn eigen (toen reeds ontwikkelde) diagrammen vergeleek met die van Venn[10].

Carrolls diagrammen zijn vierkant: het universum of beschouwingsgebied wordt dus als  vierkant voorgesteld. Dat heeft een duidelijk voordeel ten opzichte van cirkels: bij een gebruik van meerdere termen is het eenvoudig om een symmetrische verdeling van het universum te maken. Dat geldt voor de verdeling tussen verschillende termen als x en y, maar ook voor de verdeling tussen x en niet-x.

Voor twee termen verdeelde Carroll het vierkant in vier compartimenten, ‘kwartieren’, zoals in  figuur 12 voor de termen x en y. Carroll noemde dat een ‘biliteral’, tweeletterig diagram.

In de figuren maak ik nu gebruik van Carrolls notatie:

  • x’ staat voor niet-x;                   y’ staat voor niet-y;
  • xy staat voor x en y;                 xy’ staat voor x en niet-y;
  • x’y staat voor niet-x en y;        x’y’ staat voor niet-x en niet-y.

Wanneer we dit uitwerken voor de termen ‘groen’ en ‘eetbaar’ dan kunnen we een door ons beschouwd universum (bijvoorbeeld: vruchten) indelen als weergegeven in figuur 13. Dankzij het vierkante universum is hier dus sprake van volledige symmetrie voor x en y, maar ook voor x en niet-x.

Voor drie termen, x, y en m, voegde Carroll in zijn diagram in het midden een kleiner vierkant toe om zo acht compartimenten (‘cellen’) te krijgen: zie figuur 14.

Hiermee heeft hij dus verzamelingen afgebeeld. Om uitspraken weer te geven, had hij extra hulpmiddelen nodig. In The Game of Logic gebruikte Carroll hiervoor grijze en rode fiches, in Symbolic Logic verving hij deze door ‘0’ en ‘I’. Een grijze fiche of ‘0’ betekent dat een compartiment leeg is, een rode fiche of  ‘I’ dat het bezet is.
Om de uitspraak ‘Alle x zijn y’ weer te geven moet men een ‘0’ plaatsen in het compartiment x niet-y (dat dus leeg is) en een ‘I’ in het compartiment xy (dat bezet is): dit heb ik weergegeven in figuur 15.

Maar wat te doen met ‘Sommige x zijn m’? We hebben gezien dat dit soort uitspraken bij Euler en Venn niet eenvoudig waren weer te geven. ‘Sommige x zijn m’ betekent dat in figuur 14 xym bezet is, of xy’m bezet is, of beide. Om hier zorgvuldig mee om te gaan bedacht Carroll de volgende oplossing: hij plaatste het symbool ‘I’ op de grens tussen beide compartimenten, xym en xy’m: zie figuur 16.

Om de conclusie van de twee premissen van een syllogisme te checken of te vinden, volgde Carroll een procedure die vergelijkbaar is met Venn.

Neem bijvoorbeeld de premissen:

  • Alle x zijn m
  • Alle m zijn y

We geven de informatie uit de premissen weer in een drieletterig (triliteral) diagram (zoals figuur 14) en dat levert de hieronder weergegeven figuur 17a.
Immers:
De eerste premisse (‘Alle x zijn m’) impliceert;

  • xym (d.w.z. x en y en m) is bezet OF
  • xy’m (d.w.z. x en niet-y en m) is bezet.

Daarnaast zijn de beide compartimenten met zowel x als niet-m leeg, dus zowel xym’ (d.w.z. x, y, niet-m) als xy’m’ (d.w.z. x, niet-y, niet-m).
Voor de tweede premisse geldt hetzelfde maar dan voor m en y.

Gegeven het feit dat xy’m leeg is en dat ofwel xym of xy’m bezet is kan het diagram worden vereenvoudigd, zoals weergegeven in figuur 17b.
Dit diagram kunnen we nu nog verder vereenvoudigen. Bij Venn moest de conclusie direct uit het drieletterige diagram worden getrokken, Carroll vertaalde het eerst in een tweeletterig diagram waarbij hij de middelterm (m) elimineerde en alleen de twee termen overhield die in de conclusie verschijnen.

Hierbij gebruiken we de regels die Carroll heeft geformuleerd in Symbolic Logic[11] en we geven het resultaat weer in figuur 17c.

Regel A. Als een kwartier van het drieletterig diagram een ‘I’ bevat in een van de cellen, dan is dat kwartier hoe dan ook bezet, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘I’ om aan te geven dat het bezet is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier links-boven in het tweeletterig diagram bevat een ‘I’.

Regel B. Als het kwartier van het drieletterig diagram twee ‘0’-s bevat, één in elke cel, dan is het zeker leeg, en kan men het corresponderende kwartier van het tweeletterig diagram merken met een ‘0’ om aan te geven dat het leeg is.
Dus in ons voorbeeld: het kwartier rechtsboven in het tweeletterig diagram bevat een ‘0’.

Over de andere twee kwartieren kunnen we niets weten.
Op deze wijze krijgen we figuur 17c, het tweeletterig diagram voor de termen x en y met als conclusie: xy, ofwel: Alle x zijn y.

Figuur 17a

Figuur 17b

Figuur 17c

Kijkend naar de drie problemen van de Venn-diagrammen, hebben we nu gezien hoe Carroll omgaat met particuliere uitspraken (‘Sommige x zijn y’) en hoe hij negatieve termen (‘niet-x’) behandelt.
Van de drie bij Venn gesignaleerde complicaties resteert er nog één: hoe om te gaan met de grafische voorstelling voor redeneringen met vier of meer termen (sorites)?
In Symbolic Logic geeft Carroll vele voorbeelden van sorites met drie of meer premissen. Hij ontwierp ook diagrammen voor vier termen en in zijn systeem blijven deze zonder meer overzichtelijk, zie figuur 18. Met vijf termen had hij meer problemen; daarvoor gebruikte hij diagonale lijnen in zijn vierletterig diagram, zoals weergegeven in figuur 19. Maar hij ging nog verder, zoals we bijvoorbeeld kunnen zien in figuur 20, dat zijn diagram voor zes termen bevat.
Dankzij de wijze waarop hij het universum weergeeft en de symmetrie van zijn afbeeldingen zijn Carrolls diagrammen eenvoudig en regelmatig en daardoor bij een toenemend aantal termen beter hanteerbaar dan die van Venn. De eerlijkheid gebiedt wel hier te vermelden dat Carroll nergens in zijn logische werken zijn diagrammen gebruikte om een probleem met meer dan drie termen op te lossen. In zijn teruggevonden aantekeningen zijn hier wel enkele voorbeelden van te vinden[12].

Maar Carrolls diagrammen hebben ook een eigen complicatie. Dat hangt samen met het probleem van ‘existential import’: dat is de vraag of een algemeen bevestigende uitspraak (ook wel ‘A-uitspraak’ genoemd, zoals ‘Alle x zijn y’) impliceert dat er ook daadwerkelijk een x is die y is, d.w.z. de particuliere uitspraak, of ‘I-uitspraak’ ‘Sommige x zijn y’ impliceert.
Een voorbeeld: als de uitspraak ‘Alle eenhoorns zijn groen’ waar is, betekent dit dat er dan ook echt een groene eenhoorn is? Of is het voldoende dat er geen eenhoorn wordt gevonden die niet groen is? In de laatste optie is het dus niet relevant of er eenhoorns bestaan.
We hebben gezien dat voor Carroll de uitspraak ‘Alle x zijn y’ gelijkwaardig is aan de combinatie van ‘Sommige x zijn y’ en ‘Geen x is niet-y’. Dat betekent dat Carroll van mening is dat niet alleen I-uitspraken (‘ Sommige x zijn y’) maar ook A-uitspraken (‘Alle x zijn y’) impliceren dat er daadwerkelijk een x bestaat die y is, m.a.w. dat ze het bestaan van het subject bevestigen. In ons voorbeeld impliceert ‘Alle eenhoorns zijn groen’ dus dat er daadwerkelijk een eenhoorn bestaat die groen is. Dit is in lijn met de opvatting van Aristoteles, maar in het midden van de 19e eeuw werd het onder invloed van Boole en Venn steeds gebruikelijker om te ontkennen dat A-uitspraken het bestaan van het subject impliceren. Ook in de hedendaagse logica is dat de gangbare opvatting.
Carroll verdedigde zijn standpunt door het te beschouwen als een kwestie van “convenience”. In zijn ogen kan iedere schrijver zijn eigen regels bepalen, mits deze intern consistent zijn met zichzelf en consistent met de geaccepteerde logische feiten[13].
Het valt niet uit te sluiten dat Carroll later van standpunt veranderde m.b.t. de existential import van A-uitspraken, zoals moge blijken uit enkele privé geschriften (dagboek, brief)[14].

De impact van Carrolls logische diagrammen

We hebben gezien dat Carrolls diagrammen enkele duidelijke voordelen hebben boven die van Venn. Dit betreft vooral de wijze waarop Carroll het universum of het beschouwingsgebied weergeeft en het relatieve gemak waarmee men met zijn systematiek diagrammen voor meer dan vier termen kan construeren. Ook is zijn gebruik van bord en fiches aantrekkelijk: men hoeft niet telkens een nieuw diagram te tekenen en de fiches kunnen er direct op geplaatst worden; dit heeft duidelijk pedagogische voordelen. Centraal in Carrolls logische werk staat zijn streven naar popularisering, de promotie van de logica, en zijn diagrammen zijn hier een duidelijk voorbeeld van.

Carrolls diagrammen zijn bekend bij zowel logici als historici van de logica en ze worden ook genoemd in overzichtswerken over diagrammen zoals dat van Gardner[15]. Maar alhoewel Carrolls diagrammen niet alleen door hemzelf maar ook door diverse andere auteurs superieur worden genoemd t.o.v. die van Venn, worden ze, in tegenstelling tot de Venn-diagrammen, zelden gebruikt. Slechts incidenteel vormen ze een wezenlijk onderdeel van een logica-leerboek. De volgende voorbeelden zijn mij bekend.
C.I. Lewis [1960] gebruikt bij zijn uitleg van logische relaties tussen verzamelingen diagrammen van zowel Venn als Carroll en noemt die van Carroll “the most convenient[16]
Wanneer P.T. Geach [1976] uitleg geeft over het gebruik van diagrammen om de geldigheid van redeneervormen te checken, gebruikt hij zowel Venns als Carrolls diagrammen maar geeft aan dat de laatste veel handiger zijn bij gebruik van meer dan drie termen[17].
Richard Purtill [1971] gebruikt bij de behandeling van het syllogisme en de verzamelingenleer Carrolls diagrammen, omdat hij ze duidelijker en praktischer vindt dan andere diagrammen[18].
Humphrey Palmer heeft in een interne publicatie van University College Cardiff een cursushandleiding Argumentatie ontwikkeld. Hij zegt zich hierbij te baseren op een systeem dat ontwikkeld is door Lewis Carroll (“alias Nathaniel Dodgson”)[19]. Hij gebruikt de vierkante diagram-indeling uit The Game of Logic, maar ziet zonder verklaring af van de omtrek van het vierkant dat de Universe of Discourse aangeeft. Bij de behandeling van argumenten met drie termen tekent hij niet, zoals Carroll, een kleiner vierkant binnen zijn diagram maar gebruikt hiervoor een cirkel.

In logica-leerboeken komt men wel vaak aan Carroll ontleende amusante voorbeelden tegen van syllogismen en sorites, meestal met bronvermelding. Zo ook in het veel gebruikte leerboek van Irving Copi (dat ik ken uit mijn eigen studententijd)[20] en dat van Howard Kahane.
Het feit dat zijn voorbeelden populairder zijn dan de systematiek van zijn diagrammen is wellicht een indicatie voor een bredere verklaring voor het beperkte gebruik van zijn diagrammen. Zoals ik beschreef in mijn eerste artikel[21], zit Carrolls bekendheid als auteur van de Alice-boeken zijn status als logicus enigszins in de weg: zijn diepgang als logicus zou beperkt zijn, hij zou logica slechts als spel zien en/of hij zou zijn logica slechts bedoeld hebben voor kinderen. Zijn amusante voorbeelden liggen echter in het verlengde van zijn literaire werk en trekken daarom de aandacht. Daarbij komt dat de systematiek van logische diagrammen überhaupt leed onder afnemende belangstelling, vanwege de opkomst van de mathematische logica in het begin van de 20e eeuw.
Wellicht brengt de recent weer toenemende interesse voor diagrammen ook een bredere erkenning voor dat aspect van Carrolls logica met zich mee.

 

 Voetnoten

[1] Belangrijke bronnen voor zit artikel zijn Moktefi 2002 en  Moktefi & Shin 2012, 2013b. De afbeeldingen 10 en 11 zijn overgenomen uit Edwards 2004, de afbeeldingen 15 t/m 20 uit Moktefi & Shin 2012.
[2] Zie Savenije 2019a en 2019b.
[3] Zoals de meeste logici uit zijn tijd, besteedde Carroll veel aandacht aan het eliminatie-probleem. Hij had vier methoden voor de oplossing van het eliminatieprobleem. In Symbolic Logic Part I is dat behalve de diagrammen zijn method of underscoring, in Symbolic Logic Part II de method of trees en de method of barred premises, een uitbreiding van de method of underscoring.
De method of trees is onderwerp van mijn volgend artikel. De method of underscoring laat ik verder buiten beschouwing. Hij hangt nauw samen met de specifieke notatie die Lewis Carroll in zijn logica gebruikte en die verder geen navolging heeft gevonden.
[4] Greaves 2002, Moktefi & Shin 2012.
[5] Zie Shin 1995.
[6] Anderen hebben daar wel uitwerkingen voor gegeven in de vorm van enige aanpassingen van Venn’s oorspronkelijke systeem, zie bijvoorbeeld Edwards 2004.
[7] Zie Moktefi & Pietarinen 2015 waarin met name de verbeteringen worden besproken die de Amerikaan C.S. Peirce in 1903 heeft aangebracht in de Venn-diagrammen.
[8] De eerste diagrammatische representatie van the universe of discourse wordt vaak aan Carroll toegeschreven, maar we zien deze al eerder bij Alexander Macfarlane [1879, p.23].
[9] Klieb & van de Kamer 1977.
[10] Carroll 1896, p.176.
[11] Carroll 1896, p.53.
[12] Moktefi 2008, p.479-480.
[13] Carroll 1896, p.166.
[14] Bartley 1986, pp.34-35 en Abeles 2005 p.45.
[15] Zie Gardner 1958.
[16] Zie Lewis 1960, p.180.
[17] Geach 1976, p.59.
[18] Purtill 1971, p.138.
[19] Palmer 1979, p.2.
[20] Ter illustratie een voorbeeld (Copi 1968, p.198):
“Translate (…) the following sorites into standard form, and test its validity:

  1. Babies are illogical.
  2. Nobody is despised who can manage a crocodile.
  3. Illogical persons are despised.
    Therefore babies cannot manage crocodiles.”

[21] Savenije 2019a.

Literatuur

Abeles, Francine, 2005, ‘Lewis Carroll’s Formal Logic’, History and Philosophy of Logic, Vol. 26, No. 1, pp.33-46.

Bartley,  William Warren III, 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: Clarkson N. Potter.

Carroll, Lewis, 1886, The Game of Logic, London: Macmillan.

Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, London: Macmillan.

Copi, Irving, 1968, Introduction to Logic, London: The Macmillan Company.

Edwards, A.W.F., 2004, Cogwheels of the Mind. The Story of Venn Diagrams, Baltimore/Londen: Johns Hopkins University Press.

Euler, Leonhard, 1768, Lettres à une Princesse d’Allemagne, St. Petersburg. Vertaald door H. Hunter, Letters to a German Princess, London, 1795.

Gabbay, Dov & John Woods (eds.), 2008,  The Handbook of the History of Logic, Volume 4: British Logic in the Nineteenth Century,  Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gabbay, Dov, Francis Jeffry Pelletier & John Woods (eds.), 2012, Handbook of the History of Logic, Volume 11: Logic: A History of its Central Concepts, Amsterdam: North-Holland (Elsevier).

Gardner, Martin, 1958, Logic Machines and Diagrams, The University of Chicago Press.

Geach, Peter, 1976, Reason and Argument, Oxford: Basil Blackwell.

Greaves, Mark, 2002, The Philosophical Status of Diagrams, Stanford, California: CSLI Publications.

Kahane, Howard, 2012, Logic and Philosophy. A Modern Introduction, 12th edition. Boston: Wadsworth.

Klieb, Leslie & Rolf van de Kamer, 1977, ‘De mondharp in het logische orkest. Een inleiding tot Lewis Carroll’s logica’, Wauwelwok, Vol. 1, pp.16-20, zie ook https://lewiscarrollgenootschap.nl/wp-content/uploads/2016/07/Wauwelwok-1.pdf.

Lewis, C.I., 1960, A Survey of Symbolic Logic, New York: Dover Publications.

Macfarlane, Alexander, 1879, Principles of the Algebra of Logic,  Edinburgh: David Douglas.

Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.) 2008, pp.457-505.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2012, ‘The History of Logic Diagrams’, in Gabbay , Pelletier & Woods 2012, pp.611-682.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin (eds.), 2013a, Visual Reasoning with Diagrams, Basel: Birkhäuser.

Moktefi, Amirouche & Sun-Joo Shin, 2013b, ‘Preface’ in Moktefi & Shin (eds.) 2013a, pp.v-xiv.

Moktefi, Amirouche & Ahti-Veikko Pietarinen, 2015, ‘On the Diagrammatic Representation of Existential Statements with Venn Diagrams’, Journal of Logic, Language and Information, Vol. 24, No. 4, pp.361-374.

Palmer, Humphrey, 1979, Arguing for Beginners. A Fresh Approach to Reasoning by Lewis Carroll’s Diagrams, Park Place Papers No. 5, University College Cardiff, Department of Extra-Mural Studies.

Purtill, Richard L., 1971, Logic for Philosophers, New York: Harper & Row.

Savenije, Bas, 2019a, ‘Lewis Carrolls belangstelling voor logica’, Phlizz, september 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/09/27/lewis-carrolls-belangstelling-voor-logica/.

Savenije, Bas, 2019b, ‘De logicus Lewis Carroll in de context van zijn tijd: de ontwikkeling van de symbolische logica’, Phlizz, december 2019, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/12/31/de-logicus-lewis-carroll-in-de-context-van-zijn-tijd-de-ontwikkeling-van-de-symbolische-logica/.

Shin, Sun-Joo, 1995, The Logical Status of Diagrams, Cambridge University Press.

Venn, John, 1880, ‘On the Diagrammatic and Mechanical Representation of Propositions and Reasonings’, Philosophical Magazine, Vol. 10, pp.1-18.

Lees verder

De logicus Lewis Carroll in de context van zijn tijd: de ontwikkeling van de symbolische logica

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Inleiding[1]

In mijn eerste artikel over de logica van Lewis Carroll[2] heb ik laten zien dat hij zijn logische werken weliswaar relatief laat in zijn leven heeft geschreven, maar dat er vele aanwijzingen zijn dat hij reeds veel eerder in zijn leven belangstelling voor logica had. Hij was daarbij sterk overtuigd van het maatschappelijk nut van de logica. Zijn logische werken zijn dan ook bedoeld voor een breed publiek; hij probeert het onderwerp zoveel mogelijk te populariseren.
Om te kunnen begrijpen welke bijdrage Lewis Carroll aan het vak logica heeft geleverd, is het noodzakelijk enige kennis te hebben van de stand van het vak logica ten tijde van Lewis Carroll: met welke problemen hield men zich bezig en welke oplossingsrichtingen had men voor ogen?
Daarover gaat dit artikel. In de daarop volgende artikelen zal ik nader ingaan op de specifieke eigen bijdragen van Lewis Carroll.

Aristoteles, grondlegger van de logica (4e eeuw v.Chr.)

Traditionele logica

Logica is de studie van methodes en principes die worden gebruikt om onderscheid te kunnen maken tussen correcte en niet-correcte redeneringen. Het gaat daarbij om de vorm van de redeneringen, zonder te letten op de inhoud van de afzonderlijke uitspraken van de redenering. We spreken dan ook wel van ‘formele logica’.
Logica als vak is ontstaan in de Griekse oudheid. Bij de filosofen Parmenides (6e eeuw v. Chr.) en zijn leerling Zeno (5e eeuw v. Chr.) zien we als eersten een bewuste toepassing argumentatie-regels, in het bijzonder het bewijs uit het ongerijmde.[3] Ze maakten deze regels echter niet expliciet en maakten er zeker geen studie van.
De eerste die expliciet een systeem voor redeneringen ontwierp was Aristoteles (4e eeuw v. Chr); hij wordt dan ook beschouwd als de grondlegger van het vak logica.

Het gaat bij redeneringen om het trekken van een conclusie uit premissen, veronderstellingen. Sinds Aristoteles hebben logici geprobeerd regels te formuleren die ervoor zorgen dat alleen geldige conclusies worden getrokken uit premissen. De door Aristoteles ontworpen regels voor redeneren worden ‘syllogismen’ genoemd.
Aristoteles’ systeem van syllogismen bleef tot ver in de 19e eeuw bepalend voor de ontwikkeling van de logica  het is daarom onvermijdelijk er enigszins in detail op in te gaan.

Een syllogisme is een verzameling van drie uitspraken: de eerste twee zijn de premissen (veronderstellingen)  en de derde is de conclusie, waarbij de conclusie noodzakelijkerwijs volgt uit de premissen.
Een voorbeeld:

Premisse 1 Alle politici zijn mensen
Premisse 2 Alle mensen zijn sterfelijk
Conclusie Daarom zijn alle politici sterfelijk

Van de Griekse meetkunde nam Aristoteles het gebruik van letters (bijvoorbeeld X, Y, Z) over op de plekken waar men termen kan invullen. In ons voorbeeld levert dit het volgende resultaat:

Premisse 1 Alle X zijn Y
Premisse 2 Alle Y zijn Z
Conclusie Alle X zijn Z

Van belang daarbij was dat de geldigheid van de redenering niet afhangt van de termen die voor de letters worden ingevuld.
De door Aristoteles bestudeerde redeneringen noemen we ‘categorische syllogismen’: omdat ze bestaan uit categorische uitspraken. Categorische uitspraken zijn uitspraken over verzamelingen; een verzameling is een groep van alle dingen met een gemeenschappelijk kenmerk. In een categorische uitspraak wordt beweerd of ontkend dat een bepaalde verzameling deel uitmaakt van een andere verzameling, in zijn geheel of gedeeltelijk.
In ons voorbeeld is sprake van drie verzamelingen: de verzameling van politici, de verzameling van mensen en de verzameling van alle dingen die sterfelijk zijn.

Er zijn vier standaardvormen voor categorische uitspraken en hieronder staan enkele voorbeelden per vorm. Het is gebruikelijk om de letters A, E, I, en O te hanteren voor de standaardvormen van de categorische uitspraken.

Algemeen bevestigend (A): – ieder ding X is een ding Y
– de eigenschap Y komt aan ieder ding X toe
– alle X zijn Y
Algemeen ontkennend (B): – geen ding X is een ding Y
– de eigenschap Y komt niet toe aan een ding X
geen X is Y
Particulier bevestigend (I): – sommige dingen X hebben eigenschap Y
– sommige X zijn Y
Particulier ontkennend (O): – een ding X heeft eigenschap Y niet
– het ene of andere ding X heeft eigenschap Y niet
– sommige X zijn niet Y

Iedere uitspraak heeft een subject en een predicaat, dat al of niet aan het subject wordt toegekend. In de uitspraak, bijvoorbeeld,  ‘Alle mensen zijn sterfelijk’ is ‘mensen’ het subject en ‘sterfelijk’ het predicaat.

Samen bevatten de drie uitspraken van een syllogisme drie termen, waarvan elke term voorkomt in twee van de uitspraken. Eén van de termen komt niet voor in de conclusie; deze noemen we de middenterm. De middenterm wordt a.h.w. geëlimineerd.
In de redenering volgende redenering is ‘mensen’ de middenterm:

Premisse 1 Alle politici zijn mensen
Premisse 2 Alle mensen zijn sterfelijk
Conclusie Daarom zijn alle politici sterfelijk

Het is eenvoudig om de vorm of structuur van een gegeven syllogisme te herkennen als combinatie van de verschillende soorten categorische uitspraken (A, E, I. O). Hoewel er oneindig veel syllogismen zijn, is het aantal mogelijke structuren eindig, namelijk 256.
Het is de taak van de logicus om de geldige structuren te selecteren, d.w.z. degenen waarbij de conclusie noodzakelijkerwijs volgt uit de premissen.
Een voorbeeld: als M, S en P de gegeven termen zijn, dan zijn syllogismen met structuur (1) geldig en (2) niet:

(1) Geen M is P Voorbeeld: Geen mens kan vliegen
Alle S zijn M Alle politici zijn mensen
dus geen S is P Dus geen politicus kan vliegen
(2) Geen M is P Voorbeeld: Geen mens kan vliegen
Geen S is M Geen vogel is een mens
dus geen S is P Dus geen vogel kan vliegen

Hierbij wordt ook duidelijk hoe je kunt aantonen dat een redenering ongeldig is, namelijk door het geven van een tegenvoorbeeld. Een redenering is dan en slechts dan geldig als er geen tegenvoorbeeld bestaat.
Van alle mogelijke structuren, beschouwen logici traditioneel 24 vormen als geldig.

Behalve de leer van de syllogismen danken we aan Aristoteles ook de drie hoofdwetten van de logica. Dit zijn:

  • Het principe van identiteit
    ‘Een ding S is een ding S
    Voorbeeld: ‘Een mens is een mens’.
  • Het principe van contradictie
    ‘Er is geen ding waarop zowel P als niet-P van toepassing is’
    Voorbeeld: ‘Er is geen mens die zowel Griek als niet-Griek is’
  • Het principe van het uitgesloten derde
    ‘Op ieder ding is P of niet-P van toepassing’
    Voorbeeld: ‘Ieder mens is Griek of niet-Griek’.

Aristoteles’ leer van syllogismen werd in de eeuwen na hem verder uitgewerkt. Een probleem daarbij bleef dat veel geldige redeneringen niet kunnen worden geformuleerd met behulp van Aristoteles’ logica. Bijvoorbeeld redeneringen waarin sprake is van (logische) relaties:

Bernhard is de vader van Bea

Bea is de moeder van Willem

De vader van de moeder is de grootvader van moeders kant

Dus Bernhard is grootvader van moeders kant van Willem

Niettemin hielden logici eeuwenlang vol dat alle geldige redeneringen tot de vorm van syllogismen konden worden herleid.

Augustus De Morgan (1806-1871)

George Boole (1815-1864)

Een Venn-diagram

Symbolische logica

De Aristotelische logica was dominant in Groot-Brittanië tot diep in de 19e eeuw en de vorm van het syllogisme bleef het uitgangspunt van correct redeneren. Ze werd nog altijd onderwezen aan studenten, met name in Oxford, maar meer als verplicht nummer dan dat het ook daadwerkelijk tot begrip en kennis bij de studenten leidde.

De kritiek op de syllogistische logica als hulpmiddel bij nieuwe wetenschappelijke ontdekkingen nam echter toe. Die kritiek bouwde voort op Francis op Bacon’s Novum Organon (1620) en bepleitte een bredere opvatting van logica waarbij veel waarde werd toegekend aan inductie, d.w.z. het generaliseren op basis van een aantal specifieke waarnemingen. De traditionele formele logica ging uit van deductie waarbij de conclusie onontkoombaar volgt uit een aantal gegeven premissen.

In 1826 zorgde John Whately voor een opleving van de syllogistische logica. In zijn werk Elements of Logic verdedigde hij het nut van de traditionele logica en zette hij zich af tegen de bredere visie van logica als instrument voor wetenschappelijke ontdekkingen.
Het was vooral bedoeld als leerboek voor studenten en de praktische toepasbaarheid maakte de studie van logica aantrekkelijker dan tevoren.[4]

Een doorbraak naar een bredere logische structuur dan de logica van Aristoteles vond plaats in het jaar 1847. Deze doorbraak was niet afkomstig van filosofen, maar van twee wiskundigen. In het jaar 1847 werden twee boeken gepubliceerd:

  • George Boole’s The Mathematical Analysis of Logic,
  • Augustus De Morgan’s Formal Logic.

Boole en De Morgan verwierpen de claim dat alle geldige redeneringen kunnen worden herleid tot de vorm van een syllogisme.
Hun werken vormden het begin van een traditie in de logica die intensief gebruik maakt van symbolen: de symbolische logica. Werden symbolen tot dan toe alleen maar gebruikt om verzamelingen aan te geven, de symbolische logica gebruikte ook symbolen voor bewerkingen van deze verzamelingen.

Het belangrijkste verschil met de traditionele logica was het volgende.
In Aristoteles’ logica werden alle redeneringen herleid tot de vorm van een syllogisme.
En in een syllogisme wordt een conclusie afgeleid uit twee premissen, waarbij de zgn. middenterm wordt geëlimineerd. Traditioneel zag men daarbij vooral als doel: het checken of de redenering in kwestie juist is.
Bij de symbolische logici ging het echter niet om het checken van een gegeven conclusie, maar om het zoeken van een conclusie uit een gegeven aantal premissen. De centrale vraag was dan welke informatie de premissen gezamenlijk bevatten over één of meer van de termen.
Van belang hierbij was dat men, dankzij het gebruik van symbolen, zich niet langer hoefde te beperken tot redeneringen die slechts drie uitspraken bevatten; ook konden in de afzonderlijke uitspraken meer dan twee termen voorkomen. Een dergelijke complexe redenering, een soort meervoudig syllogisme, wordt een ‘sorites’ genoemd.
Ook bij een sorites was nog steeds sprake van categorische uitspraken over verzamelingen en ook hierbij moesten ‘middentermen’ worden geëlimineerd. In feite zien we dus een complexe variant van het traditionele eliminatie-probleem. En zo sprak men over the problem of elimination als het fundamentele probleem van de logica.

Een sorites hoefde niet meer te worden herleid tot de traditionele syllogismen: het eliminatieproces kon op een gehele sorites worden losgelaten. Globaal zag dat proces er als volgt uit:

  1. vertaal de premissen van de natuurlijke taal naar een formele taal;
  2. laat daar een procedé met bewerkingen op los om de conclusie die zij bevatten te ‘berekenen’;
  3. vertaal de formele conclusie terug in de natuurlijke taal om de concrete oplossing van het probleem te krijgen.

De crux van het eliminatieproces zat natuurlijk in stap 2. Er ontstond onder de logici een soort competitie wie de beste notatie had en, daaraan gekoppeld, de beste methode om het eliminatieprobleem op te lossen. Velen van hen vonden eigen algebraïsche notaties uit en sommigen introduceerden diagrammen of  construeerden logische machines, echt en denkbeeldig, in hun pogingen om logische redeneringen zoveel mogelijk te mechaniseren.

Hieronder geef ik een indruk te geven van de door Boole gebruikte ‘algebraïsche’ formuleringen[5]. Eerst de gebruikte symbolen:

1: het universum, de meest omvattende verzameling, waarvan elke andere verzameling een deelverzameling is
0: een lege verzameling
x: de verzameling van X-en, d.w.z. alle dingen met kenmerk X
1-x: verzameling niet-X (ofwel het universum minus de verzameling van alle dingen met kenmerk X)
v staat voor ‘sommige’: vx staat dus voor ‘sommige dingen met kenmerk X
staat voor: ‘is niet gelijk aan’

Met behulp van deze notatie gaf Boole de vier standaardvormen van categorische uitspraken als volgt weer.

A-vorm Alle X zijn Y x(1-y) = 0 x = xy
E-vorm Geen X is Y xy = 0
I-vorm Sommige X zijn Y xy ≠ 0 v = xy
O-vorm Sommige X zijn niet Y x(1-y) ≠ 0 v = x(1-y)

Zoals vele tijdgenoten introduceerde ook Lewis Carroll diverse nieuwe notaties, waaronder zijn zgn. subscript-notatie waarmee hij in Symbolic Logic, Part I het eliminatie-probleem aanpakte. Geen van zijn notaties vond navolging bij andere logici.

De wiskundige en logicus John Venn is ook tegenwoordig nog bekend vanwege zijn diagrammen; ze worden gebruikt om problemen op te lossen die de vorm van een syllogisme hebben. Ook Lewis Carroll ontwierp diagrammen die tot op heden nog voorkomen in leerboeken.
Lewis Carroll bedacht ook de Method of Trees, om met behulp van de combinatie van zijn symbolische notatie en een visuele methode logische vraagstukken op te lossen. In mijn volgende artikelen zal ik afzonderlijk ingaan op Carrolls diagrammen en zijn Method of Trees.

William Stanley Jevons construeerde in 1869 zelfs een logische machine: de logical abacus, een sorteermechanisme dat kan worden gezien als een primitieve vorm van een ponskaartmachine. Jevons zelf zag er weinig praktisch nut in; hij zag de waarde vooral in het onderwijs om de aard van logische analyses toe te lichten. Allan Marquand ontwierp in 1880/1881 een logische machine die een aanzienlijke verbetering was ten opzichte van die van Jevons.[6]

Carroll was op de hoogte van het werk van Venn en correspondeerde ook met hem. Zijn werk bevat ook verwijzingen naar Boole, De Morgan en Jevons.[7]

De logische machine van Marquand

Weerstand

In de tweede helft van de 19e eeuw nam de rol van de Booleaanse algebraïsche logica geleidelijk toe in het onderwijs en onderzoek in de logica. Maar onder filosofen overheerste de opvatting dat de Aristotelische logica niet met behulp van wiskundige notaties verbeterd kon worden.
Aan de Universiteit van Oxford, waar Lewis Carroll wiskundedocent was, kreeg de nieuwe logica relatief weinig aandacht, in tegenstelling tot Cambridge. John Cook Wilson, hoogleraar logica in Oxford, was een uitgesproken tegenstander van de nieuwe logica: volgens hem was daarbij geen sprake meer van logica, maar van wiskunde. Omdat logica werd gezien als de grondslag voor de wiskunde, zou het idee van wiskundige logica leiden tot een vicieuze cirkel.

Er was meer kritiek op het gebruik van symbolen. In de 17e eeuw had de Britse filosoof Locke een sterke relatie gelegd tussen wiskunde en theologie als voorbeelden van zekere kennis. Aan het eind van de 18e eeuw had William Frend dit doorgetrokken naar de rol van wiskundige symbolen. Hij beweerde dat alle wiskundige waarheid berust op een nauwe relatie tussen de symbolen en de werkelijkheid; wiskundige symbolen hebben dus een relatie met de getallen waarmee we tellen in de wereld om ons heen. Omdat er geen negatieve objecten bestaan, ontkende Frend de mogelijkheid van negatieve getallen, een standpunt dat desastreus was voor de verdere ontwikkeling van de wiskunde.
In Cambridge had George Peacock hier iets op bedacht (1830). Hij maakte onderscheid tussen ‘rekenkundige’ en ‘symbolische’ algebra. Rekenkundige algebra sloot aan bij de gebruikelijke rekenkundige operaties waar ook Frend zich op beriep. Symbolische algebra daarentegen was een nieuwe en strikt formele wetenschap met symbolen en combinaties van symbolen, die met eigen regels is geconstrueerd. Als er geen acceptabele interpretatie van de symbolen te vinden was in de traditionele rekenkunde was dat geen probleem: men zou de interpretatie ook elders kunnen vinden.
Dit onderscheid verschafte De Morgan de basis voor zijn werk: hij kon nu werken met symbolen zonder zich zorgen te maken over problemen bij de toepassing in de rekenkunde. Boole ging in feite nog een stap verder: voor hem waren de symbolen geheel vrij van interpretatie. Ook Venn maakte zich niet druk om interpretaties: voor hem overheersten de consistentie en het gemak bij het werken met de symbolen.

Lewis Carroll hechtte ook veel waarde aan gemak en consistentie. Volgens hem kon iedere auteur zijn eigen regels kiezen, mits consistent met zichzelf en “de geaccepteerde feiten van de logica”. Maar hij bepleitte ook de aansluiting bij het dagelijkse leven: symbolische logica mocht niet te ver af staan van het gewone volk.[8]
Carroll sloot met zijn logische werk in feite meer aan bij Cambridge dan Oxford en hij wisselde daarover regelmatig van gedachten met Cook Wilson. Carroll deed zijn best Cook Wilson te overtuigen van de juistheid van zijn standpunten. Maar op grond van de nog beschikbare correspondentie wordt duidelijk dat Cook Wilson geen hoge dunk had van Carrolls logische kwaliteiten.[9]

De logische worst-machine die objecten verwerkt tot termen; fragment van een illustratie uit Picture Logic van Swinburne.

Logica voor iedereen

Carrolls opvatting over het gebruik van symbolen was in lijn met zijn visie op logica als een vak met toepassingen bij het oplossen van alledaagse problemen en niet slechts als een instrument voor wetenschappelijk onderzoek. Daarbij zag hij symbolische logica als een interessante, werkbare en zelfs eenvoudige variant van de traditionele logica.
Met zijn werken The Game of Logic en Symbolic Logic probeerde hij dan ook een breed publiek te bereiken. In de inleiding van Symbolic Logic verkondigde hij zelfs dat hij de eerste was die “dit fascinerende onderwerp” populariseerde.[10]

Nu waren er in de 19e eeuw wel eerder pogingen gedaan om logica te populariseren. In 1843 publiceerde Whately Easy Lessons on Reasoning, een vereenvoudigde versie van zijn eerdere werk Elements of Logic, bedoeld voor een breder publiek en vooral schoolgaande kinderen.

Ik noem hier nog twee werken, die beide ook voorkwamen in Carrolls bibliotheek.[11]
In Logic for the Million uit 1851 deed James Gilbart een veel bekritiseerde poging tot popularisering van de logica. Hij ging uit van een breed concept van de logica, waarvoor hij zich op vele autoriteiten beriep, zonder veel samenhang.
Een bijzonder werk is Picture Logic, or the Grave Made Gay van Alfred James Swinburne (1887). Deze goed leesbare introductie in de traditionele logica was bedoeld voor studenten en is uniek vanwege de grote hoeveelheid illustraties en grappen.

Carrolls bewering dat hij de eerste was die “dit fascinerende onderwerp” populariseerde kan dus niet op logica in het algemeen slaan. Mede gelet op het feit dat hij bekend was met het werk van Gilbart en Swinburne, kunnen we wel concluderen dat hij met “dit fascinerende onderwerp” de symbolische logica bedoelde. Daarvoor was hij inderdaad de eerste. Bijzonder was daarbij ook dat hij niet een overzicht van de algemene stand van zaken van de logica gaf, maar zijn eigen logische theorie uiteenzette.


Latere ontwikkelingen in de logica

Het begin van de symbolische logica is zeker geen succesverhaal. In feite vonden filosofen de symbolische logica te wiskundig en vonden de wiskundigen haar te filosofisch.[12] De groep voorstanders van de symbolische logica was relatief klein. Carroll was zeker een van hen en hij was ervan overtuigd dat de symbolische logica, in welke vorm dan ook, de traditionele formele logica zou vervangen omdat de symbolische logica vele malen beter was.[13]
In feite viel Carrolls academische carrière vrijwel samen met de breakdown van de logica van Aristoteles en de opbloei van de Booleaanse algebraïsche logica. De technieken die hij introduceerde sloten aan bij die van Boole en Venn.

Maar tijdens de opbloei van de symbolische logica vond aan het eind van de 19e eeuw een meer ingrijpende vernieuwing van de logica plaats die leidde tot wat tegenwoordig ‘mathematische logica’ heet. Dit betekende trouwens niet het einde van de symbolische logica; in feite is de symbolische logica in de mathematische logica geïntegreerd.

Formeel wordt Begriffschrift uit 1879 van Gottlob Frege als startpunt gezien, maar de nieuwe ontwikkeling kwam pas echt op gang in het eerste decennium van de 20e eeuw toen Bertrand Russell Frege’s tot dan toe onbekende werk onder de aandacht bracht en verder uitbouwde.
De symbolische logici hadden wiskunde (en vooral algebra) toegepast op de traditionele logica. De mathematische logici pasten logica toe op de wiskunde.
De mathematische logica beperkte zich niet tot een hulpmiddel om geldige en ongeldige redeneringen van elkaar te scheiden. Het idee dat uitspraken konden worden geanalyseerd in subject en predicaat werd verlaten. Daarvoor in de plaats kwam een systeem van wiskundige functies en argumenten dat de grondslag vormde van de wiskunde. Volgens Russell was er ook geen scheiding tussen wiskunde en logica omdat wiskunde een onderdeel was van de mathematische logica.[14]
Evenmin als de meeste van zijn Britse tijdgenoten besteedde Lewis Carroll aandacht aan het werk van Frege en er is geen aanwijzing dat hij ervan op de hoogte was.[15]
De ontwikkeling van de mathematische logica valt verder buiten het bestek van deze artikelenreeks.


Afsluiting

In dit artikel heb ik geprobeerd het logische werk van Lewis Carroll te plaatsen in de tijd waarin hij leefde en werkte. Dit was de periode waarin de symbolische logica werd ontwikkeld en Carroll was niet alleen een fervent aanhanger van de symbolische logica, hij leverde ook een eigen, herkenbare bijdrage.
Voor de symbolische logici was het eliminatie-probleem het centrale probleem van de logica en zij ontwierpen notaties en technieken om dit probleem aan te pakken. Dit zien we ook terug in het logische werk van Lewis Carroll. Twee van zijn bijdragen zijn bijzonder interessant omdat ze nog steeds terugkeren in de logische literatuur. Dat betreft zijn diagrammen en zijn Method of Trees. Deze vormen dan ook de onderwerpen van mijn volgende twee artikelen.


Voetnoten

[1] Belangrijke bronnen voor dit artikel zijn Bartley 1977, Copi 1968, Hobart & Richards 2008, Moktefi 2008, 2019a, 2019b.

[2] ‘Lewis Carrolls belangstelling voor logica’, Phlizz 1, https://lewiscarrollgenootschap.nl/2019/09/27/lewis-carrolls-belangstelling-voor-logica/

[3] Het bewijs uit het ongerijmde, ook wel ‘reductio ad absurdum’ genoemd, was afkomstig uit de wiskunde en werkt als volgt. Men neemt het tegenovergestelde aan van de stelling die men wil bewijzen; als die aanname leidt tot een tegenspraak, dan moet de aanname onwaar zijn en de ontkenning ervan (d.w.z. de stelling die men oorspronkelijk wilde bewijzen) dus waar.

[4] Zie McKerrow 1987.

[5] Zie Boole 1847. Overigens is niet alles wat tegenwoordig aan Boole wordt toegeschreven, ook daadwerkelijk van hem afkomstig. Zo is bij zoekopdrachten op het internet vaak sprake van zgn. Booleaans zoeken, met Booleaanse operatoren. Deze zijn in die vorm niet afkomstig van Boole zelf, doch zijn moderne interpretaties. Evenmin is hij verantwoordelijk voor wat tegenwoordig ‘Booleaanse algebra’ wordt genoemd

[Corcoran 2003].

[6] Zie Gardner 1958.

[7] Zie Abeles 2019.

[8] Zie de volgende citaten in Carroll 1879:

“I maintain that every writer may adopt his own rule, provided of course that it is consistent with itself and with the accepted facts of Logic.” (p.166)

En, over een door hem verworpen standpunt:  “This view does not seem to involve any necessary contradiction with itself or with the accepted facts of Logic. But, when we come to test it, as applied to the actual facts of life, we shall find I think, that it fits in with them so badly that its adoption would be, to say the least of it, singularly inconvenient for ordinary folk.” (p.167)

[9] Zie Moktefi 2019b.

[10] In de inleiding van Symbolic Logic noemt Carroll zijn werk “the very first attempt (with the  exception of [his] own little book, The Game of Logic, published in 1886, a very incomplete performance) that has been made to popularise this fascinating subject.” [Carroll 1896, p.xiv].

[11] Zie Moktefi 2017, p.38.

[12] Zie Grattan-Guinness 2011.

[13] “I have no doubt that Symbolic Logic (not necessarily my particular method, but some such method) will some day, supersede Formal Logic, as it is immensely superior to it: but there are no signs, as yet, of such a revolution.” [Lewis Carroll, Letter to MacMillan 19 October 1895].

[14] Zie Grattan-Guinness 2011.

[15] John Venn heeft in 1880 een negatieve review voor Mind geschreven over Frege’s Begriffschrift, eindigend met de woorden ”I must confess that it seems to me cumbrous and inconvenient” [Mind, Vol. 4, No. 18, April 1880, p.297].

 

Literatuur

Bartley, William Warren III (ed.), 1977, Lewis Carroll’s Symbolic Logic, New York: C.N. Potter.

Boole, George, 1847, The Mathematical Analysis of Logic, Cambridge: MacMillan, Barclay, & MacMillan.

Boole, George, 2003, The Laws of Thought, New York: Prometheus Books. Originally published in 1854 as An Investigation of the Laws of Thought.

Carroll, Lewis, 1887, The Game of Logic, London: MacMillan. Reprinted by Dover in 1958, together with Symbolic Logic, Part I.

Carroll, Lewis, 1896, Symbolic Logic, Part I Elementary, London: MacMillan. Reprinted by Dover in 1958, together with The Game of Logic.

Copi, Irving M., 1968, Introduction to Logic, London: The MacMillan Company.

Corcoran, John, 2003, ‘Introduction’, in Boole 2003, pp.vii-xxxv.

De Morgan, Augustus, 1847,  Formal Logic, London: Taylor & Walton.

Flood, Raymond, Adrian Rice & Robin Wilson (eds.), 2011, Mathematics in Victorian Britain, Oxford University Press.

Gabbay, Dov M. & John Woods (eds.), 2008, Handbook of the History of Logic, Volume 4: British Logic in the Nineteenth Century, Amsterdam: Elsevier.

Gabbay, Dov et al., 2019, Natural Arguments: A Tribute to John Woods, London: College Publications.

Gardner, Martin, 1958, Logic Machines and Diagrams, The University of Chicago Press.

Gilbart, James, 1851, Logic for the Million. A Familiar Exposition of the Art of Reasoning, London: Longman, Brown, Green & Longmans.

Grattan-Guinness, Ivor, 2011, ‘Victorian Logic. From Whately to Russell’, in Flood, Rice & Wilson (eds.), 2011, pp.359-376.

Hobart, Michael E. & Joan L. Richards, 2008, ‘De Morgan’s Logic’, in Gabbay & Woods, 2008, pp.283-329.

McKerrow, Raymie E., 1987, ‘Richard Whately and the Revival of Logic in Nineteenth-Century England’, Rhetorica: A Journal of the History of Rhetoric, Vol. 5, No. 2, pp.163-185.

Moktefi, Amirouche, 2008, ‘Lewis Carroll’s Logic’, in Gabbay & Woods (eds.), 2008, pp.457-507.

Moktefi, Amirouche, 2017, ‘Are Other People’s Books Difficult to Read? The Logic Books in Lewis Carroll’s Private Library’, Acta Baltica Historiae et Philosophiae Scientiarum, Vol. 5, No. 1, pp.28-49.

Moktefi, Amirouche, 2019a, ‘Logic’, in Wilson & Moktefi (eds.), 2019, pp.87-120.

Moktefi, Amirouche, 2019b, ‘The Shaping of Modern Logic’, in Gabbay et al. (eds.), 2019, pp.503-528.

Swinburne, Alfred James, 1887, Picture Logic, or the Grave Made Gay, London: Longmans, Green, & Co.

Venn, John, 1881, Symbolic Logic, New York.

Whately, Richard, 1826, Elements of Logic, London: J. Mawman.

Whately, Richard, 1845, Easy Lessons on Reasoning, Boston: James Munroe & Co, First American from Second London Edition.

Wilson, Robin & Amirouche Moktefi (eds.), 2019, The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll), Oxford University Press.

Lees verder

Boekbespreking: ‘The Night Before Christmas in Wonderland’

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Tekst: Carys Bexington; illustraties: Kate Hindley
Macmillan Children’s Books, 2019, 42 pagina’s.

Een wonderlijke kerstnacht

Ik heb een haat-liefde-verhouding met de stroom van publicaties die aan de haal gaan met het verhaal van de Alice-boeken. Meestal kan ik wel waardering opbrengen voor de persiflages waarin het wel en wee van politici wordt beschreven als ware het avonturen in Wonderland: van Adolf in Blunderland tot Alice in Brexitland. Maar wanneer de Wonderland-personages uit hun context worden gehaald en worden overgeleverd aan geheel andere belevenissen, slaat de twijfel toe. Soms kunnen illustraties een geheel nieuwe, boeiende kijk op de ons bekende personages geven. Maar vaker overheerst de ergernis, met als voorlopig dieptepunt overigens niet een boek maar een film: Tim Burtons Alice Through the Looking-Glass. Hij begint met een langdurige scène over zeerovers en ik ben indertijd de bioscoopzaal uitgelopen omdat ik dacht dat ik in de verkeerde zaal zat. Ten onrechte heb ik me terug laten sturen.

Dit schoot door mijn hoofd toen ik op de Facebook-pagina van onze Britse collega’s werd geattendeerd op het verschijnen van The Night before Christmas in Wonderland:
“This is a truly imaginative, witty, delightfully told and visualised Christmas confection that any Carrollian would be thrilled to find in their Christmas stocking! Pure joy!”
“Lovely time reading this splendid book to Yr1 children this afternoon. Children and staff were SO wellcoming.”
Als grootvader/ Carrollian leek me dat wel wat, ook al is mijn kleindochter nog niet Year 1 (maar ruim 2 ½ jaar) en is haar stocking al voldoende gevuld door sinterklaas. Kortom, ik heb het besteld. Bij Bol.com, € 18,99 (inmiddels € 20). Het ziet er prachtig uit, overvol met grappige, kleurrijke, op kinderen gerichte illustraties. En op elke pagina enkele tekstregels, op lekker lopend rijm. Wel Engels dus en voorlezen wordt dan een soort simultaan vertalen waarbij het Engelse rijm helaas het loodje legt.

De lijn van het verhaal is als volgt. De Princess of Hearts schrijft een brief naar de kerstman: ze wil graag een cadeau, maar haar ouders (Queen of Hearts!) zijn tegen. Daar wil de kerstman wel wat aan doen en hup, daar gaat hij met zijn helpertjes (een soort rien-poortvliet-kabouters) op weg naar Wonderland.

“They flew at full speed all that very long way,
(It’s a quick trip by rabbit hole, AGES by sleigh.)”

Aangekomen bij het kasteel werken ze zich naar binnen via dak en schoorsteen (ook de rendieren), maar worden onmiddellijk weggestuurd door the Queen of hearts (“Off with your head”). Ze belanden op een tea party en daar vertelt de maartse haas dat de koningin, toen ze nog prinses was, steeds bozer is geworden en een hekel aan kerst heeft gekregen. En dan komt de aap uit de mouw:

“It’s my fault,” said a rabbit with fur white as snow,
“ A mistake that I made all those long years ago.
The last post collection leaves promptly at eight …
… And I’m sorry to say – oh dear me – I was LATE!”

En tenslotte ontdooit de koningin. Eind goed, al goed.

Hier wordt een mengeling van sinterklaas en onze kerstman geconfronteerd met Wonderland-figuren die een deel van hun oorspronkelijke context meenemen. De combinatie bepaalt natuurlijk de pret, maar dit is wel wat veel voor een kind van 2 ½. De illustraties zijn zeker voor alle leeftijden, maar schreeuwen om een tekst.
Kortom, ik koester het boek nog een paar jaar en doe mezelf intussen jaarlijks een plezier door de op rijm gestelde tekst hardop te lezen.

Lees verder