Wonderlijke wiskundige waarnemingen over beide Alice-boeken, deel 1

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Achtergrond

Toen ik eind jaren zestig wiskunde studeerde in Leiden had ik nog nooit van Lewis Carroll gehoord. Als veellezer in mijn jeugd kende ik ongetwijfeld wel het “sprookje” Alice in Wonderland, maar een meisjesnaam in de titel schrikte mij in die tijd al bij voorbaat af. Nee, jongensboekenseries als Arendsoog, Bas Banning, Pim Pandoer, Old Shatterhand en de hele Bob Evers serie van Willy van der Heide spraken mij veel meer aan. Ook in het voortgezet onderwijs is de link Carroll/Alice mij ontgaan.
Bij een van mijn vele boekstrooptochten in de eerste jaren van mijn Leidse studietijd viel mijn oog op de vierde druk uit 1966 van een Nederlandse Alice-vertaling: “De Avonturen van Alice in Wonderland en Spiegelland” door Reedijk en Kossmann. Op de achterkant stond een korte omschrijving van de auteur, lector aan de Universiteit te Oxford, maar bij het doorbladeren van het boek stond achterin onder het kopje “Ter oriëntatie” een toevoeging dat deze Lewis Carroll allerlei geschriften over wiskundige onderwerpen had geschreven. Kortom een “wiskundige” als sprookjesschrijver. Dat verbaasde mij in hoge mate. Ik verkeerde tijdens mijn studie in een zeer wiskundige, tegenwoordig misschien ietwat nerderige omgeving en heel naïef vond ik dit “harde” decor nu niet de meest ideale vorm waarin een bèta een “zacht” sprookje zou kunnen schrijven. Maar ik was genoeg geïntrigeerd om het boek te kopen, niet beseffend dat dit boek de opzet zou vormen tot een huisje vol Carroll-boeken. Na lezing bekroop mij toch het gevoel iets te missen. Er valt namelijk niet aan te ontkomen dat een wiskundige bij het schrijven van een boek zijn achtergrond als professional niet meeneemt bij dit proces. En dat viel mij bij eerste lezing een beetje tegen. Dat ik daar niet de enige in was bleek veel later, toen ik de hand legde op een rede uit 1950 van O. Bottema[1] onder de titel Euclides in Wonderland, waar hij een halve pagina wijdde aan de wiskundige Dodgson en zijn protegé Alice. Ik citeer een zin daaruit:
“Er komt weinig wiskunde in voor, al zal de deskundige lezer in de veranderingen, die de kleine Alice door de toverdrank ondergaat, gemakkelijk gelijkvormigheidstransformaties en affiniteiten herkennen.”

Een paar weken na die eerste aanschaf bracht ik rust in mijn onrust door in een tweedehandsboekenzaak een Engelse AIice-versie uit 1945 met illustraties van Robert Högveldt te kopen en werd ik tegelijkertijd opmerkzaam gemaakt op een geannoteerde Alice door Martin Gardner, mij welbekend als columnist van het Amerikaanse maandblad Scientific American[2]. Dat laatste boek uit 1960 zorgde, na aanschaf en lezing[3], voor een enorme boost om alle mogelijke (niet)-Nederlandse vertalingen van beide Alice-boeken te gaan verzamelen om daarmee een hele datalijst te gaan aanleggen van (vertaalde) getallen en (vertaalde) wiskundige verwijzingen binnen beide Alice-boeken. Martin Gardner was de eerste die wat meer de diepte in ging met zijn analyse van eventuele wiskundige verwijzingen in beide Alice-boeken. Na lezing van dit boek was ik verkocht. Ik was geraakt en ben nog steeds getriggerd door de vele (on)vermoede wiskunde-verwijzingen in beide Alice-boeken. Ik verkeer nu in de overtuiging dat zijn professionele achtergrond als wiskundige noodzakelijk was om beide Alice-boeken in deze vorm te schrijven en daardoor mede hebben gezorgd voor een wereldwijde belangstelling.

Vooraf moet wel gezegd worden dat Dodgson geen typische wiskundige was in zijn tijd. Hij schreef geen artikelen in wiskundige tijdschriften, bezocht ook geen wiskundige bijeenkomsten en nam meestal geen deel aan gebruikelijke wiskundige activiteiten. Hij beschouwde zichzelf meer als wiskundedocent dan als een echte wiskundige. Dat neemt niet weg dat hij enige expertise had over enkele topics als Euclidische meetkunde, determinanten[4] en symbolische logica. Ook is duidelijk dat hij meer een einzelgänger in de wiskundige wereld was, voortgestuwd door zijn onbuigzame, fanatieke en interne motivatie van logica en bewijsvoering ten aanzien van de klassieke meetkunde en zijn voorliefde voor het maken en oplossen van puzzels.
Door middel van een aantal wiskundige bespiegelingen over beide Alice-boeken wordt in dit artikel ook iets duidelijker hoe de wiskunde in de 19e eeuw zich heeft ontwikkeld, niet alleen als toepassingsgericht vak ter ondersteuning van voornamelijk de natuurkunde, maar ook langzamerhand als autonoom vak met een diepgaander onderzoek naar de grondslagen van wiskunde, met als gevolg een hoger abstractieniveau.

Bijna 10 jaar geleden verscheen het volgende artikel in het tijdschrift New Scientist van Melanie Bayley:[5]
Alice’s adventures in algebra: Wonderland solved
Het artikel begint met: Wat zou Alice in Wonderland zijn zonder de Cheshire Cat, de rechtszaak, de baby van de Hertogin of de gekke theevisite? Al deze beroemde karakters en scènes ontbreken in Alice’s Adventures Under Ground[6]en zijn later via zijn schrijftafel toegevoegd. Er zijn uiteraard tal van redenen te bedenken voor deze toevoegingen, maar één interessante variant was nog weinig onderzocht, het gaf Lewis Carroll namelijk een mogelijkheid de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde te bekritiseren. Dat deed hij op een meer expliciete wijze via het boek “Euclid and his modern rivals” uit 1879 waarin de geest van Euclides terugkeert om zijn boek de “Elementen” te verdedigen tegen zijn moderne rivalen om te laten zien dat de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde inferieur zijn ten opzichte van de oude kernwaarden van zijn boek. Dodgson publiceerde dit boek in de vorm van een toneelstuk in 4 bedrijven om een breder publiek te trekken, maar er komt best aardig wat serieuze wiskunde in voor. Wat dat betreft was het boek niet zo geslaagd voor het grote publiek.
Het boek bevat voornamelijk een eigenaardige dialoog tussen een wiskundige Minos en een advocaat van de duivel, professor Herr Niemand (ik kom later nog terug op dat woord Niemand), die de rivalen uit de titel van het boek representeert. Een tweede druk verscheen in 1885 met een nieuw voorwoord en talloze veranderingen in de tekst van het boek.

Charles Lutwidge Dodgson was een wiskundige van de oude stempel, waarbij hij de boeken van Euclides als leidraad zag van het wiskundig denken door middel van de gebruikte consequente opbouw van logische redeneringen op basis van een axiomatische en hiërarchische grondslag.[7] Eeuwenlang vormden de axioma’s, definities en stellingen met hun bewijzen uit de werken van Euclides ook de basis voor de natuurkunde en lag binnen de wiskunde de nadruk op het analyseren en oplossen van vergelijkingen. Na 1800 groeide de wiskunde met de opmars van nieuwe algebraïsche entiteiten zoals groepen, ringen, vectoren en complexe getallen snel uit tot wat het nu is: een verfijnde taal voor het beschrijven van de conceptuele relaties tussen dingen. Dodgson vond die radicale nieuwe wiskunde onlogisch en de intellectuele strengheid ervan ver te zoeken. In Dodgsons tijd was een van de belangrijkste wiskundigen Augustus de Morgan[8]. Het woord “algebra”, zei De Morgan, komt uit een Arabische uitdrukking die hij vertaalde als “al jebr e al mokabala”, wat herstel en reductie betekent. Hij legde min of meer verzoenend uit, dat ofschoon teruggebracht tot een schijnbaar absurde maar logische set van operaties, algebra uiteindelijk toch wel tot een bepaalde betekenis zou worden hersteld. Maar zo’n losse wiskundige redenering zou een nauwgezette logicus als Dodgson niet accepteren. En dus zit de rups op een paddenstoel en rookt een waterpijp – wat suggereert dat iets uit het niets is opgedoken en de gedachten van zijn volgelingen suf worden gemaakt. Vervolgens wordt Alice onderworpen aan een monsterlijke vorm van “al jebr e al mokabala”. Ze probeert eerst zichzelf te herstellen naar haar oorspronkelijke (grotere) afmeting, maar uiteindelijk wordt ze zo snel “verkleind” dat haar kin haar voet raakt.  In Alice in Wonderland viel Carroll enkele van deze nieuwe wiskundige ideeën met groot komisch effect aan als onzin – met behulp van een techniek die onder de Latijnse naam reductio ad absurdum[9] bekend staat als een van de bewijstechnieken uit de werken van Euclides. Door de invoering van een abstracte algebra met daarin onder andere imaginaire getallen, de ontwikkeling van de hele analyse met differentiëren, integreren met daarin het limietbegrip en de ontwikkelingen binnen de meetkunde werd de oude koppeling met de meetkunde doorbroken en was het houvast met een natuurkundige/meetkundige presentatie van die ontwikkelingen veelal niet meer mogelijk. Voor Dodgson waren deze nieuwe wiskunde-ontwikkelingen absurd en hoewel hij accepteerde dat deze wellicht interessant zou kunnen zijn voor nieuwe takken binnen de wiskunde, had hij er weinig mee op. Ongeschikt voor hem als lesmateriaal voor studenten, omdat deze nieuwe ontwikkelingen geen raakvlakken boden met de fysieke wereld.[10]

Door middel van een aantal scènes in Alice in Wonderland probeerde Carroll de absurditeit van deze nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde aan de kaak te stellen, waarvan in het tijdschrift-artikel van Bayley enkele voorbeelden worden aangedragen. Alice kwam vanuit een rationele wereld in een wereld waarin zelfs getallen vreemde capriolen gingen uithalen. Denk bijvoorbeeld aan de vermenigvuldigingstafel in hoofdstuk 2 van het eerste Alice-boek die uit ons 10-tallig stelsel verdween. Ik kom daar later nog uitgebreid op terug. Of let op het absurde idee om datumgegevens op te tellen en te herleiden tot getallen die een bepaalde hoeveelheid geld uitdrukken, zoals in de rechtszaak gebeurt.
Ook de bizarre afmetingen van Alice, waarbij niet alles proportioneel verandert, zoals in onze wereld, zijn een goed voorbeeld om veranderingen binnen de wiskundewereld te karakteriseren. Voor Alice heel vreemd, maar niet voor onze rups, die in deze absurde wereld leeft.

Bayley draagt ook nog het woord “temper” aan als voorbeeld. Als de rups haar op een niet bijzonder prikkelbare toon toevoegt: “Keep you temper”, bedoelt de rups niet iets als doe rustig aan of wordt niet boos, maar gebruikt de rups hierbij een archaïsche Engelse betekenis als een soort verhouding waarin bepaalde kwaliteiten worden gemixt.[11] Vergelijk hiermee de Euclidische meetkunde, waarbij de verhoudingen binnen meetkundige figuren van belang en proportioneel zijn. De rups vertelt dus dat Alice de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, zelfs als bepaalde maten veranderen. Maar omdat dat niet gebeurt is het resultaat chaos. Om Wonderland te overleven moet Alice zich gedragen als een Euclidische meetkundige, die constant de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, ook als sommige maten veranderen.
Ook de verandering van baby tot big is een voorbeeld van hoe Carroll tegen de veranderende wiskunde aankeek. Projectieve meetkunde[12] wijkt nogal af van Euclidische meetkunde en dus zette Alice het biggetje maar snel weg als beeld voor het afwijzen van projectieve meetkunde. De Cheshire Cat vertegenwoordigt de stem van de traditionele Euclidische wiskundige: zeg waar je naar toe wilt, als je wil weten hoe je daar kunt komen en wijst daarbij in de richting van de Hoedenmaker en de Maartse Haas. Ga maar langs bij wie je maar wil, ze zijn toch alle twee getikt. Ook als de Rups Alice de tweede keer vraagt wie zij is en zij antwoordt dat de Rups haar nu maar eerst eens moet vertellen wie hij is, schemert de orthodoxe wiskundige door in het antwoord van de Rups, “Waarom?”

Het artikel van Bayley, waarvan ook een versie in de New York Times van 7 maart 2010 is verschenen, is hier en daar wel op enige kritiek gestuit. Soms worden zaken, als de vermeende kritiek van Dodgson op de “nieuwe wiskunde” groter gemaakt dan ze in werkelijkheid waren.

Niettemin, hoewel soms vergezocht, is een van de leuke dingen bij het lezen van een boek, toch wel het achterhalen van (on)bewuste betekenissen van passages in een boek, waardoor we het idee krijgen dichter bij de auteur te komen of (verborgen) (on)bewuste boodschappen te vinden, die de auteur ons wil meegeven.
Zo kun je het langzame vervagen van de Cheshire Cat zien als het langzame vervagen van de zuivere wiskunde in het dagelijkse leven. Wiskundige stellingen kunnen in de praktijk goed toegepast worden, maar de stellingen zelf zijn vaak zeer abstract, die tot een andere dimensie behoren en daardoor uit het zicht raken van de toepassingen daarvan.[13]

Voor al dit soort observaties ligt Carrolls ontwerp van een “sprookjes” motief met zijn diverse lagen daarom zeer voor de hand. Zonder de (verborgen) wiskunde had “Alice” meer op Carrolls latere boek “Sylvie en Bruno” geleken – een saai en sentimenteel sprookje, hoewel ook daar wat wiskundige verwijzingen in te vinden zijn. De wiskunde gaf “Alice” een meer duistere kant en maakte er een puzzel van die mensen van alle leeftijden al 150 jaar kan bekoren.

Noten

[1] Rede uitgesproken op de 108ste gedenkdag der Technische Hogeschool te Delft door de secretaris van de Senaat Oene Bottema (1901-1992). Bottema was hoogleraar zuivere en toegepaste wiskunde en mechanica en van 1951 tot 1959 rector magnificus aan de toenmalige TH-Delft. Hij was net als Carroll een klassieke meetkundige.

[2] Martin Gardner (1914-2010) was ongetwijfeld een groot aanjager van de bekendheid van Alice in Wonderland, zeker binnen de wetenschappelijke wereld, maar Walt Disney zorgde voor de echte wereldwijde roem. In de jaren 20 van de vorige eeuw begon hij met het maken van Alice-comedy’s, culminerend in de uit 1951 stammende animatiefilm Alice in Wonderland, die gebaseerd is op beide Alice-boeken. In de hele wereld kom je Alice-boeken met de bekende Disney-illustraties in heel veel verkorte en/of bewerkte vertalingen tegen, waaruit bijna alle wiskundige verwijzingen zijn verdwenen. Het eerste Alice-boek, “Alice’s Adventures in Wonderland”, is in ongeveer 200 verschillende talen vertaald. Aangezien op de hele wereld zo’n 7000 verschillende talen zijn geclassificeerd, is er nog een lange weg te gaan voor Alice in Wonderland overal ter wereld beschikbaar is.

[3] In 1990 verscheen de More Annotated Alice, in 2000 The Definitive Annotated Alice en tenslotte (?) in 2015 de 150th Anniversary Deluxe Annotated Alice. Het laatste gebonden boek uitgebreid en geüpdatet door Mark Burstein.  Annotated Alice’s zijn o.a. ook als soft cover bij Penguin Books uitgegeven.

[4] In de wiskunde is een determinant een speciaal getal dat uit de elementen van een vierkante matrix wordt berekend.

[5] https://www.newscientist.com/article/mg20427391-600-alices-adventures-in-algebra-wonderland-solved/

New Scientist is een populair Engels wetenschappelijk tijdschrift en heeft ook een Nederlandse editie. Melanie Bayley heeft Victoriaanse literatuur te Oxford gestudeerd.

[6] Ik ga ervan uit dat eenieder de ontstaansgeschiedenis van Alice in Wonderland kent.

[7] De Elementen van Euclides is een meetkundig en rekenkundig verzamelwerk van 13 delen uit de derde eeuw voor Christus. Boek 1 begint met 23 definities (1: wat is een punt t/m 23: 2 evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit), 5 notities en daarna de 5 bekende axioma’s (door 2 punten gaat 1 lijn, lijnstuk tot het oneindige te verlengen, punt en straal leveren een cirkel op, rechte hoeken zijn gelijk en als laatste het parallellen-axioma: door een punt P buiten een lijn m gaat slechts één lijn evenwijdig met de gegeven lijn m. Alle andere resultaten worden vanuit deze beginselen bewezen. De stelling van Pythagoras, in de algebraïsche versie (a2 + b2 = c2) zoals wij die kennen, komt bijvoorbeeld in deze vorm niet in het boek voor. Meer dan 2000 jaar is dit verzamelwerk in het wiskundeonderwijs als leerboek gebruikt.

In zijn boek Euclid and his modern rivals (Carroll introduceerde het boek met: “Dedicated tot he memory of Euclid”) maakt Dodgson andere meetkundigen belachelijk die het parallellen-axioma ter discussie stelden. Niet-euclidische meetkunde (elliptische: denk aan meetkunde op een bol, en hyperbolische: denk aan meetkunde op een zadeloppervlak, ook de ruimte is in aanwezigheid van een gravitatiekracht niet-euclidisch) komt dan ook niet in zijn straatje voor. Negen jaar later (1888) schreef hij zijn eigen ideeën op over het parallellen-axioma in Curiosa Mathematica, Part I. A New Theory of Parallels. Dat 5e axioma is niet zo vanzelfsprekend en de noodzaak daarvan werd halverwege de 19e eeuw betwijfeld. In dat laatste boek construeerde Dodgson zijn eigen equivalent voor dit 5e axioma, niet om deze te vervangen, maar om zijn logische onvermijdelijkheid aan te tonen. Maar hij volgde hierbij duidelijk een vals spoor, omdat dit 5e axioma niet nodig is voor een consistent meetkundig systeem. Ook weerlegt Dodgson in zijn boek tevens de vertegenwoordigers van de cirkelkwadratuur, de aanname dat het mogelijk is met passer en liniaal een vierkant te construeren met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. Na het overlijden van De Morgan in 1871 (zie ook het volgende punt) nam Dodgson de ondankbare taak van hem over om amateur-wiskundigen van repliek te dienen, die meenden de cirkelkwadratuur te hebben opgelost.

[8] Augustus De Morgan (1806-1871) heeft wiskunde gestudeerd aan het Trinity College te Cambridge, maar kon daar na afloop van zijn studie geen aanstelling krijgen en besloot naar Londen te verhuizen, waar hij een aanstelling kreeg aan de pas opgerichte London University, een universiteit niet gebaseerd op religieuze grondslagen in tegenstelling tot de meest vooraanstaande “universiteiten” (eigenlijk een verzameling van onafhankelijke colleges) in Oxford en Cambridge. De Morgan was de eerste Britse wiskundige die in 1849 een consistente verzameling regels opstelde voor de nieuwe symbolische algebra.

[9] De Nederlandse naam hiervoor is: bewijs uit het ongerijmde (herleiding tot het absurde). De geldigheid van deze indirecte bewijsmethode stoelt op de aanname dat een bewering/stelling alleen maar waar of niet-waar kan zijn. De werkwijze bij deze bewijsvoering gaat als volgt: neem aan dat de bewering niet waar is en laat dan vervolgens zien dat deze aanname leidt tot een tegenspraak of tot een niet-ware bewering. Een voorbeeld van deze bewijstechniek is het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen (getallen alleen deelbaar door 1 en door zichzelf) bestaan. Het intuïtionisme, een grondslagenstroming binnen de wiskunde opgezet door de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966) aan het begin van de 20e eeuw, verwerpt deze indirecte bewijsmethode.

[10] Een van de meest vreemde veronderstellingen bij de gemiddelde mens is dat er nauwelijks nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde zijn en dat de wiskunde “af” is. Dat wordt ook wel versterkt doordat nieuwe leergebieden binnen de wiskunde nog nauwelijks gebruikt worden in ons voortgezet onderwijs. Een nog vreemderder(!) perceptie is dat wiskunde nutteloos is, een noodzakelijk kwaad als schiftingsmiddel bij opleidingen. Want, er zijn toch computers!!! Werkten er voor de 19e eeuw slechts enkele tientallen wiskundigen over de hele wereld, tegenwoordig zijn dat er tienduizenden. Telde wiskunde vroeger slechts een paar deelgebieden, momenteel zijn dat er honderden. Een van de uitdagingen momenteel is kennis uit verschillende deelgebieden samen te brengen.

[11] https://www.merriam-webster.com/dictionary/temper

[12] Projectieve meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde zonder metriek waarin onder meer gebruikt wordt gemaakt van complexe getallen: een uitbreiding van reële getallen met een imaginair gedeelte.
Een complex getal wordt weergegeven als a + bi, waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid vormt met i2= -1. In veel technische disciplines zijn allerlei nuttige toepassingen te vinden. Helaas heeft Dodgson niet de tijd en moeite genomen zich bij deze ontwikkeling aan te sluiten.

[13] Een van de meest geciteerde quotes in dit verband is gemaakt door de Nederlandse wiskundige A. Schrijver: Wiskunde is als zuurstof: als het er is, merk je het niet. Als het er niet zou zijn, merk je dat je niet zonder kunt.

Lees verder