Auteur: Henri Ruizenaar

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 4

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Schaken

Schaken en wiskunde hebben enkele duidelijke overeenkomsten. Beide doen een beroep op analytische vaardigheden omdat grote problemen in kleinere moeten worden opgesplitst; bovendien hebben beide disciplines creatieve en kunstzinnige aspecten gemeen.

De relatie tussen schaken en wiskunde kun je op verschillende manieren zien:

  • Schaken bevordert denkvaardigheden van hogere orde
  • Analyse van posities heeft veel gemeen met wiskundige problemen
  • Correlatie: beslissen welk stuk het beste is om op een bepaald punt op te offeren
  • Introductie van een coördinatensysteem
  • Introductie van geometrische concepten (bestanden, rijen, diagonalen)
  • Vereist constante (her)berekening
  • Ontwikkeling van een visueel geheugen
  • Ontwikkeling van (ruimtelijke) redeneervaardigheden
  • Ontwikkeling van vermogen om gevolgen te voorspellen en daarop te anticiperen

Dodgson was waarschijnlijk een verdienstig schaker. Hij nam nooit deel aan toernooien, ook zijn er geen partijen van hem bekend. Er zijn wel verscheidene aantekeningen in zijn dagboeken dat hij een spelletje geschaakt heeft. En hij was in het bezit van een miniatuur schaakspel, dat vaak op reis of vakantie van pas kwam. Bovendien heeft hij de meisjes Liddell de regels van het schaken geleerd. Kortom iemand die in ieder geval op de hoogte was van de regels van het schaakspel. De veilingcatalogus van Dodgson na zijn overlijden in 1898 bevatte 3 schaakboeken, alle 3 geschreven tenminste 15 jaar voordat Carroll Spiegelland schreef. Omdat er enige verwarring[1] was over de opzet van het schaakspel zoals dat werd voorgeschoteld in Spiegelland, schreef Carroll in 1896 een nieuw voorwoord bij een herdruk van het boek waarin hij schreef dat:

“Anyone who takes the trouble to set the pieces and play the moves as directed, will find it strictly in accordance with the laws of the game.”

Bij schaken staan de twee partijen altijd bekend als Zwart en Wit, ongeacht de kleur van de fysieke stukken, maar Lewis Carroll verwijst in zijn boek “Through the Looking-Glass and what Alice found there” naar Rood en Wit. Ondanks de bezorgdheid van Lewis Carroll voor de kwaliteit van zijn boeken, zijn het schaakdiagram en de zetten in de eerste edities van zijn boek niet goed afgedrukt en zijn de stukken die op zwarte vierkanten staan bijzonder moeilijk te onderscheiden. Zie de afbeelding uit de originele eerste druk van “Through the Looking-Glass” links. In latere drukken was dat probleem nog steeds niet afdoende opgelost.

Van de 32 originele schaakstukken gebruikt Carroll er slechts 8. De witte pion Alice, een rode en een witte koning en koningin, een wit en rood paard en de witte toren. Waarschijnlijk zijn de rest van de stukken weggelaten om het spel voor een 7½-jarig meisje te simplificeren. De witte koning kon in hoofdstuk 7 niet al zijn 4209 paarden sturen, omdat er 2 nodig waren in het schaakspel. (Stond het rode paard dan ook onder zijn bevel?) Het schaakspel speelt een meer dominante rol in Spiegelland dan het kaartspel in Wonderland. Dat karakteriseert meteen een grote tegenstelling tussen Wonderland en Spiegelland. In Wonderland heeft Alice een eigen “vrije” wil, zij kan doen en laten wat zij wil. Dit in tegenstelling tot Spiegelland waarin zij onderhevig is aan de “nukken en grillen” van een onbekende en ongeziene schaakgrootmeester.

Constant Orbaan (1918-1990) was beroepsschaker, later wedstrijdleider en journalist. In de jaren 60/70 van de vorige eeuw verscheen van zijn hand een krantenartikel waarin hij het gecomponeerde schaakspel binnen Spiegelland minutieus heeft beschreven. Alice is in het begin van Spiegelland een pion (het minste schaakstuk) dat uiteindelijk wil promoveren tot koningin (het machtigste schaakstuk). Dat doet zij in 11 zetten (de tegenstander krijgt 10 zetten) die Orbaan één voor één van commentaar voorziet. In Spiegelland zijn de regels van het schaakspel niet zo dwingend voorgeschreven als bij de FIDE, de internationale schaakfederatie. Alice begint als witte pion en de witte schaakstukken zijn haar (natuurlijk) vriendelijk gezind, de rode schaakstukken daarentegen vijandelijk.[2] Het witte paard is van alle schaakfiguren het enige stuk dat Alice met respect tegemoet treedt. Op geen enkel moment wisselt Alice woorden uit met een stuk dat zich op dat moment niet bevindt op een veld naast het hare. Koninginnen rennen zich rot en koningen staan gefixeerd en werkeloos. Rijen worden gescheiden door beken en kolommen door heggen. Deze beken en heggen vormen de lijnen op het schaakbord. Elke lijn die Alice passeert wordt in de tekst met 3 sterretjes (* * *) aangegeven. Omdat het paard op het schaakbord hoekige bewegingen maakt, valt de koning af en toe van zijn paard.

Goed beschouwd zit een paradox binnen dit fragment opgesloten. De witte koning zit alleen op zijn paard als deze stil staat, laat staan als hij er zijdelings vanaf valt. De regels kloppen hier niet. De koning zit alleen in het zadel als zijn paard stil staat, ergo hij komt met deze regels niet vooruit.

Eerst de oplossing van Lewis Carroll zelf:

Een wat meer uitgebreide Nederlandse versie van Orbaan:

Duidelijk staat hier een verwijzing naar een zadeloppervlak. Dit woord is afgeleid van de eigenaardige vorm van het zadel voor paarden, dat zowel omhoog als omlaag kromt.  De ene kant op doorkruis je een vallei, kom je van een andere kant, dan beklim je een heuvel.

Pringles aardappelchips vormen een alledaags voorbeeld van een zadeloppervlak.

Dit is de enige situatie waarin Alice het hele schaakbord kan overzien. Een favoriete puzzel van Carroll was het toekennen van kleuren op landkaarten. Carroll zag het als een spel voor 2 spelers:

Speler A moet een fictieve landkaart, onderverdeeld in verschillende landen, tekenen.
Speler B moet nu de landen inkleuren met zo min mogelijk kleuren zodanig dat twee aangrenzende landen verschillende kleuren hebben.
Het doel van A is om B te forceren zoveel mogelijk kleuren te gebruiken. Wat is nu dat minimale aantal kleuren dat B nodig heeft?

Het vierkleurenprobleem werd voor het eerst door Francis Guthrie[3] in 1852 geformuleerd met de vraag of het mogelijk is elke willekeurige landkaart waarin de landen elk een geheel vormen (dus zonder exclaves), met behulp van slechts vier kleuren zo in te kleuren dat geen twee aangrenzende landen dezelfde kleur krijgen. Twee landen gelden hierbij als aangrenzend als ze een stuk grens gemeen hebben, niet als ze slechts met een punt aan elkaar verbonden zijn. Pas in 1976 werd dit probleem met behulp van een computer door Kenneth Appel en Wolfgang Haken “wiskundig” bewezen[4].

Snelheid

In Spiegelland stappen we natuurlijk van de gebruikelijke formule

af en gaat deze formule over in

Maar in Spiegelland impliceert deze formule dat bij een hoge snelheid veel tijd en/of een kleine afstand hoort. Hoe sneller Alice gaat, hoe meer ze nauwelijks van haar plek komt, maar om op dezelfde plek te blijven (met een afstand heel, heel dicht bij 0), moet ze wel een oneindige snelheid hebben.  Dit is echter in tegenspraak met de opmerking van de koningin even later dat als ze ergens anders wil komen, ze minstens 2 keer zo hard moet rennen!

Literatuur

Day, David, 2015, Alice’s Adventures in Wonderland Decoded, Canada: Penguin Random House.
Dodgson, Charles L., 1879, Euclid and his Modern Rivals, London: MacMillan.
Gardner, Martin, 2015, The Annotated Alice, expanded and updated by Mark Burstein, New York: Norton & Company.
Wilson, Robin, 2008, Lewis Carroll in Numberland, London: Penguin Group
Wilson, Robin, 2019, The Mathematical World of Charles L. Dodgson (Lewis Carroll), Oxford: Oxford University Press.

 Voetnoten

[1] Zie het boek “The Magic of Lewis Carroll”, edited (1973) by John Fischer, page 85-91.
[2] Het bijbehorende schaakbord rechts met de goede kleuren rood en wit is te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/chessgame.html 
Een animatie van het spel, zoals dat gespeeld wordt in Spiegelland, is op dezelfde website te vinden op: http://echecs-histoire-litterature.com/images/diag.gif
[3] Francis Guthrie (1831-1899) was een Zuid-Afrikaanse wiskundige en plantkundige. In 1852 was Guthrie een student van Augustus De Morgan aan het University College te Londen.
[4] De computer had daarbij 1200 uur rekentijd nodig om 1482 mogelijke landkaartconfiguraties met talloze individuele gevallen door te rekenen om na te gaan of er een toegestane kleuring bestond. Volgens sommige wiskundigen een ietwat omstreden manier van het leveren van een streng wiskundig bewijs. In 2004 werd door Georges Gonthier een herziene versie van het bewijs zo nauwkeurig uitgeschreven dat de juistheid van elke stap gecontroleerd kon worden.

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 3

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

DIVERSE WISKUNDIGE “ALICE”- WAARNEMINGEN

Paradox

De Caucus[1]-race in hoofdstuk 3 van Wonderland kun je zien als voorbeeld voor de bekende paradox van Achilles en de schildpad, opgesteld door de Griekse filosoof Zeno (ca. 490 v.Chr. – ca. 430 v.Chr.). Hierin “bewijst” Zeno dat Achilles (de snelste loper uit die tijd) nooit een schildpad, die een voorsprong heeft gekregen, zou kunnen inhalen. Zeno’s argument is gebaseerd op het feit dat je afstand oneindig kunt blijven delen. Helaas heb je ook nog met een factor tijd te maken. Maar om deze paradox mathematisch op te lossen moest eerst het onderdeel calculus met het limietbegrip binnen de wiskunde ontwikkeld worden met daarin het bewijs dat de som van een oneindig aantal stappen toch eindig is. Dodgson heeft andere paradoxen ontwikkeld waarvan de bekendste was ”Wat de schildpad zei tegen Achilles”[2], (de omgekeerde paradox van Achilles en de schildpad) die onder andere door Bertrand Russell en vele andere filosofen becommentarieerd is geweest en het centrale thema is in het opmerkelijke boek van Douglas Hofstadter: Gödel, Escher, Bach uit 1979 met als ondertitel een metaforische fuga (muziekvorm) op mensen en machines in de geest van Lewis Carroll.

Deze caucus race heeft helemaal geen regels en geen afgesproken begin of einde. Iedereen rent of rent niet en aan het einde, als de Dodo plotseling uitroept dat de race voorbij is, heeft iedereen gewonnen.

A Mad Tea-Party

Je zou de titel van het zevende hoofdstuk uit Wonderland ook kunnen lezen als een M. T. (em(p)ty) party, een lege (politieke) partij die alleen maar loze beloften doet. Merk op dat het Engelse woordje tea wordt uitgesproken als de Engelse letter t en deze t staat natuurkundig voor het belangrijke woordje tijd in dit hoofdstuk.
Op het prijskaartje van de hoed van de Hoedenmaker staat “In this style: 10/6”. Dat moet natuurlijk gelezen worden als 10 shilling en 6 pence in de Engelse muntsoort. Uitgaande van 1 shilling is 12 pence, kom je in totaal uit op 126 pence en dat is (opmerkelijk) weer 3 (oorspronkelijk 3 figuren aan de tafel) x 42. Maar is dit wel een prijskaartje?
We kunnen dit kaartje ook wiskundig lezen als “In this style: 106”, waarbij 106 = 1.000.000. Wellicht een beetje vreemd dat de Hoedenmaker 1 miljoen hoeden in deze stijl heeft geproduceerd. Maar laten we verder kijken. We delen deze 1 miljoen door 7 (de leeftijd van Alice in Wonderland) en krijgen dan 142857 met rest 1. En kijk dan eens naar de volgende tabel, die Carroll kende en ook vaak gebruikte:

106 : 7 = 142857 met rest 1; 1/7 = 0,142857…
142857 x 2 = 285714;            2/7 = 0,285714…
142857 x 3 = 428571;            3/7 = 0,428571…
142857 x 4 = 571428;            4/7 = 0,571428…
142857 x 5 = 714285;            5/7 = 0,714285…
142857 x 6 = 857142;            6/7 = 0,857142…
142857 x 7 = 999999

De cijfers in de producten en delingen vormen een cyclische verwisseling van de 6 cijfers van 142857. Verder worden de 6 cijfers in de breuken cyclisch herhaald. Welke betekenis schuilt hier dan achter?
Als later de Hoedenmaker als getuige bij de rechtsspraak wordt opgeroepen en beschuldigd wordt van M(urdering) T(ime) (weer em(p)ty!!!) blijft hij nerveus heen en weer hippen op zijn voeten als in een periodieke (cyclische) beweging. De klacht van de Hoedenmaker is dat hij vast in de tijd zit, de eeuwigdurende thee-tijd om 6 uur. De tijd staat stil en dus moeten de gasten aan tafel in beweging komen. Dat komt omdat de waarde van zijn hoed niet precies matcht met 1 miljoen. Om bij 999999 uit te komen moet hij de som 1.000.000 – 1 maken en dat lukt klaarblijkelijk alleen als hij in alle verwarring een hap uit zijn theekopje neemt. Op datzelfde moment begint Alice exponentioneel te groeien. We stappen nu van een lineair getallensysteem over naar een modulair getallensysteem. (Als voorbeeld bij dit laatste: tijdsaanduiding bij een klok, na 12 wordt opnieuw bij 1 begonnen).

Lees nu eens de tekst op de hoed (In this style 10/6) als In this mode 106.[3] Deel 106 door 7 en je houdt als rest 1 over.
Iets formeler gezegd:  106 ≡ 1 (mod 7) (vertaald: 106 en 1 zijn congruent modulo 7; 106 en 1 hebben na deling door 7 dezelfde rest) oftewel
107-1 ≡ 1 (mod 7) en zie daar verschijnt de kleine stelling van Fermat[4]:
ap-1 ≡ 1 (mod p) met p een priemgetal en a en p onderling niet deelbaar[5]
We kunnen het prijskaartje op de hoed dus zien als een manier om eerbetoon te brengen aan Pierre de Fermat. De titel van dit hoofdstuk A Mad Tea Party is nu te herleiden tot:

A Mod(ular) T(ime) Parti(-cle)
(Een modulair tijdsdeeltje) 

Schoppen en Harten

Uit hoofdstuk 8 in Wonderland komt de scène voor met de drie schoppenkaarten. De schoppenkaarten zijn de tuinlieden in Wonderland en zijn doodsbang voor de Hartenkoningin, die ze beschouwen als een blinde en doelloze wraakgodin en waarschijnlijk een irrationaal[6] getal representeert.

Haar enthousiasme om iedereen te executeren komt vanwege een afgrijselijke woordspeling met het woord “axes”, het meervoud van een axis (x-as en y-as) bij een grafiek.

De vraag bij deze conversatie is natuurlijk waarom juist schoppen 2, 5 en 7 worden opgevoerd. Het simpele antwoord is natuurlijk vanwege het feit dat de som van de getallen op de drie kaarten 2 + 5 + 7 = 14 en vermenigvuldigd met 3 (aantal kaarten) dit weer 42 oplevert. Maar er zit een diepere laag onder. Als je 7 deelt door 5, krijg je een benadering van het irrationale getal wortel 2 (in 1 decimaal nauwkeurig). Dus 7 : 5 = √2 ≈ 1,4142. Het Engelse woord root in tulips-roots verwijst dus naar het symbolische woord wortel dat in de wiskunde wordt gebruikt.[7]

De oudste regel in het boek van de Hartenkoning is regel 42[8]. Waarop Alice opmerkt dat de oudste regel natuurlijk regel 1 moet zijn. Een verwijzing naar het feit dat zij het leiderschap van Hartenkoning en Hartenkoningin zo dadelijk gaat overnemen? Dat stond natuurlijk al bij voorbaat vast, want haar naam Alice bevat het woordje ace.
Hetzelfde geldt overigens ook met betrekking tot Spiegelland, waar Alice aan het eind van het boek tot koningin wordt gepromoveerd. Ongeacht alle capriolen die Alice moest uithalen, wist ze van tevoren al dat dat de onbekende Schaakgrootmeester haar had voorbestemd als dé nummer 1, dus als koningin te laten eindigen.

Humpty-Dumpty

De filosoof Humpty-Dumpty is voornamelijk geschoold in linguïstische zaken. Wellicht suggereert Carroll in het fragment links dat filosofen, volop in het toenmalige Oxford aanwezig, over het algemeen nauwelijks begiftigd zijn met enige wiskundige kennis.

Het voorkomen van Humpty-Dumpty is wiskundig bezien een oblate (afgeplatte) sferoïde (een omwentelingslichaam van een ellips). De aarde wordt ook vaak als een oblate sferoïde voorgesteld.

De helix of schroeflijn in de vorm van een kurketrekker komt bij Carroll in Spiegelland regelmatig voor. Humpty-Dumpty vergelijkt bijvoorbeeld de “toves” met kurketrekkers en ook John Tenniel tekende bijvoorbeeld de geit en de eenhoorn met spiraalvormige hoorns. Een helix is een 3-dimesionale kromme met constante straal en spoed. De helix is een speciale vorm van een spiraal.[9]

Speltheorie

In hoofdstuk 9 van Wonderland komt in de dialoog van Alice met de Hertogin voor de zevende keer in het begin van dit hoofdstuk het woordje moraal langs. Dit keer met de woorden meer en minder. Dit is duidelijk een voorbeeld van een nulsomspel. Dit is in de speltheorie een spel waarbij de winst voor de één verlies is voor de ander. De totale opbrengst blijft constant. Dodgson was in de 19e eeuw de enige die fundamentele kwesties inzake speltheorie, in zijn geval stemtheorie, te berde bracht. Pas in 1928 publiceerde John von Neumann[10] een eerste formeel systematisch spel-theoretisch bijdrage in de vorm van de minimax-stelling, die de volledige strategie beschrijft van spelers in tweepersoons nulsomspellen.

Niemand/Niets

In zijn boek “Euclid and his Modern Rivals” introduceerde Carroll een zekere Herr Niemand. Dit is de fantasienaam van een Duitse professor die “alle boeken heeft gelezen en klaar staat om elke bewering waar of niet-waar te verdedigen”. In dit fragment gaat het om het toekennen van de naam Niemand aan een persoon. Wellicht heeft dit ook te maken met een verwijzing naar de lege verzameling. Het eerste optreden van een zekere Nobody is bij de theevisite als Alice tegen de Maartse Haas zegt: “Nobody asked your opinion”.

De lege verzameling is een belangrijke wiskundige entiteit binnen de verzamelingentheorie. Niets is niet niets maar iets belangrijks. Carroll was pionier door in te zien dat niets een bestaande reële entiteit is. Een goed voorbeeld hiervan is de scène in hoofdstuk 8 van Wonderland als alleen de kop van de Cheshire Kat zichtbaar is en er sprake is van een dispuut tussen de Hartenkoning, de Hartenkoningin en de beul over het onthoofden van een kop zonder lichaam eraan vast. De beul zegt dat dat niet kan, terwijl de koning beweert dat dat wel kan. Het standpunt van de beul is vrij normaal. Het standpunt van de koning als wiskundige is heel onrealistisch, maar op zich geeft de term onthoofden al aan dat er een hoofd (in dit geval een kop) minimaal aanwezig moet zijn. Anders valt er niets te onthoofden. Aan de minimale en noodzakelijke voorwaarde dat er een kop is wordt dus voldaan. Ook aan de mogelijke tweedeling bij het afsnijden wordt voldaan omdat er twee elementen zijn volgens de wiskundige koning, namelijk het hoofd en het niet iets. Cantor[11] kwam in 1874 met zijn eerste theoretisch werk over het wiskundige begrip verzamelingen.

Datum

In Wonderland zijn 3 kalenderdagen van belang:

  1. 4 – 7 – 1862, de datum van het bekende boottochtje. Alice was toen 10 jaar oud.
  2. 4 mei, de verjaardag van Alice die in het boek 7 jaar oud is.
  3. 14 maart, de dag dat de Maartse Haas gek werd. Dat is niet verwonderlijk, omdat 14 maart (geschreven als 3, 14) pi-dag (π-dag) is.[12]

Leeftijden 

In Spiegelland is Alice 7½jaar oud. De leeftijd van de Witte Koningin is 101 jaar, 5 maanden en 1 dag. Dat zijn omgerekend 37.044 dagen inclusief wat schrikkeldagen. Samen met de Rode Koningin zijn dat 74.088 dagen en hoe vreemd (?) ook, 74088 = 423. Tenslotte staan beide koninginnen en Alice (3 koninginnen) op hetzelfde schaakbord. En natuurlijk is 7½ al een exact getal! Dat “exactually” is voor wiskundigen een dom pleonasme.

Voetnoten

[1] Een caucus is een term voor een comité van politieke lobbyisten die een competitieve strijd tussen kandidaten tracht te vermijden door vooraf afspraken te gaan maken of door het promoten van een enkele kandidaat.

[2] https://www.hhofstede.nl/paradoxen/achilles.htm. “What the Tortoise Said to Achilles” verscheen in het tijdschrift Mind van april 1895 waarin Lewis Carroll 2 problemen presenteerde die logici onder ogen moeten zien bij het vaststellen van gevolgtrekkingen bij bewijzen.

[3] Zie voor enige achtergrond over modulair rekenen: https://nl.wikipedia.org/wiki/Modulair_rekenen.

[4] Pierre de Fermat (1607-1665), van origine een Franse jurist, werd beroemd door zijn zogeheten grote stelling van Fermat waarin hij het vermoeden uitte dat de vergelijking an + bn = cn geen oplossing(en) heeft voor n groter dan 2 met a, b, c en n positieve gehele getallen. Pas na ruim 3 eeuwen bewees de Britse wiskundige Andrew Wiles (1953) in 1994 dit vermoeden. Voor n=2 zijn er oneindig veel getallen a, b en c die aan de vergelijking a2 + b2 = c2 voldoen, bijvoorbeeld: de combinatie 3, 4 en 5 met al hun veelvouden; ook de combinatie 5, 12 en 13 en alle veelvouden daarvan voldoen.

[5] Aan de hand van de kleine stelling van Fermat kun je eigenschappen van vaak zeer grote getallen afleiden, zonder dat je die grote getallen zelf berekent.

[6] Een irrationaal getal is een reëel getal dat niet geschreven kan worden als deling van 2 gehele getallen. Is een reëel getal wel te schrijven als een deling van 2 gehele getallen dan is dat een rationaal getal. De verzameling van reële getallen bestaat uit de verzameling rationale getallen en de verzameling irrationale getallen. Voorbeelden van irrationale getallen zijn √2, π en 3√42 . De ‘meeste’ reële getallen zijn irrationaal.

[7] Meestal wordt tulips-roots in het Nederlands vertaald met tulpenbollen. Mathematisch zou een betere Nederlandse vertaling zijn: een bosje wortelen.

[8] Bij de rechtzaak worden ook 2 guinea-pigs (cavia’s) afgevoerd. Een guinea is een oude Engelse munteenheid van 21 shilling. En 2 x 21 = …!

[9] Spoed is de verplaatsing langs de as per omwenteling. Een spiraal is een 3-dimensionale kromme die rond een bepaald punt draait en steeds dichter dit punt nadert of zich er steeds verder van verwijdert.

[10] John von Neumann (1903-1957) was in tegenstelling tot de meeste wiskundigen een zeer extravagante persoonlijkheid. Hij was een geniale wiskundige en heeft op veel deelgebieden binnen de wiskunde belangrijke bijdragen geleverd. Hij wordt beschouwd als de grondlegger van de speltheorie. Zie ook:   https://nl.wikipedia.org/wiki/John_von_Neumann

[11] Georg Cantor (1845-1918) was een Duitse wiskundige die het wiskundige begrip oneindigheid formaliseerde en verdiepte. Hij bewees in 1874 dat de oneindige verzameling reële getallen “talrijker” is dan de oneindige verzameling natuurlijke getallen, waardoor hij aantoonde dat er oneindige verzamelingen zijn van verschillende “grootte”. Het artikel hierover markeerde het begin van zijn theorie over verzamelingen. Zijn werk is ook van filosofisch belang.

[12] Zoals zoveel wiskundigen had Carroll een fascinatie voor het irrationale (niet-rationale) getal π . Op 21 maart 1878 schreef hij in zijn dagboek dat hij zinnen in versvorm had geschreven waarmee hij π in 102 decimalen kon benaderen. Het aantal letters in een woord van het vers vertegenwoordigt daarbij het desbetreffende cijfer in de decimalen van π . Ook noteerde hij dat hij in staat was π π in 4 decimalen nauwkeurig uit te rekenen. In 14 minuten!  Lange tijd werd Dodgson door mensen lastiggevallen die meenden de kwadratuur van een cirkel te hebben opgelost of “bewijzen” leverden dat π toch echt wel een rationaal getal was. De kwadratuur van een cirkel is de vraag of het mogelijk is om, met behulp van alleen passer en liniaal in een eindig aantal stappen een vierkant te construeren met exact dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. In 1882 bewees de Duitse wiskundige Ferdinand Lindemann (1852-1938) op een afdoende manier dat de kwadratuur van een cirkel onmogelijk is. Dodgson was niet op de hoogte van dit bewijs. In 1865 publiceerde Dodgson het pamflet “The New Method of Evaluation as Applied to π”. Dit pamflet van 4 pagina’s is een anonieme parodie en een humorvolle bijdrage aan de controverse over het salaris van Benjamin Jowett als professor Grieks, waarbij gebruik wordt gemaakt van 5 vindingrijke pseudo-algebraïsche methoden om π en dus het salaris van Jowett te benaderen.

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen. Deel 2

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

BESPIEGELINGEN OVER GETALLEN

Negatieve getallen [1]

 

  1. Als eerste voorbeeld een scène uit hoofdstuk 9 van Wonderland: The Mock Turtle’s Story, waarbij de draak gestoken wordt met negatieve getallen.

Bij deze openingsscène moet je allereerst op twee dingen letten: er is nauwelijks verschil in de Engelse uitspraak te horen tussen de woorden lesson en lessen, hetgeen in dit geval impliceert dat lesson leidt naar lessen. De tweede opmerking is als Mock Turtle wordt afgekort naar M. T., dan staat er em(p)ty. De M.T.-story is dus een empty story. De Mock Turtle is een nonentity (een schertsfiguur), een categorie zonder inhoud. Hij is wat logici noemen een null-class, hetgeen verklaart waarom zijn lesrooster vakken bevat die dag na dag lessen tot niets overblijft. Alles wordt herleid tot nul of niets.
In de vervolgscène wordt duidelijk naar negatieve getallen toe gewerkt met de verborgen boodschap dat negatieve getallen inhoudsloos zijn. Het bleek voor veel wiskundigen nog steeds in de 19e eeuw een probleem te zijn om de vervolgstap te zetten naar een, voor Euclidische wiskundigen, absurde en betekenisloze getallensystematiek.[2]

2. Ook in hoofdstuk 7 van Wonderland wordt verwezen naar negatieve getallen: je kunt niet links van nul gaan zitten op de getallenlijn, deze getallen hebben geen betekenis in tegenstelling tot positieve getallen.

3. In hoofdstuk 9 van Spiegelland komt ook een rekensom voor, waarbij weer wordt vastgesteld dat Alice een opgave als 8 – 9 niet kan oplossen. Wellicht heeft dat met haar leeftijd van 7½ jaar (in Spiegelland) te maken, maar toch…

Commutatieve eigenschap van getallen

Uit hoofdstuk 1 van Wonderland komt het volgende fragment:

Heel duidelijk een voorbeeld naar aanleiding van een van de rekenregels voor getallen, de commutatieve eigenschap:
a + b = b + a voor alle getallen a en b met betrekking tot de bewerking optellen, bij de bewerking delen geldt deze eigenschap bijvoorbeeld niet:
a ÷ b ≠ b ÷ a voor alle getallen a en b.
Hier wordt de bewerking “eten” toegepast op de verzameling dieren. Deze commutatieve eigenschap zal in de Alice-boeken vaker ter sprake komen. Misschien karakteriseert dit fragment Carroll ook wel een beetje.  Hij pakte veel dingen op, ging ermee aan de slag, maar al snel verlegde hij (net als in het fragment Alice) zijn belangstelling naar een volgend onderwerp. Bij de gekke theevisite wordt deze commutatieve eigenschap nog verder uitgewerkt: Als de Maartse Haas haar zegt: “to say what she means”, she replies that she does, “at least I mean what I say – that’s the same thing”. “Not the same thing a bit!” says the Hatter. “Why, you might just as well say that ‘I see what I eat’ is the same thing as ‘I eat what I see’!” Carroll geeft hierbij impliciet aan dat hij de nieuwe rekenregels binnen die nieuwe abstracte algebra waarbij de commutatieve eigenschap ten aanzien van bijvoorbeeld vermenigvuldigen (a x b ≠ b x a) in sommige gevallen niet meer geldt, maar absurd vindt.[3]

Getalstelsels

Uit hoofdstuk 2 van Wonderland stamt de al eerdergenoemde vermenigvuldigingstabel. Het bijbehorende fragment is:

De grote vraag hierbij is natuurlijk: is dat zo en waarom lukt dat dan niet? En hier komt het meest besproken getal uit Carrolls werk opnieuw ter sprake. Niet voor het eerst trouwens in het eerste Alice-boek. De titelpagina van Alice in Wonderland vermeldt: met 42 illustraties door John Tenniel. Het boek begint dus met 42 en sommige lezers beweren zelfs dat het boek er ook mee eindigt als aan het eind van de abnormale rechtszaak het kaartspel op Alice af komt.[4] Weliswaar zitten er 52 kaarten in een kaartspel, maar de 10 schoppenkaarten werden als tuinlieden natuurlijk niet toegelaten bij deze rechtszaak, misschien ook omdat in hoofdstuk 8 de schoppenkaarten ook geen deel uitmaakten van de processie.

Elders is al genoeg geschreven over dit “Lewis Carroll-getal”, zeker ook omdat Douglas Adams in zijn boek The Hitchhiker’s Guide tot he Galaxy een computer, genaamd Deep Thought, liet construeren om deze te vragen het antwoord op de ultieme vraag over het Leven, het  Universum, en Alles te berekenen. Deze computer berekent gedurende een verloop van 7,5 miljoen jaar het antwoord: 42. Hierdoor ontstond weer een hele nieuwe boost over de hele wereld met betrekking tot het getal 42.  Ik zal me beperken tot een paar 42-achtige dingen in beide Alice-boeken, zonder enige pretentie daarbij “alles” mee te nemen.[5]

Terug naar de vermenigvuldigingstabel. Maar om die te doorgronden moet eerst de wisseling van de basis van ons getallenstelsel aan de orde komen. In ons basis-tientallig stelsel zijn 10 cijfers bekend, 0 t/m 9 en is de plaats van deze 10 cijfers in een getal bepalend voor de grootte van het getal. Verder is een getal opgebouwd uit machten van 10. Het grondtal is dus 10.
Bijvoorbeeld: 54321 = 5 x 104 + 4 x 103 + 3 x 102 + 2 x 101 + 1 x 100 (denk aan a0 =1 voor a ≠ 0).
In het zestien-tallig stelsel zijn 16 cijfers bekend, 0 t/m 9 en A t/m F, is wederom de plaats van de cijfers bepalend voor de grootte van het getal en is het getal opgebouwd uit machten van 16. Het grondtal is 16.
Bijvoorbeeld: D431 = D x 163 + 4 x 162 + 3 x 161 + 1 x 160 (met D het 13e cijfer in het 16-tallig stelsel).
Er geldt 5432110 = D43116.
Alice’s vermenigvuldigingstabel van de tafel van 4 gaat met de verschillende grondtallen binnen een getallenstelsel dus als volgt:
4 x   5 = 1218, namelijk 2010 = 1 x 18 + 2 in het 18-tallig stelsel
4 x   6 = 1321, namelijk 2410 = 1 x 21 + 3 in het 21-tallig stelsel
4 x   7 = 1424, namelijk 2810 = 1 x 24 + 4 in het 24-tallig stelsel t/m
4 x 12 = 1939, namelijk 4810 = 1 x 39 + 9 in het 39-tallig stelsel

Ontdek hierin de formule
Getal: 4 x n = eerste cijfer van getal x (3n + 3)1 + tweede cijfer van getal x (3n + 3)0. Als voorbeeld:
1424: 4 x 7 = 1 x (21 + 3)1 + 4 x (21 + 3)0

Dit uitwerken levert de onderstaande tabel op:

4 x

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

10-tallig

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

18-tallig

12

21-tallig

13

24-tallig

14

27-tallig

15

30-tallig

16

33-tallig

17

36-tallig

18

39-tallig

19

Maar nu moet ze, gedwongen door haar opgezette vermenigvuldigingstafel van vier, naar het 42-tallig stelsel via 52 = 4 x 13 = 2042(?), namelijk 2 x 421 + 0 x 420.
Dat lukt haar natuurlijk niet, omdat al 2 x 421 = 84, terwijl ze bij 52 moet uitkomen. Geen wonder dat Alice, voor zover ze in staat was dit bliksemsnel uit te rekenen, nooit bij 4 x ? = 20 zou kunnen uitkomen. Grondtal 42 is fataal en het hele systeem klapt in elkaar!

Echter, misschien had ze de andere kant op moeten gaan in haar vermenigvuldigingstafel van vier, dan moet gelden (met de formule van de vorige bladzijde in ons hoofd), voor welke n in de tafel van 4 is een basis-grondtalstelsel te vinden, zodat:

4 x n = 2 x (3n +3)1 + 0 x (3n + 3)0 

Dit uitwerken levert op:
4n = 6n + 6, oftewel n = -3 en het bijbehorende grondtal van dit stelsel is -6.

Laten we eens kijken of dit wat kan worden. We maken een nieuwe tabel, maar gaan nu de andere kant op, terug van het 18-tallig stelsel naar het 15-tallig stelsel en zo verder:

4 x

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

10-tallig

20

16

12

8

4

0

-4

-8

-12

18-tallig

12

15-tallig

11

12-tallig

10

  9-tallig

8

  6-tallig

4

  3-tallig

0

  0-tallig

?

 -3-tallig

1201

 -6-tallig

20

En inderdaad als Alice de andere kant op was gegaan met het opzeggen van de tafel van 4 was ze wel bij 20 uitgekomen. Immers 2 x (-6)1 + 0 x (-6)0 = 20-6.[6]
Grondtallen als 0 en negatieve getallen zijn natuurlijk ook in de huidige mathematische wereld betekenisloos. Het voorgaande is gewoon wat spielerei. Leuk toch!

Dat het met die 20 niet goed zit blijkt ook uit de opmerking van de Hartenkoning aan het eind van de rechtszaak als hij voor de twintigste keer aan de jury vraagt het vonnis te overwegen. Dat kan Wonderland niet aan, het systeem dat Wonderland bij elkaar houdt, stort bij het horen van iets dat te maken heeft met 20 in elkaar en verdween voor altijd. Was Alice nu toch maar bij het opzeggen van de tafel van 4 de andere kant opgegaan. Dan had de wereld veel langer kunnen genieten van de avonturen van Alice in Wonderland!

Afkeer getallen

Tijdens het eerste gedeelte van zijn tijd in Christ Church in Oxford moet Dodgson wiskunde-colleges geven aan vaak niet-gemotiveerde studenten. Veel studenten zagen een verblijf in Christ Church, het meest vervaarde college in Oxford, als opmaat voor een politieke loopbaan. De verplichte wiskunde zagen ze meer als een noodzakelijk kwaad om hun aspiraties waar te maken. De naar overlevering vaak saaie wiskundelessen van Dodgson werden daarbij als een extra handicap beschouwd. Deze onwillige studenten waren voor Dodgson een voortdurende ergernis. Hij was dan ook blij zijn taak als docent in 1881 te kunnen beëindigen. In bovenstaand fragment wordt dat ook duidelijk als de (lelijke) Hertogin haar afkeer van cijfers uitspreekt. Merk op dat bij verwisseling van de cijfers in 24 het getal 42 weer tevoorschijn komt.

[1] Gedurende het hele Victoriaanse tijdperk werden negatieve getallen als controversieel beschouwd. Hoewel negatieve getallen al door de Chinezen 200 jaar voor Christus, door de Indiërs 600 jaar na Christus, in het Midden-Oosten 800 jaar na Christus werden gebruikt, verschenen deze getallen pas ongeveer 1400 jaar na Christus in de Westerse wereld. De oude Grieken hielden zich voornamelijk met meetkunde bezig en gebruikten alleen maar positieve getallen als maten voor lengten, oppervlakten en inhouden. Ook in het beroemde boek van Leonardo van Pisa uit 1202, de Liber Abaci, de start van de algebra in de westerse wereld, bevatte geen negatieve getallen. In 1796 verscheen het boek: The principes of algebra door William Fred en Francis Misères met daarin: You may make a mark before one, which it will obey: it submits to be taken away from another number greater than itself, but to attempt to take it away from a number greater than itself is ridiculous. Yet this is attempted by algebraists, who talk of a number less than nothing, of multiplying a negative number into a negative number and thus producing a positive number of a number being imaginary. Het is duidelijk dat deze tegenstanders vasthielden aan de koppeling van een getal aan een hoeveelheid o.i.d., terwijl een getal op zich zonder koppeling aan iets, natuurlijk ook iets imaginairs is. Wat dat betreft is er geen verschil tussen een positief getal, een negatief getal of wat voor getal dan ook.
[2] De beroemde Engelse wiskundige G.H. Hardy (1877 – 1947) schreef aan het einde van zijn carrière in het prachtige boekje A Mathematician Apology (1940) het volgende citaat: Ik heb nooit iets “nuttigs” gedaan. Geen ontdekking van mij heeft ooit, direct of indirect, ten goede of ten kwade, het minste verschil gemaakt, of zal dat maken, voor het welzijn van de wereld. Zo beschreef hij de “nutteloosheid” van zijn vakgebied, de getaltheorie, niet vermoedende dat 50 jaar later zijn “nutteloze” getaltheorie overal ter wereld dagelijks wordt gebruikt in onder meer het versleutelen van data.
[3] Carroll geeft hierbij een verwijzing naar quaternionen, deze getallen vormen een uitbreiding van de complexe getallen, in 1843 geïntroduceerd door de Ierse wiskundige William Rowan Hamilton voor toepassingen binnen de mechanica en tegenwoordig onder meer gebruikt in robotarmen en koppelingen bij ruimtevaartuigen. Voor dit soort getallen geldt niet de commutatieve eigenschap bij vermenigvuldigen of optellen, dus a*b ≠ b*a. Dat heeft onder meer te maken met het feit dat rotaties in een 3-dimensionale wereld niet commutatief zijn.
[4] “Axioms cannot tolerate contradictions,” schreef Carroll in zijn boek Symbolic Logic. Dat geldt natuurlijk ook voor de Hartenkoningin met haar uitspraken. Contradicties in elk logisch of wiskundig systeem leiden tot chaos en instorting van het gehele systeem. Wiskundigen geven de voorkeur aan consistente en robuuste systemen.
[5] Ik kan het toch niet nalaten een van de laatste wiskundige feiten met betrekking tot het getal 42 te vermelden: Sinds de jaren vijftig van de vorige eeuw piekerden wiskundigen over de vraag of je bepaalde gehele getallen kunt schrijven als som van drie derdemachten van gehele getallen. Met andere woorden: als k een geheel getal is, zijn er dan ook gehele getallen te vinden voor x, y en z zodat geldt k = x3 + y3 + z3? Het getal 42 was tot voor kort het enige getal onder de 100, waar nog geen oplossing voor gevonden was, terwijl bekend was dat zo’n oplossing er wel moest zijn. Van sommige getallen onder de 100 (4, 5 en 13) weten we dat er geen oplossingen zijn! Maar met brute computerrekenkracht (400.000 samenwerkende computers) is nu bekend dat:
42 =  (-80.538.738.812.075.974)3 + 80.435.758.145.817.5153 + 12.602.123.297.335.6313
[6] Voor de liefhebber: 1201 = 1 x (-3)3 + 2 x (-3)2 + 0 x (-3)1 + 1 x (-3)0. Verder zijn natuurlijk negatieve getallen en het getal 0 als basis voor een getallenstelsel niet zo’n gelukkige keuze.

Lees verder

Alice en Belgisch bier

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Eind 2019 verscheen een nieuwe editie van Alice in Wonderland, niet bij een traditionele uitgever en ook niet verkrijgbaar in de boekhandel.
Het is uitgegeven in de serie “Tijdloze meesterwerken” behorend bij het biermerk Tripel Karmeliet. Achterin het boek is ook het schenkingsritueel voor dit bier beschreven.

Wat de Alice-versie betreft: er is geen colofon, maar de vertaalde tekst is die van Reedijk & Kossmann, waarbij veel interpunctie-tekens zijn weggelaten. De prachtige muizenstaart is verknald en er zijn geen illustraties behalve dan bij het reeds genoemde schenkingsritueel.
Nog twee bijzonderheden van deze editie:

  • het is de eerste door Reedijk & Kossmann vertaalde Alice met alleen “Wonderland”,
  • op de cover van dit tijdloze meesterwerk staat als auteur “Lewis Carol” vermeld.

Kortom, een collector’s item, voor € 5,95 plus verzendkosten te bestellen via https://www.hopt.nl/boeken-over-bierbrouwen/34280-karmeliet-boek-alice-in-wonderland.html.

Lees verder

Wonderlijke wiskundige waarnemingen over beide Alice-boeken, deel 1

Phlizz

Online magazine van het Lewis Carroll Genootschap

Achtergrond

Toen ik eind jaren zestig wiskunde studeerde in Leiden had ik nog nooit van Lewis Carroll gehoord. Als veellezer in mijn jeugd kende ik ongetwijfeld wel het “sprookje” Alice in Wonderland, maar een meisjesnaam in de titel schrikte mij in die tijd al bij voorbaat af. Nee, jongensboekenseries als Arendsoog, Bas Banning, Pim Pandoer, Old Shatterhand en de hele Bob Evers serie van Willy van der Heide spraken mij veel meer aan. Ook in het voortgezet onderwijs is de link Carroll/Alice mij ontgaan.
Bij een van mijn vele boekstrooptochten in de eerste jaren van mijn Leidse studietijd viel mijn oog op de vierde druk uit 1966 van een Nederlandse Alice-vertaling: “De Avonturen van Alice in Wonderland en Spiegelland” door Reedijk en Kossmann. Op de achterkant stond een korte omschrijving van de auteur, lector aan de Universiteit te Oxford, maar bij het doorbladeren van het boek stond achterin onder het kopje “Ter oriëntatie” een toevoeging dat deze Lewis Carroll allerlei geschriften over wiskundige onderwerpen had geschreven. Kortom een “wiskundige” als sprookjesschrijver. Dat verbaasde mij in hoge mate. Ik verkeerde tijdens mijn studie in een zeer wiskundige, tegenwoordig misschien ietwat nerderige omgeving en heel naïef vond ik dit “harde” decor nu niet de meest ideale vorm waarin een bèta een “zacht” sprookje zou kunnen schrijven. Maar ik was genoeg geïntrigeerd om het boek te kopen, niet beseffend dat dit boek de opzet zou vormen tot een huisje vol Carroll-boeken. Na lezing bekroop mij toch het gevoel iets te missen. Er valt namelijk niet aan te ontkomen dat een wiskundige bij het schrijven van een boek zijn achtergrond als professional niet meeneemt bij dit proces. En dat viel mij bij eerste lezing een beetje tegen. Dat ik daar niet de enige in was bleek veel later, toen ik de hand legde op een rede uit 1950 van O. Bottema[1] onder de titel Euclides in Wonderland, waar hij een halve pagina wijdde aan de wiskundige Dodgson en zijn protegé Alice. Ik citeer een zin daaruit:
“Er komt weinig wiskunde in voor, al zal de deskundige lezer in de veranderingen, die de kleine Alice door de toverdrank ondergaat, gemakkelijk gelijkvormigheidstransformaties en affiniteiten herkennen.”

Een paar weken na die eerste aanschaf bracht ik rust in mijn onrust door in een tweedehandsboekenzaak een Engelse AIice-versie uit 1945 met illustraties van Robert Högveldt te kopen en werd ik tegelijkertijd opmerkzaam gemaakt op een geannoteerde Alice door Martin Gardner, mij welbekend als columnist van het Amerikaanse maandblad Scientific American[2]. Dat laatste boek uit 1960 zorgde, na aanschaf en lezing[3], voor een enorme boost om alle mogelijke (niet)-Nederlandse vertalingen van beide Alice-boeken te gaan verzamelen om daarmee een hele datalijst te gaan aanleggen van (vertaalde) getallen en (vertaalde) wiskundige verwijzingen binnen beide Alice-boeken. Martin Gardner was de eerste die wat meer de diepte in ging met zijn analyse van eventuele wiskundige verwijzingen in beide Alice-boeken. Na lezing van dit boek was ik verkocht. Ik was geraakt en ben nog steeds getriggerd door de vele (on)vermoede wiskunde-verwijzingen in beide Alice-boeken. Ik verkeer nu in de overtuiging dat zijn professionele achtergrond als wiskundige noodzakelijk was om beide Alice-boeken in deze vorm te schrijven en daardoor mede hebben gezorgd voor een wereldwijde belangstelling.

Vooraf moet wel gezegd worden dat Dodgson geen typische wiskundige was in zijn tijd. Hij schreef geen artikelen in wiskundige tijdschriften, bezocht ook geen wiskundige bijeenkomsten en nam meestal geen deel aan gebruikelijke wiskundige activiteiten. Hij beschouwde zichzelf meer als wiskundedocent dan als een echte wiskundige. Dat neemt niet weg dat hij enige expertise had over enkele topics als Euclidische meetkunde, determinanten[4] en symbolische logica. Ook is duidelijk dat hij meer een einzelgänger in de wiskundige wereld was, voortgestuwd door zijn onbuigzame, fanatieke en interne motivatie van logica en bewijsvoering ten aanzien van de klassieke meetkunde en zijn voorliefde voor het maken en oplossen van puzzels.
Door middel van een aantal wiskundige bespiegelingen over beide Alice-boeken wordt in dit artikel ook iets duidelijker hoe de wiskunde in de 19e eeuw zich heeft ontwikkeld, niet alleen als toepassingsgericht vak ter ondersteuning van voornamelijk de natuurkunde, maar ook langzamerhand als autonoom vak met een diepgaander onderzoek naar de grondslagen van wiskunde, met als gevolg een hoger abstractieniveau.

Bijna 10 jaar geleden verscheen het volgende artikel in het tijdschrift New Scientist van Melanie Bayley:[5]
Alice’s adventures in algebra: Wonderland solved
Het artikel begint met: Wat zou Alice in Wonderland zijn zonder de Cheshire Cat, de rechtszaak, de baby van de Hertogin of de gekke theevisite? Al deze beroemde karakters en scènes ontbreken in Alice’s Adventures Under Ground[6]en zijn later via zijn schrijftafel toegevoegd. Er zijn uiteraard tal van redenen te bedenken voor deze toevoegingen, maar één interessante variant was nog weinig onderzocht, het gaf Lewis Carroll namelijk een mogelijkheid de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde te bekritiseren. Dat deed hij op een meer expliciete wijze via het boek “Euclid and his modern rivals” uit 1879 waarin de geest van Euclides terugkeert om zijn boek de “Elementen” te verdedigen tegen zijn moderne rivalen om te laten zien dat de nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde inferieur zijn ten opzichte van de oude kernwaarden van zijn boek. Dodgson publiceerde dit boek in de vorm van een toneelstuk in 4 bedrijven om een breder publiek te trekken, maar er komt best aardig wat serieuze wiskunde in voor. Wat dat betreft was het boek niet zo geslaagd voor het grote publiek.
Het boek bevat voornamelijk een eigenaardige dialoog tussen een wiskundige Minos en een advocaat van de duivel, professor Herr Niemand (ik kom later nog terug op dat woord Niemand), die de rivalen uit de titel van het boek representeert. Een tweede druk verscheen in 1885 met een nieuw voorwoord en talloze veranderingen in de tekst van het boek.

Charles Lutwidge Dodgson was een wiskundige van de oude stempel, waarbij hij de boeken van Euclides als leidraad zag van het wiskundig denken door middel van de gebruikte consequente opbouw van logische redeneringen op basis van een axiomatische en hiërarchische grondslag.[7] Eeuwenlang vormden de axioma’s, definities en stellingen met hun bewijzen uit de werken van Euclides ook de basis voor de natuurkunde en lag binnen de wiskunde de nadruk op het analyseren en oplossen van vergelijkingen. Na 1800 groeide de wiskunde met de opmars van nieuwe algebraïsche entiteiten zoals groepen, ringen, vectoren en complexe getallen snel uit tot wat het nu is: een verfijnde taal voor het beschrijven van de conceptuele relaties tussen dingen. Dodgson vond die radicale nieuwe wiskunde onlogisch en de intellectuele strengheid ervan ver te zoeken. In Dodgsons tijd was een van de belangrijkste wiskundigen Augustus de Morgan[8]. Het woord “algebra”, zei De Morgan, komt uit een Arabische uitdrukking die hij vertaalde als “al jebr e al mokabala”, wat herstel en reductie betekent. Hij legde min of meer verzoenend uit, dat ofschoon teruggebracht tot een schijnbaar absurde maar logische set van operaties, algebra uiteindelijk toch wel tot een bepaalde betekenis zou worden hersteld. Maar zo’n losse wiskundige redenering zou een nauwgezette logicus als Dodgson niet accepteren. En dus zit de rups op een paddenstoel en rookt een waterpijp – wat suggereert dat iets uit het niets is opgedoken en de gedachten van zijn volgelingen suf worden gemaakt. Vervolgens wordt Alice onderworpen aan een monsterlijke vorm van “al jebr e al mokabala”. Ze probeert eerst zichzelf te herstellen naar haar oorspronkelijke (grotere) afmeting, maar uiteindelijk wordt ze zo snel “verkleind” dat haar kin haar voet raakt.  In Alice in Wonderland viel Carroll enkele van deze nieuwe wiskundige ideeën met groot komisch effect aan als onzin – met behulp van een techniek die onder de Latijnse naam reductio ad absurdum[9] bekend staat als een van de bewijstechnieken uit de werken van Euclides. Door de invoering van een abstracte algebra met daarin onder andere imaginaire getallen, de ontwikkeling van de hele analyse met differentiëren, integreren met daarin het limietbegrip en de ontwikkelingen binnen de meetkunde werd de oude koppeling met de meetkunde doorbroken en was het houvast met een natuurkundige/meetkundige presentatie van die ontwikkelingen veelal niet meer mogelijk. Voor Dodgson waren deze nieuwe wiskunde-ontwikkelingen absurd en hoewel hij accepteerde dat deze wellicht interessant zou kunnen zijn voor nieuwe takken binnen de wiskunde, had hij er weinig mee op. Ongeschikt voor hem als lesmateriaal voor studenten, omdat deze nieuwe ontwikkelingen geen raakvlakken boden met de fysieke wereld.[10]

Door middel van een aantal scènes in Alice in Wonderland probeerde Carroll de absurditeit van deze nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde aan de kaak te stellen, waarvan in het tijdschrift-artikel van Bayley enkele voorbeelden worden aangedragen. Alice kwam vanuit een rationele wereld in een wereld waarin zelfs getallen vreemde capriolen gingen uithalen. Denk bijvoorbeeld aan de vermenigvuldigingstafel in hoofdstuk 2 van het eerste Alice-boek die uit ons 10-tallig stelsel verdween. Ik kom daar later nog uitgebreid op terug. Of let op het absurde idee om datumgegevens op te tellen en te herleiden tot getallen die een bepaalde hoeveelheid geld uitdrukken, zoals in de rechtszaak gebeurt.
Ook de bizarre afmetingen van Alice, waarbij niet alles proportioneel verandert, zoals in onze wereld, zijn een goed voorbeeld om veranderingen binnen de wiskundewereld te karakteriseren. Voor Alice heel vreemd, maar niet voor onze rups, die in deze absurde wereld leeft.

Bayley draagt ook nog het woord “temper” aan als voorbeeld. Als de rups haar op een niet bijzonder prikkelbare toon toevoegt: “Keep you temper”, bedoelt de rups niet iets als doe rustig aan of wordt niet boos, maar gebruikt de rups hierbij een archaïsche Engelse betekenis als een soort verhouding waarin bepaalde kwaliteiten worden gemixt.[11] Vergelijk hiermee de Euclidische meetkunde, waarbij de verhoudingen binnen meetkundige figuren van belang en proportioneel zijn. De rups vertelt dus dat Alice de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, zelfs als bepaalde maten veranderen. Maar omdat dat niet gebeurt is het resultaat chaos. Om Wonderland te overleven moet Alice zich gedragen als een Euclidische meetkundige, die constant de proporties van haar lichaam in de gaten moet houden, ook als sommige maten veranderen.
Ook de verandering van baby tot big is een voorbeeld van hoe Carroll tegen de veranderende wiskunde aankeek. Projectieve meetkunde[12] wijkt nogal af van Euclidische meetkunde en dus zette Alice het biggetje maar snel weg als beeld voor het afwijzen van projectieve meetkunde. De Cheshire Cat vertegenwoordigt de stem van de traditionele Euclidische wiskundige: zeg waar je naar toe wilt, als je wil weten hoe je daar kunt komen en wijst daarbij in de richting van de Hoedenmaker en de Maartse Haas. Ga maar langs bij wie je maar wil, ze zijn toch alle twee getikt. Ook als de Rups Alice de tweede keer vraagt wie zij is en zij antwoordt dat de Rups haar nu maar eerst eens moet vertellen wie hij is, schemert de orthodoxe wiskundige door in het antwoord van de Rups, “Waarom?”

Het artikel van Bayley, waarvan ook een versie in de New York Times van 7 maart 2010 is verschenen, is hier en daar wel op enige kritiek gestuit. Soms worden zaken, als de vermeende kritiek van Dodgson op de “nieuwe wiskunde” groter gemaakt dan ze in werkelijkheid waren.

Niettemin, hoewel soms vergezocht, is een van de leuke dingen bij het lezen van een boek, toch wel het achterhalen van (on)bewuste betekenissen van passages in een boek, waardoor we het idee krijgen dichter bij de auteur te komen of (verborgen) (on)bewuste boodschappen te vinden, die de auteur ons wil meegeven.
Zo kun je het langzame vervagen van de Cheshire Cat zien als het langzame vervagen van de zuivere wiskunde in het dagelijkse leven. Wiskundige stellingen kunnen in de praktijk goed toegepast worden, maar de stellingen zelf zijn vaak zeer abstract, die tot een andere dimensie behoren en daardoor uit het zicht raken van de toepassingen daarvan.[13]

Voor al dit soort observaties ligt Carrolls ontwerp van een “sprookjes” motief met zijn diverse lagen daarom zeer voor de hand. Zonder de (verborgen) wiskunde had “Alice” meer op Carrolls latere boek “Sylvie en Bruno” geleken – een saai en sentimenteel sprookje, hoewel ook daar wat wiskundige verwijzingen in te vinden zijn. De wiskunde gaf “Alice” een meer duistere kant en maakte er een puzzel van die mensen van alle leeftijden al 150 jaar kan bekoren.

Noten

[1] Rede uitgesproken op de 108ste gedenkdag der Technische Hogeschool te Delft door de secretaris van de Senaat Oene Bottema (1901-1992). Bottema was hoogleraar zuivere en toegepaste wiskunde en mechanica en van 1951 tot 1959 rector magnificus aan de toenmalige TH-Delft. Hij was net als Carroll een klassieke meetkundige.

[2] Martin Gardner (1914-2010) was ongetwijfeld een groot aanjager van de bekendheid van Alice in Wonderland, zeker binnen de wetenschappelijke wereld, maar Walt Disney zorgde voor de echte wereldwijde roem. In de jaren 20 van de vorige eeuw begon hij met het maken van Alice-comedy’s, culminerend in de uit 1951 stammende animatiefilm Alice in Wonderland, die gebaseerd is op beide Alice-boeken. In de hele wereld kom je Alice-boeken met de bekende Disney-illustraties in heel veel verkorte en/of bewerkte vertalingen tegen, waaruit bijna alle wiskundige verwijzingen zijn verdwenen. Het eerste Alice-boek, “Alice’s Adventures in Wonderland”, is in ongeveer 200 verschillende talen vertaald. Aangezien op de hele wereld zo’n 7000 verschillende talen zijn geclassificeerd, is er nog een lange weg te gaan voor Alice in Wonderland overal ter wereld beschikbaar is.

[3] In 1990 verscheen de More Annotated Alice, in 2000 The Definitive Annotated Alice en tenslotte (?) in 2015 de 150th Anniversary Deluxe Annotated Alice. Het laatste gebonden boek uitgebreid en geüpdatet door Mark Burstein.  Annotated Alice’s zijn o.a. ook als soft cover bij Penguin Books uitgegeven.

[4] In de wiskunde is een determinant een speciaal getal dat uit de elementen van een vierkante matrix wordt berekend.

[5] https://www.newscientist.com/article/mg20427391-600-alices-adventures-in-algebra-wonderland-solved/

New Scientist is een populair Engels wetenschappelijk tijdschrift en heeft ook een Nederlandse editie. Melanie Bayley heeft Victoriaanse literatuur te Oxford gestudeerd.

[6] Ik ga ervan uit dat eenieder de ontstaansgeschiedenis van Alice in Wonderland kent.

[7] De Elementen van Euclides is een meetkundig en rekenkundig verzamelwerk van 13 delen uit de derde eeuw voor Christus. Boek 1 begint met 23 definities (1: wat is een punt t/m 23: 2 evenwijdige lijnen snijden elkaar nooit), 5 notities en daarna de 5 bekende axioma’s (door 2 punten gaat 1 lijn, lijnstuk tot het oneindige te verlengen, punt en straal leveren een cirkel op, rechte hoeken zijn gelijk en als laatste het parallellen-axioma: door een punt P buiten een lijn m gaat slechts één lijn evenwijdig met de gegeven lijn m. Alle andere resultaten worden vanuit deze beginselen bewezen. De stelling van Pythagoras, in de algebraïsche versie (a2 + b2 = c2) zoals wij die kennen, komt bijvoorbeeld in deze vorm niet in het boek voor. Meer dan 2000 jaar is dit verzamelwerk in het wiskundeonderwijs als leerboek gebruikt.

In zijn boek Euclid and his modern rivals (Carroll introduceerde het boek met: “Dedicated tot he memory of Euclid”) maakt Dodgson andere meetkundigen belachelijk die het parallellen-axioma ter discussie stelden. Niet-euclidische meetkunde (elliptische: denk aan meetkunde op een bol, en hyperbolische: denk aan meetkunde op een zadeloppervlak, ook de ruimte is in aanwezigheid van een gravitatiekracht niet-euclidisch) komt dan ook niet in zijn straatje voor. Negen jaar later (1888) schreef hij zijn eigen ideeën op over het parallellen-axioma in Curiosa Mathematica, Part I. A New Theory of Parallels. Dat 5e axioma is niet zo vanzelfsprekend en de noodzaak daarvan werd halverwege de 19e eeuw betwijfeld. In dat laatste boek construeerde Dodgson zijn eigen equivalent voor dit 5e axioma, niet om deze te vervangen, maar om zijn logische onvermijdelijkheid aan te tonen. Maar hij volgde hierbij duidelijk een vals spoor, omdat dit 5e axioma niet nodig is voor een consistent meetkundig systeem. Ook weerlegt Dodgson in zijn boek tevens de vertegenwoordigers van de cirkelkwadratuur, de aanname dat het mogelijk is met passer en liniaal een vierkant te construeren met dezelfde oppervlakte als een gegeven cirkel. Na het overlijden van De Morgan in 1871 (zie ook het volgende punt) nam Dodgson de ondankbare taak van hem over om amateur-wiskundigen van repliek te dienen, die meenden de cirkelkwadratuur te hebben opgelost.

[8] Augustus De Morgan (1806-1871) heeft wiskunde gestudeerd aan het Trinity College te Cambridge, maar kon daar na afloop van zijn studie geen aanstelling krijgen en besloot naar Londen te verhuizen, waar hij een aanstelling kreeg aan de pas opgerichte London University, een universiteit niet gebaseerd op religieuze grondslagen in tegenstelling tot de meest vooraanstaande “universiteiten” (eigenlijk een verzameling van onafhankelijke colleges) in Oxford en Cambridge. De Morgan was de eerste Britse wiskundige die in 1849 een consistente verzameling regels opstelde voor de nieuwe symbolische algebra.

[9] De Nederlandse naam hiervoor is: bewijs uit het ongerijmde (herleiding tot het absurde). De geldigheid van deze indirecte bewijsmethode stoelt op de aanname dat een bewering/stelling alleen maar waar of niet-waar kan zijn. De werkwijze bij deze bewijsvoering gaat als volgt: neem aan dat de bewering niet waar is en laat dan vervolgens zien dat deze aanname leidt tot een tegenspraak of tot een niet-ware bewering. Een voorbeeld van deze bewijstechniek is het bewijs dat er oneindig veel priemgetallen (getallen alleen deelbaar door 1 en door zichzelf) bestaan. Het intuïtionisme, een grondslagenstroming binnen de wiskunde opgezet door de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer (1881-1966) aan het begin van de 20e eeuw, verwerpt deze indirecte bewijsmethode.

[10] Een van de meest vreemde veronderstellingen bij de gemiddelde mens is dat er nauwelijks nieuwe ontwikkelingen binnen de wiskunde zijn en dat de wiskunde “af” is. Dat wordt ook wel versterkt doordat nieuwe leergebieden binnen de wiskunde nog nauwelijks gebruikt worden in ons voortgezet onderwijs. Een nog vreemderder(!) perceptie is dat wiskunde nutteloos is, een noodzakelijk kwaad als schiftingsmiddel bij opleidingen. Want, er zijn toch computers!!! Werkten er voor de 19e eeuw slechts enkele tientallen wiskundigen over de hele wereld, tegenwoordig zijn dat er tienduizenden. Telde wiskunde vroeger slechts een paar deelgebieden, momenteel zijn dat er honderden. Een van de uitdagingen momenteel is kennis uit verschillende deelgebieden samen te brengen.

[11] https://www.merriam-webster.com/dictionary/temper

[12] Projectieve meetkunde is een niet-Euclidische meetkunde zonder metriek waarin onder meer gebruikt wordt gemaakt van complexe getallen: een uitbreiding van reële getallen met een imaginair gedeelte.
Een complex getal wordt weergegeven als a + bi, waarbij a en b reële getallen zijn en i de imaginaire eenheid vormt met i2= -1. In veel technische disciplines zijn allerlei nuttige toepassingen te vinden. Helaas heeft Dodgson niet de tijd en moeite genomen zich bij deze ontwikkeling aan te sluiten.

[13] Een van de meest geciteerde quotes in dit verband is gemaakt door de Nederlandse wiskundige A. Schrijver: Wiskunde is als zuurstof: als het er is, merk je het niet. Als het er niet zou zijn, merk je dat je niet zonder kunt.

Lees verder